Топологическая оптимизация с учётом производственных ограничений

Проекты конструкций, которые являются результатом топологической оптимизации, обладают прекрасными эксплуатационными характеристиками, однако зачастую реализовать такие проекты с помощью традиционных технологий производства просто невозможно. Разработка методов топологической оптимизации, позволяющих учесть производственные ограничения, является актуальной темой для исследований. Методы оптимизации, реализованные в среде численного моделирования COMSOL Multiphysics^®, позволяют учесть ограничения, связанные с фрезерной обработкой. В этой статье блога мы расскажем, как задавать и использовать такие ограничения, и покажем несколько примеров.

Топологическая оптимизация

Метод распределения плотности (или метод фиктивной плотности) является наиболее распространённым методом топологической оптимизации. Для настройки и использования этого метода в COMSOL Multiphysics предназначен специальный узел Density Model интерфейса Topology Optimization. Чаще всего этот метод применяется при решении задач механики конструкций, при этом для получения осмысленных результатов обычно требуется регуляризация полученного решения. В настройках узла Density Model в качестве метода регуляризации можно выбрать фильтр Гельмгольца. На рисунке ниже на примере задачи механики показано различие между тремя видами оптимизации: параметрической, оптимизации формы и топологической. Более развёрнутую информацию по этой теме можно найти в статье блога «Топологическая оптимизация методом распределения плотности».

Рисунок 1. В учебной модели Design Optimization of a Beam решается задача из области механики конструкций о минимизации массы консольной балки при условии ограничения на смещение в правой верхней точке. Представлено несколько вариантов решения: параметрическая оптимизации, оптимизация формы и топологическая оптимизация. Облегчить конструкцию за счёт добавления отверстий позволяет только топологическая оптимизация.

Производственные ограничения

В узле Density Model реализован учёт ограничений, связанных с фрезерной обработкой, в соответствии с методиками, опубликованными в научной литературе [1]. Суть методики состоит в использовании уравнений с конвективным потоков \hat{m}_\mathrm{mil}^i, совпадающим с направлением фрезерной обработки:

Первое уравнение — это фильтр Гельмгольца, c помощью которого на основе поля управляющей переменной $\theta_c$ рассчитывается регуляризованное поле $\theta_f$, характеризующееся минимальным линейным масштабом $L_\mathrm{min}$. Уравнение конвекции (вторая строка) решается после применения фильтра Гельмгольца и выполнением операции отображения. Линейный масштаб для источникового члена уравнения R_\mathrm{mil} можно задать, исходя их характерного размера элементов расчётной сетки. Параметр $p_\mathrm{mil}$ связан с объединением переменных \theta_m^i, задающих ограничения фрезерной обработки. Если задано 2—3 направления обработки, то для этого параметра можно принять значение, равное 10, однако, при большем количестве направлений фрезерной обработки параметр может принимать более высокие значения. То же самое справедливо для параметра угла отображения \beta, который играет важную роль, поскольку обычно входные параметры операции отображения (приведена в третьей строке) значительно больше 1. Коэффициент отображения \theta_\beta принимается равным 0.5. Плотность интерполируется с отображаемым полем \theta, а для обеспечения жёсткости используется модель твёрдого изотропного материала с пенализацией (SIMP) (соотношение в четвёртой строке для \theta_p). Обычно, чтобы избежать размытых результатов оптимизации значение параметра p_\mathrm{SIMP} = 3, тогда как для обеспечения устойчивости используется значение параметра \theta_\mathrm{min} = 10^{-3} в том случае, если погрешность численных методов приводит отрицательным значениям переменной отображённого поля.

Мы рассмотрим оптимизацию конструкции, выполненной из одной материала, поэтому объём тела V будет эквивалентен его массе M, которую можно рассчитать, если проинтегрировать переменную отображённого поля и умножить результат на плотность материала \rho:

В результате введения в модель ограничений, связанных с фрезерной обработкой, в задаче появляется больше локальных минимумов, поэтому при решении серии задач оптимизации целесообразно использовать непрерывную параметризацию. Преимущественно эта особенность проявляется в трёхмерных задачах, поэтому в нашем первом примере мы с ней не столкнёмся.

Пример 1: двумерная консоль

Схема расчётной области показана на рисунке ниже. Постановка задачи в целом идентична данной выше формулировке, а именно решается задача механики конструкций, в которой необходимо минимизировать массу конструкции при наличии ограничения на перемещение, заданного в правой верхней точке расчётной области. Однако, в этот раз мы добавляем ограничения, связанные с фрезерной обработкой, поэтому материал в пределах области конструкции распределяется с некоторыми ограничениями. Мы задаём два направления фрезерования, которые совпадают с направлениями осей координат, таким образом, материал может быть удален только удаляющим материал инструментом, движущимся слева или снизу.

Рисунок 2. Схема расчётной области в учебной модели Topology Optimization of a Beam with Milling Constraints. В модели заданы направления фрезерной обработки \hat{m}_1 и \hat{m}_2. Левый торец балки жёстко закреплён, а к верхней границе приложена распределённая нагрузка.

Окно настройки узла Density Model, в котором заданы ограничения, связанные с фрезерной обработкой, показано ниже. Здесь необходимо включить процедуру отображения, а также задать начальное значение поле управляющей, которое, как правило, значительно меньше 1.

