Решение задач вычислительной электродинамики, или Какой модуль расширения использовать для э/м расчётов?

Вопрос, который постоянно задают сотрудникам технической поддержки нашей компании: "Какой из продуктов COMSOL следует использовать для моделирования конкретного электромагнитного устройства или приложения?" В настоящее время доступно шесть модулей линейки "Электродинамика и оптика", которые расширяют возможности базовой платформы COMSOL Multiphysics®. Кроме того, есть еще шесть модулей из других линеек, которые в той или иной мере также используют различные следствия из уравнений Максвелла в сочетании с другими физиками. Давайте попробуем систематизировать информацию о них.

Примечание: Этот блогпост был первоначально опубликован 10 сентября 2013 года. С тех пор он был дополнен дополнительной информацией и примерами.

Вычислительная электродинамика: Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла связывают плотность электрического заряда, \rho; электрическое поле, \mathbf{E}; электрическое поле смещения, \mathbf{D}; и ток, \mathbf{J}; а также магнитное поле, \mathbf{H}, и магнитную индукцию, \mathbf{B}:

Для решения этих уравнений нам нужен набор граничных условий, а также материальные уравнения (уравнения состояния), которые связывают поле \mathbf{E} с полем \mathbf{D}, поле\mathbf{J} с полем \mathbf{E}, а поле \mathbf{B}с полем \mathbf{H}. Эти уравнения решаются и сопрягаются с другими физиками при различных допущениях в различных модулях линейки расширений COMSOL.

Примечание: Большинство уравнений, представленных здесь, приведены в сокращенной форме, чтобы передать ключевую концепцию. Полная форму всех управляющих уравнений и материальных соотношения приведена в справочных руководствах и документации по продуктам пакета.

Для начала давайте разберем несколько основополагающих концепций…

Стационарная задача, задача в динамике во временной или частотной области?

Решая уравнения Максвелла, мы обычно стараемся сделать как можно больше корректных предположений с целью сократить вычислительную нагрузку. Уравнения Максвелла могут быть решены для любых произвольно изменяющихся во времени входных данных, но мы часто можем разумно допустить, что входные данные и вычисленные решения являются либо стационарными, либо синусоидально изменяющимися во времени. Первый вариант в литературе часто обозначают как DC (direct current – постоянный ток), а второй – как AC (alternating current – переменный ток) или FD (frequency domain – частотная область).

Предположение стационарного DC режима справедливо, если поля вообще не изменяются во времени или изменяются настолько незначительно, что это не имеет практического значения. Математически это равносильно занулению всех производных по времени в уравнениях Максвелла. Например, если ваше устройство подключено к батарее (которая может заметно разрядиться лишь по прошествии трех и более часов), то это будет очень разумным предположением. Более формально, мы допускаем, что: \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = 0, что сразу же "убирает" два члена из уравнений Максвелла.

Предположение о AC-режиме справедливо, если любое возбуждение или нагрузка в системе изменяются синусоидально и если отклик системы также изменяется синусоидально на той же частоте. Другими словами – реакция системы линейна. В таких случаях вместо решения задачи во временной области мы можем решить её в частотной области, используя соотношение: \mathbf{E}(\mathbf{x},t) = \Re \left( \exp ^{j \omega t }\mathbf{E_c(x)} \right), где \mathbf{E}(\mathbf{x},t) – поле, изменяющееся в пространстве и времени; \mathbf{E_c(x)}– комплекснозначное поле, изменяющееся в пространстве; и \omega – угловая частота. Решение уравнений Максвелла на множестве дискретных частот очень вычислительно эффективно по сравнению с пошаговым расчётом во временной области, хотя вычислительные требования растут пропорционально числу различных частот, для которых решается задача (с некоторыми оговорками, которые мы обсудим позже).

Расчёт во временной области необходим, когда решение произвольно изменяется во времени или когда отклик системы не линеен (хотя и здесь есть некоторые исключения, о которых мы еще поговорим). Моделирование во временной области является более сложным с вычислительной точки зрения, чем моделирование в стационарной постановке или в частотной области, поскольку время решения увеличивается пропорционально длительности интересующего нас промежутка времени и при наличии нелинейностей в задаче. При решении задач во временной области полезно заранее оценивать спектральные характеристики вашего входного сигнала, в т.ч. определить самую высокую частоту, которая присутствует в системе и значима.

Электрические поля, магнитные поля или же их совокупность?

