Валидация использования метода граничных элементов для магнитостатических расчетов

30/10/2018

Может ли метод граничных элементов (BEM) рассматриваться как альтернатива методу конечных элементов (FEM) для магнитостатических расчётов? В серии учебных примеров из трёх частей мы на примере определения электромагнитных сил, используя подход с расчетом тензоров напряжений по Максвеллу, покажем возможности метода граничных элементов (BEM). Мы сравним результаты с аналитикой и FEM-расчётом, чтобы продемонстрировать пользу и ценность метода граничных элементов в магнитостатических расчётах. Данная статья представляет собой краткий обзор того, что вас ждёт в серии учебных примеров.

Сравнение метода граничных и конечных элементов

Метод граничных элементов является инструментом численного моделирования, который можно использовать вместо метода конечных элементов (или в сочетании с ним) в электростатических, магнитостатических, акустических, коррозионных и некоторых других расчётах. В отличие от FEM для BEM-расчёта требуется построение только поверхностной (т.е. двумерной) сетки.

Для BEM нет необходимости создавать объёмную (т.е. трехмерную) сетку во всей расчётной области. При определенных условиях BEM-технология может повысить эффективность и простоту реализации модели. Этот метод связывает все степени свободы между собой (каждую с каждой) и хорошо подходит для расчётов бесконечных областей, изотропных материалов и тонких проводов. Однако, он не применим для задач с нелинейными или неоднородными материалами.

Возьмём, к примеру, электростатику. В этой области науки и техники использование BEM может упростить некоторые расчетные задачи, а именно:

  • Моделирование тонких проводов и изотропных материалов
  • Описание открытых задач и бесконечных областей
  • Постобработка на произвольных расстояниях от источников

В некоторых случаях вы можете воспользоваться преимуществами обоих методов, объединяя (по границе) в рамках единой модели BEM-расчет одних областей и FEM-расчет других.

Геометрия модели двух намагниченных стержней.
Модель двух параллельных намагниченных стержней из учебной серии примеров на тему верификации расчётов электромагнитных сил.

Теперь, после того, как вы вкратце познакомились с методом граничных элементов, может возникнуть вопрос, как эти знания можно применить на практике? Одно из перспективных приложений этой методики — это точный расчёт какого-либо потока (flux). В серии учебных примеров (которой посвящен данный блог) мы рассмотрим BEM, как альтернативу FEM в контексте магнитостатического моделирования, особенно, при расчёте электромагнитных сил с использованием тензора напряжений по Максвеллу (т.е. методики, использующей как расчет потоков).

Давайте посмотрим, насколько точен при этом окажется BEM-расчет по сравнению с FEM для постановочной задачи, для которой можно проверить результаты аналитически.

Расчет электромагнитной силы и его валидация

В рассматриваемой учебной серии используется функционал платформы COMSOL Multiphysics® и модуля расширения AC/DC. Коротко перечислим те приемы и техники, которые рассматриваются для повышения точности расчета:

  • Использование скруглений (филлетов), кастомизированное построение сетки и использование вспомогательных поверхностей (поверх стержней)
  • Сравнение BEM и FEM реализаций
  • Исследование по сеточной сходимости на основе параметрического свипа

В первой части содержится представление и пошаговое описание процесса построения геометрий моделей, которые будут использоваться во 2 и 3 частях.

NB: Опытные пользователи могут пропустить введение (Часть №1) и сразу начать со второй части серии. Если вы являетесь начинающим пользователем COMSOL Multiphysics, то эти подробные инструкции пояснят вам основы построения и настройки геометрии модели.

Отрисованная для части №2 геометрия модели включает только один стержень, заключенный в полусферу. Второй стержень учитывается посредством условия симметрии использованного при расчете. Для анализа электромагнитного (крутящего) момента в части №3 использована следующая постановка: один стержень расположен внутри сферической области, вокруг которой отрисована поверхность куба для задания внешнего поля.

Геометрия модели, которая использовалась для валидации использования BEM в магнитостатическом моделировании.
Геометрия для расчёта электромагнитной силы (слева) и электромагнитного крутящего момента (справа).

Постановка задачи расчета электромагнитной силы

Существует несколько способов расчёта электромагнитной силы, действующей на твёрдое тело. Для определения сил с использованием тензора поверхностных напряжений по Максвелу важно точно рассчитать поверхностные интегралы от величин напряжённости магнитного поля (H) и магнитной индукции (B).

У BEM в этом случае есть одно заметное преимущество. В отличие от FEM, при использовании BEM-технологии нормальный к границе поток введен в модель непосредственно как степень свободы. Это позволяет точно рассчитывать поток без добавления специальных (reaction force) интегралов для расчёта потоков или ограничений в слабой форме. Идея данной серии в том, чтобы решить задачи через BEM-методику, сравнить полученные результаты с FEM (на самом деле с гибридной FEM-BEM техникой, где BEM используется исключительно для описания открытых границ) и аналитическими моделями, на основании чего показать эффективность использования BEM для расчёта электромагнитных сил и моментов.

