Три примера создания моделей на основе пользовательских уравнений в COMSOL Multiphysics®

20/12/2017

Создание новых физических интерфейсов, которые можно сохранить, а затем отправить другим пользователям, изменение базовых уравнений в модели и расчёт более широкого диапазона устройств и процессов — это только несколько примеров использования возможностей моделирования на основе пользовательских уравнений (equation-based modeling) в программном обеспечении COMSOL Multiphysics®.

Моделирование на основе пользовательских уравнений

Моделирование на основе пользовательских уравнений входит в функционал базовой платформы COMSOL Multiphysics. С помощью него можно создавать свои модели, основанные на произвольных математических уравнениях непосредственно в графическом пользовательском интерфейсе (GUI) ПО.

Этот функционал даёт вам полный контроль над моделью. Вы можете точно настраивать модель под любые специальные требования или усложнять её по мере необходимости. Для обеспечения такой гибкости в COMSOL Multiphysics используется встроенный интерпретатор математических уравнений и выражений. Также можно воспользоваться инструментами Physics Builder (Построитель физических интерфейсов), чтобы создать собственный физический интерфейс, или Application Builder (Среда разработки приложений), чтобы создать новый пользовательский интерфейс (UI).

Скриншот графического интерфейса COMSOL Multiphysics, на котором показано добавление пользовательского дифференциального уравнения в частных производных.
Пример добавления пользовательского дифференциального уравнения в частных производных непосредственно в графическом интерфейсе COMSOL Multiphysics.

Используя указанный функционал, можно использовать и задавать:

  • Дифференциальные уравненияя в частных производных (PDE)
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE)
  • Алгебраические уравнения
  • Алгебраические дифференциальные уравнения (DAE)
  • Подвижные сетки на основе методов Лагранжа – Эйлера (Arbitrary Lagrangian-Eulerian – ALE)
  • Расчеты с использованием криволинейных координат
  • Анализ чувствительности

Возможности моделирования на основе пользовательских уравнений определяются лишь вашей фантазией и творческим подходом, а также доступными вычислительными и временными ресурсами. Давайте рассмотрим три примера, которые позволят подробней узнать о данном функционале.

Пример 1. Уравнение Кортевега — де Фриза и солитоны

В 1895 году для описания нелинейных волн в воде было получено уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ). Так как в уравнении отсутствует диссипация, то волны фактически должны распространяться бесконечно. Сегодня, такие волны мы называем солитонами. Они рассматриваются как одиночные «горбы», которые могут распространяться на большие расстояния без изменения скорости и формы.

В настоящее время инженеры используют уравнение КдФ в т.ч. для анализа световых волн. Таким образом, солитоны в основном применяются в оптоволоконных системах.

Решение уравнения Кортевега — де Фриза с помощью моделирования на основе пользовательских уравнений

Для решения уравнения КдФ в COMSOL Multiphysics пользователи могут добавить уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) в интерфейс программы, используя математические выражения и подбирая необходимые коэффициенты. Можно легко определить зависимые переменные и коэффициенты в физическом интерфейсе General Form PDE (Общая форма дифференциального уравнения в частных производных).

После корректной настройки пользователи смогут задать начальный импульс в оптоволокне и смоделировать результирующие волны или солитоны. Согласно уравнению КдФ, скорость импульса определяет его амплитуду и ширину. Эти параметры можно получить и проанализировать по результатам расчета. Кроме того, результаты моделирования покажут, что, как и линейные волны, солитоны могут сталкиваться, а затем восстанавливать свою форму. Это противоречивое открытие было бы сложно сделать без помощи моделирования.

Если вы хотите узнать больше об этом примере, ознакомьтесь с учебной моделью "Решение уравнения КдФ" в Галерее моделей и приложений.

Результаты моделирования уравнения Кортевега — де Фриза и солитонов с помощью модели на основе пользовательских уравнений.
По результатам расчёта видно, как солитоны сохраняют свою исходную форму после столкновения друг с другом.

Пример 2. Электрические сигналы в сердце

Теперь давайте перейдём к следующему примеру. В нём мы увидим, как можно использовать моделирование для анализа ритмических сокращений и расслаблений сердца. Ритмические сокращения возникают, когда сердце посылает импульс ионного тока через мышцу. Во время этого процесса ионы перемещаются через небольшие поры, которые находятся в открытом (возбуждение) либо в закрытом (покой) состояниях внутри клеточной мембраны. Таким образом, чтобы лучше понять действие сердечных ритмов, нужно рассчитать электрическую активность сердечных тканей.