Хотя мы можем решить уравнения Максвелла сразу и совместно для электрического и для магнитного полей, но часто возможно и разумно пренебречь одним или другим, особенно в DC постановке. Например, если токи достаточно малы по величине, то магнитные поля будут малы. Даже в тех случаях, когда токи высоки, мы можем не беспокоиться о результирующих магнитных полях. С другой стороны, иногда в системе существует только магнитное поле, но нет электрического поля, как в случае устройства, состоящего только из магнитов и магнитных материалов.

Однако во временной и частотной областях мы должны быть немного осторожнее. Первая характеристика, которую стоит при этом проверить, – это толщина скин-слоя для материалов в нашей модели. Толщина скин-слоя для металла обычно аппроксимируется следующим эмпирическим соотношением \delta = \sqrt{2/{\omega \mu \sigma} }, где \mu – проницаемость, а \sigma– проводимость материала. Если толщина скин-слоя намного больше характерного (электрического) размера объекта, то разумно предположить, что скин-эффект пренебрежимо мал, а решать задачу можно только для электрических полей. Однако, если толщина скин-слоя равна или меньше размера объекта, то индуктивные эффекты важны, и мы должны учитывать как электрические, так и магнитные поля. Полезно сделать быструю проверку толщины скин-слоя перед началом любого э/м расчёта.

По мере увеличения частоты возбуждения важно также знать первую резонансную частоту устройства или системы. На этой фундаментальной резонансной частоте энергия в электрических и магнитных полях находится точно в равновесии, а мы можем считать, что находимся в высокочастотном режиме. Хотя обычно трудно предварительно оценить резонансную частоту, хорошим эмпирическим правилом является сравнение характерного размера объекта, L_c, с длиной волны, \lambda = c/f. Если размер объекта приближается к значительной доле от длины волны, L_c \approx \lambda/100, то мы приближаемся к высокочастотному режиму. В этом режиме энергия передается в основном посредством излучения через диэлектрические среды, а не через токи внутри проводящих материалов. Это приводит к несколько иной форме управляющих уравнений. Частоты значительно ниже первого резонанса часто называют низкочастотным режимом работы.

Давайте теперь посмотрим, как эти различные предположения применяются к уравнениям Максвелла и дают нам различные наборы итоговых расчётных уравнений. Кроме того, мы определимся с тем, какие модули нам нужно будет использовать для каждой из получаемых формулировок.

Моделирование стационарных электрических полей и токов

В предположении стационарного режима можно далее допустить, что мы имеем дело исключительно с проводящими материалами или же с совершенными изоляторами. В первом случае мы можем предположить, что ток течет во всех областях, и уравнения Максвелла могут быть переписаны как:

Это уравнение решается для электрического потенциала V, через которых можно выразить электрическое поле, как \mathbf{E} = -\nabla V, а ток, как \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}. Эта формулировка считается базовой и может быть реализована с помощью базовой платформы COMSOL Multiphysics, её решение демонстрируется в т.ч. во вводном демонстрационном примере к программному обеспечению. Модуль AC/DC и модуль MEMS расширяют возможности базовой платформы. При их использовании доступно условие Terminal, упрощающее настройку модели, а также граничные условия для моделирования относительно тонких проводящих и диэлектрических областей, а также отдельные физические интерфейсы для моделирования течения тока через геометрически тонкие, в т.ч. многослойные, структуры.

С другой стороны, в предположении, что нас интересуют электрические поля в идеальных изоляторах, описываемых диэлектрической проницаемостью материала \epsilon, мы можем решить уравнение:

Оно позволяет вычислить напряженность электрического поля в диэлектрических областях между объектами (электродами) с различным электрическим потенциалом. Это уравнение также может быть решено с помощью базовой платформы COMSOL Multiphysics, и опять же, модули AC/DC и MEMS расширяют эти возможности, например, с помощью условия Terminal, граничных условий для моделирования тонких диэлектрических областей и тонких зазоров в диэлектрических материалах. Кроме того, эти два продукта дополнительно предлагают формулировку на основе метода граничных элементов, в которой решается то же управляющее уравнение, но имеются некоторые преимущества для моделей, состоящих только из проводов и проводящих поверхностей, как обсуждалось в одной из заметок нашего корпоративного блога.