В магнитостатике преобладают два теоретических подхода:

  1. Через магнитные полюсы и заряды
  2. Через атомные микротоки

В данном случае будем использовать аналитическую модель на основе магнитных полюсов, так как в ней учитываются статические магнитные заряды и она математически эквивалентна электростатике.

Двухмерная геометрия верификационной модели для расчёта электромагнитных сил
Двухмерная геометрия аналитической модели

Двухмерная геометрия модели для численного расчёта электромагнитной силы (слева) и визуализация аналитической модели (справа).

Геометрия верификационной модели состоит из двух намагниченных стержней длинной 1 метр, расстояние между которыми 1 метр. Величина остаточной магнитной индукции внутри стержней специально подобрана так, чтобы значение силы отталкивания между ними составляло ровно 1 Н-м. Это является принципиально важным условием, так как в итоге мы будем сравнивать результаты моделирования с этим аналитическим значением и определять их уровень точности.

Сравнение двух методик расчёта электромагнитной силы

Полученные для BEM результаты показывают, что даже при относительно грубой сетке распределения расчетных полей являются довольно гладкими.

Модель для расчёта электромагнитной силы на поверхности стержня.
Модель для расчёта электромагнитной силы на вспомогательной внешней поверхности.

Распределение тензора напряжения по Максвеллу, на основе которого идет расчет э/м сил: непосредственно на поверхности стержня (слева) и на вспомогательной поверхности поверх стержня (справа).

Если сравнить результаты BEM и FEM расчёта с аналитической величиной при разных размерах и, следовательно, густоте сетки (см. график ниже), то несложно увидеть, что BEM-расчёт довольно точен даже для более грубой сетки. Для схожего порядка точности в FEM-расчёте необходимо построение намного более плотной сетки.

Также обратите внимание, что результаты расчёта силы на вспомогательной поверхности поверх стержня изначально более точные. Тензор напряжений лучше рассчитывать на определённом расстоянии от магнита, где его распределение более плавное. Это приводит к лучшему соответствию с аналитической моделью.

Сравнительный график с данными по погрешности при расчёте электромагнитной силы через FEM и BEM.
Относительные погрешности расчёта силы через BEM (синяя линия) и FEM (красная линия) на поверхности стержня и расчёт силы через BEM (зелёная линия) и FEM (голубая линия) на вспомогательной поверхности.

Результаты расчета подчеркивают тот факт, что максимальные напряжения сосредоточены на скруглениях магнита. В рамках обобщения, отметим, что расчёт сил на поверхности твёрдых тел с острыми краями в принципе не будет обладать разумной точностью. На практике такой расчёт сил по данным на поверхностях магнита с острыми углами может привести к ошибке порядка 2000%. BEM-методика в общем может служить хорошей альтернативой для моделей с относительно грубой сеткой.

Определение магнитного крутящего момента

В части №3 продолжается сравнительный анализ BEM и FEM-технологий, но уже на другой задаче и геометрии. Один намагниченный стержень длинной 1 метр помещается в перпендикулярное внешнее магнитное поле Be (см. иллюстрацию справа снизу). Величина напряжённости магнитного поля подбирается таким образом, чтобы момент, действующий на стержень, был равен 1 Н*м. Таким образом, мы можем провести еще одно сравнение с аналитикой результатов численного расчета.

Геометрия для расчёта э/м момента.
Аналитическая модель для расчёта момента.

Схема геометрической модели для численного (слева) и визуализация аналитической модели (справа) для определения магнитного момента.

Полученные для BEM результаты схожи по своей сути с теми, что получились во второй части серии (для электромагнитных сил). Распределения расчетных полей являются довольно гладкими даже при грубой сетке, напряжения сконцентрированы на скруглениях, точность расчёта хорошо соответствует аналитической модели.

Модель для расчёта электромагнитного моментао на поверхности стержня.
Модель для расчёта электромагнитного момента на вспомогательной внешней поверхности.

Распределение тензора напряжения по Максвеллу, на основе которого идет расчет э/м крутящего момента: непосредственно на поверхности стержня (слева) и на вспомогательной поверхности поверх стержня (справа).

Погрешность FEM-расчёта (а точнее комбинированного BEM–FEM) довольно высока, как и в части №2. Стоит отметить, что для обеих методик результаты, полученные на вспомогательной поверхности, гораздо более точны, чем на поверхности стержня. По результатам расчёта двух моделей можно сделать вывод о том, что BEM может быть очень полезен для магнитостатических моделей.

Дальнейшие шаги

Мы советуем детально ознакомиться с представленной в данной статье серией моделей для расчета электромагнитных сил и моментов. Вы можете получить доступ к пошаговым pdf-инструкциям или скачать MPH-файл по нажатию на кнопку, расположенную ниже. Вы попадёте в галерею моделей и приложений. Обратите внимание, что у вас должна быть учётная запись COMSOL Access и действующая лицензия на программное обеспечение, чтобы загружать MPH-файлы моделей.

Дополнительные материалы

Вы можете более подробно узнать об электромагнитном моделировании в соответствующих заметках нашего корпоративного блога:


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