Моделирование электрических импульсов сердца — непростая задача, которая включает моделирование и описание свойств возбуждаемой среды. Одна из сложившихся практик решения данной задачи является использование двух наборов уравнений для описания различных аспектов распространения электрического сигнала. Давайте взглянем на модель "Распространение электрических сигналов в сердце", которую нам любезно предоставили доктор Кристиан Черубини (Christian Cherubini) и профессор Симионетта Филиппи (Simonetta Filippi) из Римского биомедицинского университета в Италии. В данном примере используется модель ФитцХью — Нагумо и комплексная теория Гинзбурга — Ландау, которые реализованы в COMSOL Multiphysics через физические интерфейсы для задания дифференциальных уравнений в частных производных (PDE-интерфейсы).

Использование двух различных дифференциальных уравнений в частных производных для анализа распространения электрических сигналов в сердечных тканях

Используя уравнения из модели ФитцХью — Нагумо для расчёта возбуждаемых тканей учёные создали простую физиологическую модель сердца с двумя переменными — активатором (в данном случае им является электрический потенциал) и ингибитором (зависимая от напряжения переменная, которая определяет вероятность того, что поры мембраны открыты и по ним может протекать ионный ток). Используя эти уравнения и различные параметры, пользователи могут визуализировать возвратную волну (reentrant wave), которая распространяется вокруг тканей без затухания, что приводит к её характерной спиралевидной форме. С помощью данной модели можно визуализировать эффекты, аналогичные действию аритмии, нарушающей нормальный ритм сердца.

Распространение электрического сигнала в сердце в момент времени 120 секунд.
Решение уравнения ФитцХью — Нагумо для модели сердца в момент времени 500 секунд.

Результаты решения уравнений ФитцХью — Нагумо в моменты времени 120 с (слева) и 500 с (справа).

С помощью комплексных уравнений Гинзбурга — Ландау учёные смоделировали переход системы от периодического колебательного состояния к хаотичному. Во время этого процесса амплитуда колебаний постепенно увеличивается, а период — уменьшается. Такие уравнения используются для изучения динамики распространения спиралевидных волн в возбуждаемой среде. Результаты демонстрируют диффузию компонентов с характерными спиралевидными паттернами, которые со временем становятся более сложными.

Решение уравнений Гинзбурга — Ландау в момент времени 45 секунд.
Результаты моделирования поведения сердца в момент времени 75 секунд.

Результаты решения уравнений Гинзбурга — Ландау в моменты времени 45 с (слева) и 75 с (справа).

Одновременное использование двух наборов уравнений в модели позволяет визуализировать сложные явления реального мира.

Пример 3. Аттрактор Лоренца

В заключении, давайте рассмотрим уравнения Лоренца, с помощью которых можно создать простую математическую модель атмосферной конвекции. При использовании определённых значений параметров и начальных условий, система обыкновенных дифференциальных уравнений (система Лоренца) будет иметь хаотичные решения. Одним из таких решений является аттрактор Лоренца, который выглядит, как восьмёрка или как бабочка при построении в фазовом пространстве.

Изображение стандартного аттрактора Лоренца.
Типичный аттрактор Лоренца.

Использование системы обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования аттрактора Лоренца

Для создания модели Аттрактора Лоренца в программное обеспечение необходимо добавить систему трёх связанных ОДУ с тремя степенями свободы. Это довольно легко сделать, используя физический интерфейс Global ODEs and DAEs для задания системы Лоренца.

Затем пользователи могут визуализировать исходное решение, которое будет похоже на аттрактор, и изучить рост очень небольшого возмущения, добавленного к этим начальным данным. Результаты (левое изображение ниже) показывают, как увеличивается с течением времени разница между решением исходной задачи и задачи с добавлением незначительного возмущения. Также, результаты моделирования показывают, что с выбранными значениями параметров, система (в фазовом пространстве) выходит на аттрактор Лоренца в виде бабочки.

Сравнение решений исходной задачи на аттрактор Лоренца и задачи с добавлением возмущения.
На графике изображён стандартный вид аттрактора Лоренца в COMSOL Multiphysics®.

Зависимость разницы решений исходной задачи и задачи с добавлением возмущения (слева). Стандартный вид аттрактора Лоренца (справа).

Следующий шаг

Узнайте о ключевых функциях программного обеспечения COMSOL Multiphysics и запросите демонстрационную версию программы для ознакомления.


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