Моделирование электрических полей и токов в динамике во временной и частотной областях

При наличии задачи смоделировать изменяющиеся во времени электрические поля, в формулировке сразу появятся токи проводимости и смещения, и вам потребуются интерфейсы и инструменты, входящие в состав либо модуля AC/DC, либо модуля MEMS. Уравнения немного отличаются от первого уравнения, приведенного выше, и в случае формулировки для временной области записываются как:

Это уравнение решается как для токов проводимости, \mathbf{J}_c = \sigma \mathbf{E}, так и для токов смещения, \mathbf{J}_d = \frac{ \partial \mathbf{D}}{\partial t}. Такой подход целесообразно использовать, когда исходные сигналы негармоничны и вы хотите мониторить реакцию системы с течением времени. Пример такой задачи можно увидеть в учебной модели "Моделирование переходных процессов в конденсатора, подключенного в электрическую цепь".

В частотной области мы можем использовать следующую стационарную формулировку:

Токи смещения в этом случае определяются как \mathbf{J}_d = j \omega \epsilon \mathbf{E}. Примером использования этого уравнения является модель "Моделирование работы конденсатора в частотной области".

Держите в уме, что при моделировании только электрических полей не учитываются вихревые токи. При необходимости их рассмотрения следует решать магнитную задачу в динамике.

Моделирование магнитных полей с помощью модуля AC/DC

Моделирование магнитных полей в стационарном, динамическом или низкочастотном режиме реализуется с помощью модуля AC/DC.

Для случаев, в которых нет протекания тока, например при моделировании магнитов и магнитных материалов, можно упростить уравнения Максвелла и решать задачу для магнитного скалярного потенциала V_m:

Это уравнение может быть решено либо методом конечных элементов, либо методом граничных элементов.

Как только в модели появятся стационарные токи, мы должны вместо этого решать задачу для магнитного векторного потенциала \mathbf{A}.

Этот магнитный векторный потенциал используется для вычисления \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}, а источники тока, \mathbf{J}, могут либо подставляться, либо одновременно вычисляться с помощью указанного ранее уравнения для электрического скалярного потенциала и тока. Типичным примером для такого случая является расчёт магнитного поля катушки Гельмгольца.

Переходя во временную область, мы решаем следующее уравнение:

где \mathbf{E} = -\frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} .

Это уравнение учитывает только токи проводимости и индуцированные токи, но не токи смещения. Это разумно, если передача энергии происходит в основном через проводимость, а не излучение. Одной из сильных мотиваций при решении этого уравнения является учет нелинейных магнитных материалов, например описываемого с помощью B-H кривой, как в этой модели трансформатора с E-образным (броневым) сердечником. Однако следует отметить, что существуют альтернативные способы описания нелинейных материалов B-H (в частотной области) с помощью эффективных H-B кривых.

Когда мы переходим в частотную область, управляющее уравнение трансформируется в:

Обратите внимание, что это уравнение учитывает как токи проводимости, \mathbf{J}_c = -j \omega \sigma \mathbf{A}, так и токи смещения, \mathbf{J}_d = \omega^2 \epsilon \mathbf{A}, и начинает выглядеть довольно похоже на волновое уравнение. Фактически, это уравнение можно использовать до и в окрестности резонанса системы в предположении, что излучение пренебрежимо мало, см. пример: Моделирование 3D-индуктора.

Более полный обзор использования приведенных выше наборов уравнений для моделирования магнитных полей представлен в нашей серии видеолекций по моделированию электромагнитных катушек.

Также можно смешивать уравнения относительно магнитного скалярного потенциала и векторного потенциала, что актуально и применимо для расчета электродвигателей и генераторов.

В дополнение к вышеприведенным уравнениям относительно магнитного векторного потенциала и скалярного потенциала существует также отдельная формулировка в терминах магнитного поля, которая подходит для моделирования сверхпроводящих материалов. См. демонстрационную модель сверхпроводящего провода.

Моделирование электромагнитных волн в частотной и временной областях с помощью модулей Радиочастоты или Волновая оптика

Когда мы выходим на высокочастотный режим, электромагнитные поля становятся волнообразными по своей природе, что учитывается при моделировании антенн, микроволновых контуров, оптических волноводов, микроволнового нагрева и рассеяния в свободном пространстве, а также рассеяния от объектов, интегрированных на подложке. В этом случае мы решаем несколько иную форму уравнений Максвелла в частотной области:

Это уравнение записывается в терминах электрического поля, \mathbf{E}, а магнитное поле вычисляется как j \omega \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{E} . В такой формулировка задача может быть решена либо для заданного набора частот, либо как задача на поиск собственных частот, в рамках которой определяются резонансные моды устройства. Из примеров анализа собственных частот можно отметить несколько эталонных моделей расчёта замкнутых полостей, катушек и резонатора Фабри–Перо, при этом доступен расчет как непосредственно резонансных частот, так и добротности таких систем.

