В погоне за волнами: История Джона Скотта Рассела и уравнения Кортевега – де Фриза

09/05/2018

На протяжении всей своей жизни Джон Скотт Рассел в буквальном смысле преследовал объект своей страсти, научной страсти. Однажды, наблюдая за тем, как лошади тянут лодку через мелководный канал, он заметил одиночную странную волну и проследовал за ней верхом на лошади на протяжении нескольких миль. Всю оставшуюся жизнь он продолжал настойчиво «гоняться» за этой волной (которую он назвал "(одиночной) волной перемещения"), при этом его теории неоднократно подвергаясь высмеиванию со стороны других учёных. Удалось ли Скотту Расселу поймать свою волну и как это повлияло на современное развитие науки и техники?

Лошадь, плоскодонное судно и любопытный корабельный инженер

Если бы вы жили в Глазго в 1830-х, то знали, что одним из лучших способов объехать Шотландию являлось запряжённое лошадьми плоскодонное судно, которое курсировало по Глазго, Пэйсли и Ардроссанскому каналу. Такие "плоскодонки" были лёгкими, длинными и узкими. Лошади их тянули по мелководью каналов.

Фотография церкви в городе Глазго, Шотландия.

Фотография канала в центральной Шотландии.

Современный вид на Глазго, Шотландия (слева) и канал в центральной Шотландии, где находится вращающийся подъёмник лодок, известный как Колесо Фолкерка (справа).

Однажды, Уилиам Хьюстон, владелец одной из лодочных компаний, спокойно путешествовал по каналу, но внезапно его лошадь что-то напугало. Хьюстон обнаружил нечто странное: Вода не оказывала лодке никакого сопротивления. Судно скользило быстро (в настоящее время мы это называем «аквапланирование»), и турбулентный поток от его движения не повреждал берега канала (См. [1]).

Именно здесь в действие вступает Джон Скотт Рассел — корабельный инженер из Глазго. Услышав о подобном явлении, он захотел лично увидеть его. т.к. считал, что этот опыт будет полезен при проектировании судов. Во время наблюдения за каналом он заметил, как одна из лошадей внезапно остановилась. Волна, образовавшаяся под лодкой (в центральной части), прошла до её носовой части и затем полностью проследовала мимо. Скотт Рассел проследовал за волной сначала пешком, а потом на лошади. Его поразило то, что волна распространялась, сохраняя одинаковые размеры и скорость. Позже он назвал её «волна перемещения» и описывал тот день, как «самый счастливый день в своей жизни». (См. [2])

Портрет Джона Скотта Рассела.
Джон Скотт Рассел в 1847 году. Изображение в свободном доступе на территории США, взято из Wikimedia Commons.

На протяжении двух лет Скотт Рассел пробовал воспроизвести одиночную волну перемещения, чтобы более подробно её изучить. Он даже построил тридцатифутовый бассейн для проверки своих теорий. В конце концов он установил некоторые уникальные свойства этих волн, которые уже назвал уединенными волнами (solitary waves). Скотт Рассел выделил следующие свойства таких волн:

  • Они стабильно распространяются на большие расстояния
  • Скорость распространения волны зависит от размера
  • Ширина волны зависит от глубины воды
  • Уединенная волна не комбинируется (не интерферирует) с другими волнами (вместо этого, большие волны перегоняют более мелкие)
  • Если глубина слишком маленькая для размеров волны, то она разделяется на две

 

Анимация, иллюстрирующая поведение уединённых волн (солитонов).

Он также разделил эти волны на четыре вида:

  1. Волны перемещения, которые включают в себя массоперенос и являются либо одиночными, либо сопровождаются серией вторичных волн
  2. Колебательные волны – группы последовательных волн (например, волны, созданные ветром)
  3. Капиллярные волны, которые вызваны очень малыми возмущениями воды и зависят от поверхностного натяжения
  4. Корпускулярные волны – быстрые последовательности уединенных волн (например, звуковые волны)

Скотт Рассел представил свои выводы на заседании Британской научной ассоциации в Эдинбурге, в рамках которого описал свойства уединённых волн и их механику. Его изначальной специализацией была архитектура, а не физика, поэтому в его работах был ряд неправильных толкований базовых законов механики. В итого учёные того времени не согласились с его теориями, в т.ч. из-за его ограниченных знаний и опыта в физике и инженерном деле.