При исследовании отклика системы в диапазоне заданных частот можно непосредственно решать задачу на множестве дискретных частот, и в этом случае вычислительные затраты линейно масштабируются с числом заданных частот. Альтернативно можно использовать распараллеливание на отдельных компьютерах, так и на кластерах для ускорения решений. Существуют также специальные исследования Frequency-Domain Modal и Adaptive Frequency Sweep (с использованием методики Asymptotic Waveform Evaluation), которые ускоряют решение для некоторых типов задач, что представлено в общем смысле в этом блоге и продемонстрировано на примере волноводного фильтра с диафрагмами.

Если же вы решаете задачу во временной области с помощью модулей Радиочастоты или Волновая Оптика, то при этом используется уравнение, которое очень похоже на указанное ранее уравнение для аналогичной формулировки в модуле AC/DC:

Это уравнение также решается для магнитного векторного потенциала, но включает в себя как первую, так и вторую производные по времени, таким образом, позволяя учитывать как токи проводимости, так и токи смещения. Такая формулировка применима для моделирования оптических нелинейностей, дисперсионных материалов и распространения сигналов. Результаты во временной области также могут быть преобразованы в частотную область с помощью специального решателя, проводящего быстрое преобразования Фурье, как показано в этом примере.

Вычислительные требования для решения волновых уравнений с точки зрения потребления памяти вызывают беспокойство. Устройство, представляющее интерес, и пространство вокруг него дискретизируются с помощью сетки конечных элементов, и эта сетка должна быть достаточно подробной для разрешения длины волны. То есть, как минимум, потребуется выполнение критерия Найквиста (теоремы Котельникова). На практике это означает, что расчет задачи при размере домена около 10 x 10 x 10 длин волн (независимо от рабочей частоты) потребует рабочей станции, на которой доступно не менее 64 ГБ оперативной памяти. По мере увеличения размера области (или увеличения частоты) требования к памяти будут расти пропорционально количеству кубических длин волн, для которых решается задача. Это означает, что данная формулировка хорошо подходит для структур, характерный размер которых примерно не превышает 10-кратной длины волны на самой высокой рабочей частоте, представляющей интерес. Однако есть два способа обойти этот предел.

Одним из подходов к расчету э/м полей вокруг объекта, значительно меньшего длины волны, является явная формулировка Time Explicit. Она основа на другой форме записи уравнений Максвелла для временной области, которые могут быть решены с использованием гораздо меньшего объема памяти. Данная формулировка в первую очередь предназначена для моделирования линейных задач и будет полезна в ряде ситуаций, например, для исследования широкополосного рассеяния фонового поля на объекте.

Есть еще один альтернативный подход для некоторых типов оптических волноводных структур, требующих решения в частотной области, если известно, что электрическое поле изменяется довольно медленно в направлении распространения волны. В таких случаях возможно использовать технологию Beam Envelopes (Огибающих пучка), доступную в модуле Волновая оптика. В интерфейсе на её основе решается уравнение:

Где электрическое поле представляется как \mathbf{E} = \mathbf{E_e} \exp \left (-i \phi \right), а \mathbf{E_e} – огибающая электрического поля.

Дополнительная переменная, \phi, представляет собой так называемую фазовую функцию, которая должна быть известна, по крайней мере приблизительно, и задана как входная информация. К счастью, для многих оптических волноводных задач это действительно так. Можно решать задачу для одного или двух таких полей огибающей пучка одновременно. Преимущество этого подхода заключается в том, что требования к памяти намного ниже, чем для полноволнового уравнения, представленного в начале данного раздела. Примеры его использования: расчёты направленного ответвителяи моделирование самофокусировки в оптическом стержне.

Выбор между модулями AC/DC, Радиочастоты и Волновая оптика

Разделение областей использования модулей AC/DC и Радиочастоты достаточно нечеткое. Полезно задать себе несколько следующих вопросов:

1. Излучают ли устройства, для которых планируется исследование, значительное количество энергии? Интересен ли расчёт резонансов? Если это так, то более подходящим является модуль Радиочастоты.
2. Как соотносится размер устройства с длиной волны? Он намного меньше длины волны на самой высокой рабочей длине волны? И в первую очередь интересуют магнитные поля? Если это так, то более подходящим является модуль AC/DC.

Если вы находитесь в пограничной ситуации, то может быть разумно иметь оба продукта в вашей конфигурации лицензии.

Выбор между модулями Радиочастоты и Волновая оптика подразумевает конкретизацию области применения. Между этими модулями существует много совпадений и пересечений по функциональным возможностям в контексте полноволнового моделирования на основе уравнений Максвелла во временной и частотной областях, однако есть некоторые небольшие различия в граничных условиях. Так называемые граничные условия типа Lumped Port (Сосредоточенный порт) и Lumped Element (Сосредоточенный элемент) актуальны для моделирования СВЧ-устройств и поэтому доступны при наличии именно модуля Радиочастоты. Также имейте в виду, что только в модуле Волновая оптика доступна формулировка Beam Envelopes.

Кроме того, эти два продукта поставляются с различными библиотеками материалов: модуль Радиочастоты включает набор стандартных диэлектрических подложек, в то время как модуль Волновая Оптика включает данные о показателе преломления более тысячи различных материалов в оптическом и ИК-диапазоне. Для получения более подробной информации об этих и других доступных библиотеках материалов см. наш исчерпывающий обзор.

Конечно, если у вас есть дополнительные уточняющие вопросы, то свяжитесь с нами. Краткое описание логики разделения функционала этих модулей приведено на рисунке ниже.

Трассировка оптических лучей с помощью модуля Геометрическая оптика

Если вы моделируете устройства, размер которых во много тысяч раз превышающие длину волны, то уже нереалистично разрешить длину волны с помощью сетки конечных элементов. В таких случаях мы также предлагаем использовать модуль Геометрическая оптика. Реализованный в нем подход не решает напрямую уравнения Максвелла, а вместо этого позволяет трассировать оптические лучи в расчётной области. Этот подход требует построения сетки только на отражающих поверхностях и диэлектрических областях, но не на однородном свободном пространстве. Указанная технология применима для моделирования линз, телескопов, больших лазерных резонаторов, а также для сопряженного анализа механических, тепловых и оптических эффектов в больших оптических системах (STOP-analysis). Трассировку лучей и полноволновый анализ пожно сопрягать так, как показано в следующей учебной модели.

Мультифизическое моделирование электродинамических систем

Помимо решения непосредственно уравнений Максвелла, одной из основных сильных сторон программы COMSOL Multiphysics является решение задач, где есть связи между несколькими физиками. Одним из наиболее распространенных примеров является связь между уравнениями Максвелла и уравнениями теплопередачи, при которой повышение температуры влияет на электрические (а также тепловые) свойства системы. Обзор способов решения подобных электротермических проблем можно найти в этом блоге.

Также важно сочетать механические расчеты и исследования электрических и магнитных полей. Иногда это просто связано с учётом деформаций электронных компонентов, но в ряде случаев требуется анализ пьезоэлектрических, пьезорезистивных, магнитострикционных или даже оптомеханических эффектов и материалов. Все указанные связки реализуются в программе. Модуль MEMS также предлагает специальный физический интерфейс для расчета кремниевых микромеханических резонаторов с электростатической актуацией. Механические контакты и протекание тока между контактирующими частями также могут быть рассмотрены в контексте моделирования электрических токов.

Помимо сопряжения с тепловым и механическим анализом, вы также можете решать уравнения Максвелла для электрического тока с учетом химических процессов в электролитах, что реализовано в модулях Электрохимия, Электрохимические аккумуляторы, Электроосаждение и Коррозия. В модуле Плазма вы даже можете исследовать физико-химические процессы, лежащие в основе электрических разрядов, а с помощью модуля Трассировка частиц вы можете исследовать движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Наконец наш модуль Полупроводники рассчитан на моделирование динамики электронов и дырок в полупроводниковых системах в дрейфово-диффузионном приближении. Каждый из этих модулей определенно достоин отдельного обзора, поэтому мы не будем пытаться рассмотреть их их функционал прямо здесь.

Если вы хотите обсудить любой из этих модулей более подробно и узнать, как он применим к интересующему вас устройству или процессу, не стесняйтесь обращаться к нам с помощью контактной формы по нажатию на кнопку ниже.