Но именно это инициировало зарождение целой эпохи исследования поведения уединенных волн и солитонов.

Первые реакции на теорию уединенных волн

Как мы уже отметили, изначально научное сообщество не доверяло теориям Джона Скотта Расселла об уединенных волнах. Джордж Биддель Эйри, в то время изучавший поведение приливно-отливных явлений, не относился к Скоту Расселу с должным уважением и полагал, что его изыскания противоречат теории механики жидкостей Пьера-Симона Лапласа. Как мы знаем, уравнения Лапласа являются неотъемлемой частью современного математического аппарата для описания динамики жидкостей. (См [1])

Джордж Габриэль Стокс, который всем известен по уравнениям Навье-Стокса, также не поддерживал идеи о существовании уединенных волн и, в начале, даже не допускал возможности их связи с приливами или звуком. Однако с течением времени по мере исследования колебательных волн конечной амплитуды он изменил свою точку зрения и в итоге допустил теоретическую возможность существования уединенных волн. (См [1])

Между тем: Возвращение к кораблестроению

Скотт Рассел определенно не забросил свои научные исследования, однако параллельно продолжал заниматься своей основной работой — судостроительством. Свои исследования он использовал для совершенствования носовой части кораблей, которую он предложил делать в форме обращённой синусоидальной волны, чтобы вода оказывала меньшее сопротивление судну.

В 1850-х Исамбард Киндом Брюнель обратился за помощью к Скотту Расселу в отношении постройки парохода под названием Грейт Истерн (Great Eastern). Брюнель спроектировал корабль, который должен был стать самым большим судном того времени (он ласково называл его «Великий малыш»). На этом корабле потенциально можно было переплыть из Англии в Австралию без дозаправки горючим.

Изображение парохода Грейт Истерн (Great Eastern)
Пароход Грейт Истерн (Great Eastern) перед первым запуском. Изображение в свободном доступе на территории США, взято из Wikimedia Commons.

Скотту Расселу удалось воплотить в жизнь проекты Брюнеля и построить Грейт Истерн, который в итоге совершил много трансатлантических путешествий. Однако, авторитет судна был подорван, когда Брунель скончался незадолго до полноценного запуска, а во время первого рейса произошла крупная авария. Примерно в это же время у Скотта Рассела начались финансовые проблемы и он боролся с конфискацией своих активов.

Перемены к лучшему: Буссинеск и уравнение Кортевега — де Фриза

Годы шли, но учёные не признавали научных теорий Скотта Рассела. К тому же, он стал банкротом. К счастью, этому было суждено измениться.

Джозеф Валентин Буссинекс, протеже Адемара Жан-Клода Барре де Сен-Венана, , известный по работам в области гидродинамики, не списал со счетов Скотта Рассела, как другие в то время. Вместо этого он математически проанализировал все свойства волн и приливно-отливных явлений. В 1872 году Буссинеск в попытке математически объяснить поведение волн на мелководье получил уравнение, которое доказывало, что уединенные волны теоретически возможны. Он даже упомянул Скотта Рассела в своей статье на эту тему в 1877 году. Независимо от этого, лорд Рэлей разработал схожую теорию о волнах и также поддержал Скотта Рассела. (См [1])

Наконец-то, двое учёных высказались в поддержку его работ! Однако в 1882 году Скотт Рассел скончался в возрасте 74 лет на острове Уайт, Англия. Но на этом история не заканчивается.

В 1895 году Дидерик Кортевег и Густав де Фриз подробно развили работы Буссинеска и в итоге получили элегантное уравнение, которое доказывало теоретическую возможность существования уединенных волн. В уравнении КдФ отсутствует диссипация, т.е. оно описывает волны, распространяющиеся на длинные расстояния с сохранением формы и скорости. К тому же это уравнение проще, чем версия Буссинеска и даёт лучшее решение. (См. [2]) По этим причинам уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ) до сих пор используется для описания поведения волн в их многочисленных формах.

Современные исследования солитонов

Исследование уединенных волн уже в современное время было продолжено в 1965 году, когда учёные Мартин Крускал и Норман Забуски начали подробно изучать уравнение КдФ. Исследователи обнаружили, что указанные волны могут возникать не только в теории, но и в реальности. Они также предложили современный термин для их названия — солитоны. К тому же солитоны стали рассматриваться не только в контексте волн на воде — были открыты аналогичные явления в оптике, акустике и т.п.

В 1967 году Крускал вместе с Гарднером, Грином и Миурой разработал т.н. обратное преобразование рассеяния (inverse scattering transform). Эта методика позволила найти точное решения уравнения КдФ. К тому же, с помощью него можно описывать и наблюдать упругие столкновения между волнами, которые наблюдали Крускал и Забуски. (См. [2])

Солитон в гидродинамике.
Солитон в гидродинамике. Автор изображения — Christophe.Finot et Kamal HAMMANI. Доступно по лицензии CC BY-SA 2.5 из Wikimedia Commons.

Затем, учёные Захаров и Шабат для решения нелинейного уравнения Шрёдингера использовали формулировку Питера Лакса. Указанное уравнение описывает эволюцию медленно меняющейся функции для общего волнового пакета, при этом решение имеет солитонную форму и качественно совпадает с решением уравнения КдФ. Позднее Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур предложили еще более систематический подход к решению нелинейного уравнения Шрёдингера, который получил название метод АКНС (AKNS method). (См. [2])

Такая бурная деятельность в области изучения солитонов привлекла большое внимание научного сообщества, что в своё время не удалось сделать Скотту Расселу. На протяжении следующих 30 лет солитоны исследовались применительно к разным областям, включая геомеханику, океанографию, астрофизику, квантовую механику и т.д.

Применение солитонов в волоконной оптике

Оптоволоконные технологии являются важной практической областью применения солитонов. Линейные дисперсионные свойства волокна выравнивают солитон, в то время как нелинейные эффекты помогают солитону достичь фокусировки. В результате получается очень стабильный импульс, который может распространяться практически бесконечно.

Впервые эти явления пронаблюдала группа учёных из Bell Labs во главе с Линном Молленауэром в 1980-х годах. Их целью являлось применение солитонов в системах дальней связи. В 1990-х годах группа исследователей из Массачусетского технологического института попробовала добавить в систему передачи оптические фильтры для увеличения максимального расстояния распространения оптического солитона. Используя данный метод, группе Молленауэра удалось отправить сигнал со скоростью 10-Гбит/с на расстояние более чем 20 000 км. Это был впечатляющий результат для того времени. (См. [2]) В 2000-х годах исследования в области оптических солитонов обратились в сторону векторных солитонов, которые имеют два различных компонента поляризации.

В настоящее время целью исследования Лахава и соавторов описывают подходы к созданию солитонов, стабильных во всех трёх измерениях. Они получили название  — «световые пули». Для этого необходимо одновременное подавление эффектов дифракции и дисперсии, что достигается путём применения высокоструктурированного материала (в отличии от неструктурированных кристаллов, которые используются на практике). Группа Лахава исследовала фундаментальные свойства трёхмерных солитонов, чтобы найти более технологические применения солитонов в волоконной оптике. Они также разработали метод, суть которого заключается в повторении последовательности световых импульсов в специальном материале — ниобате бария-стронция для создания луча с самофокусировкой при подавлении дисперсии. С помощью этого метода можно создавать цепочки трёхмерных солитонов, которые потенциально могут быть использованы в нелинейной оптике и в рамках оптической обработки информации. (См. [3])

Моделирование на основе пользовательских уравнений для исследования динамики солитонов

Решение уравнения КдФ говорит о том, что скорость солитона определяет его амплитуду и ширину. Подробное исследование данного эффекта может помочь лучше предсказывать поведение солитонов для оптических приложений. Моделирование может быть использовано для визуализации поведения солитонов (помимо непосредственно уравнений). При этом оно сократит необходимость создания ресурсоёмких и дорогостоящих оптических экспериментов. Помимо демонстрации того, как скорость влияет на амплитуду и ширину волны, с использованием моделирования можно исследовать столкновение солитонов и их повторное возникновение с сохранением своей формы (подобно уединенным волнам, за которыми «гонялся» Скотт Рассел).

Моделирование солитонов.
Результаты расчётов, показывающие столкновение и повторное возникновение солитонов. Изображение взято из учебной модели Решение уравнения КдФ и расчёт солитонов.

Готовые (предустановленные) физические интерфейсы — это эффективный и простой вариант для классических задач моделирования. Однако, описание и расчет оптических солитонов выходит за их рамки. Моделирование, основанное на пользовательских уравнениях, позволяет расширить возможности расчёта задач, требующих гибкости и творческого подхода. Используя моделирование на основе пользовательских уравнений, вы можете легко записать уравнение КдФ в программном обеспечении COMSOL Multiphysics®. Для этого нужно добавить математический интерфейс для ручной записи дифференциальных уравнений в частных производных (PDE-интерфейс). Вы даже можете создать свой собственный физический интерфейс с персональными настройками, чтобы в дальнейшем не нужно было повторно настраивать аналогичные модели и вводить все уравнения заново.

Модель солитонов на основе решения уравнения КдФ в пакете COMSOL Multiphysics.
Настройки PDE-интерфейса COMSOL Multiphysics в модели для расчёта солитона — отличный пример моделирования на основе пользовательских уравнений.

Используя указанный функционал пакета, можно рассчитать эволюцию начального импульса в оптоволокне, а также результирующие волны и солитоны.

Заключение

В 1885 году посмертно была опубликована книга Скотта Рассела под названием "The Wave of Translation in the Oceans of Water, Air and Ether". В неё вошли размышления автора о физике материи и о том, как мы можем найти границы атмосферы и вселенной с помощью расчёта скорости звука и света, соответственно. (См. [4]) Даже в конце своей жизни, Скотт Рассел продолжал строить теории о том, как мы можем применять математику для осознания окружающего мира, а также о значении солитонов в современной физике. Если бы он только мог видеть популярность уравнения КдФ в наши дни и последние достижения в области оптики.

Один из сторонников Скотта Рассела Осборн Рейнольдс в рамках своих собственных исследований писал: В глубокой воде группы волн распространяются быстрее, чем уединенные волны их породившие. (См.[1]) Аналогичным образом мы можем думать о Джоне Скотте Расселе, как об одиночной волне, которая в итоге вдохновила других продолжать продвигаться к общей цели.

Следующие шаги

Узнайте больше о моделировании на основе пользовательских уравнений и других функциональных возможностях COMSOL Multiphysics. Перейдите к подробному описанию по нажатию на кнопку ниже.

Список литературы

  1. O. Darrigol, "The Spirited Horse, the Engineer, and the Mathematician: Water Waves in Nineteenth-Century Hydrodynamics," Archive for History of Exact Sciences, vol. 58, pp. 21–95, 2003.
  2. B. Kath and B. Kath, "Making Waves: Solitons and Their Optical Applications," SIAM News, vol. 31, no. 2, pp. 1–5, 1998.
  3. F.W. Wise, “Solitons divide and conquer,” Nature, vol. 554, pp. 179–180, 2018.
  4. Topics in Current Physics: Solitons, R.K. Bullough and P.J. Caudrey, eds., Springer-Verlag, pp. 373–379, 1980.

Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