Рисунок 3. Пример настройки узла Density Model , в котором заданы ограничения, связанные с фрезерной обработкой. Раздел Projection свёрнут, тем не менее в этом примере операция отображения включена с параметрами по умолчанию.

Постановка задачи оптимизации осуществляется в окне настройки узла Optimization. Рекомендуемым оптимизационным решателем является MMA. Иногда целесообразно не использовать версию с глобальной сходимостью и/или переместить пределы. Оптимизационная задача прекрасно решается с помощью используемого по умолчанию алгоритма Fully Coupled. Система уравнений, описанная в предыдущем параграфе, состоит из линейного уравнения фильтра, которое имеет одностороннюю связь с двумя линейными уравнениями конвекции. Также имеется ещё одна односторонняя связь последнего уравнения с системой уравнений, реализованной в интерфейсе Solid Mechanics. Таким образом, в данном случае можно ускорить расчёт примерно в 2 раза, если использовать алгоритм Segregated.

Рисунок 4. Настройка алгоритма Segregated для линейной односторонне связанной задачи. При использовании интерфейса Solid Mechanics для расчёта линейной системы можно ограничить число итераций до одной, чтобы сократить немного время расчёта. В качестве альтернативы можно использовать несколько итераций в группе интерфейса Solid Mechanics.

Результат решения задачи оптимизации показан ниже в виде анимации. В двумерной модели введение ограничений на фрезерную обработку препятствует появлению отверстий, поэтому топология конструкции фактически неизменна, а метод сводится к оптимизации формы, допускающей большие деформации. Таким образом, как мы увидим в следующих двух примерах, использование ограничений, связанных с фрезерной обработкой, более актуально при топологической оптимизации трёхмерных конструкций.

На анимации показано изменение объёмная доля материала \theta в зависимости от числа итераций. Результат топологической оптимизации без введения ограничений на фрезерную обработку показан на рисунке 1.

Пример 2: торсионная передача

Введение ограничений на фрезерную обработку уменьшает число степеней свободы, и уже по этой причине поиск оптимума должен упроститься. Однако задание ограничений приводит к нелинейности, что может привести к неоптимальным результатам поиска локальных экстремумов. Этого можно (в некоторой степени) избежать, если использовать параметрический решатель с непрерывным изменением параметров угла отображения \beta и показателя экспоненты SIMP p_\mathrm{SIMP}. Такой подход часто позволяет получить хорошие результаты топологической оптимизации трёхмерных конструкций, но выбор значений параметров существенно зависеть от решаемой задачи и количества заданных ограничений.

В этом примере мы рассмотрим классическую верификационную задачу с заданным крутящим моментов, как показано ниже. Цель исследования состоит в том, чтобы максимизировать жёсткость соединения между неподвижным блоком, и блоком, на который действует крутящий момент. Блоки разделены вдоль оси крутящего момента, а на конструкцию накладывается ограничение по массе (эквивалентное ограничению по объёму).

Рисунок 5. Схема модели торсионной передачи. Имеется четыре направления фрезерной обработки, но в силу симметрии учесть нужно только два из них.

Ниже на анимации показаны варианты конструкции, полученные в результате топологической оптимизации с заданными ограничениями и без ограничений. В окне настройки узла Density Model для дискретизации конвективного уравнения можно выбрать как линейные функции, так и кусочно-постоянные функции. В данной модели используется дискретизация кусочно-постоянными функциями, при которой получается менее гладкий результат.

Серым цветом выделены элементы с объёмной долей 0.5<\theta, полученные в результате оптимизации с учётом (справа) и без учёта (слева) производственных ограничений. Для каждого номера итерации приводятся значения целевой функции и управляющих параметров.

В результате оптимизации без учёта производственных ограничений получается закрытая сферическая конструкция с внутренней полостью. Такую конструкцию невозможно изготовить обычными методами субтрактивного производства. Таким образом, на этой задаче можно протестировать алгоритм учёта производственных ограничений. Оптимизация с учётом производственных ограничений позволяет получить конструкцию без внутренних полостей, но при этом примерно на 40% возрастает обратная жёсткость. Алгоритм топологической оптимизации чувствителен к настройкам параметрического решателя, при этом довольно сложно улучшить целевую функцию без введения дополнительных направлений обработки.

Пример 3: колесо

Последний пример — это трёхмерная задача механики конструкций. Цель по-прежнему состоит в максимизации жёсткости с учётом ограничений на объем, но этот пример имеет три важных отличия от предыдущей задачи:

• Используется не один, а двенадцать вариантов нагружения
• Условию секторной симметрии должна отвечать только конструкция, но не полевые переменные
• Для дискретизации конвективного уравнения используются линейные функции

Анализ двенадцати вариантов нагружения значительно увеличивает объём вычислений. Однако все эти варианты можно рассчитать параллельно, поэтому общее процессорное время должно увеличиться не значительно, если для моделирования используется подходящее оборудование.

Рисунок 6. Схема модели для топологической оптимизации колеса. Стрелками разных цветов показаны различные варианты нагружения, а стрелками чёрного цвета показаны направления фрезерной обработки. Отметим, что в остальных случаях нагружение осуществляется в осевом направлении, а ограничения заданы только на четырёх отверстиях под болты.

Для выполнения условия секторной симметрии используется оператор General Extrusion, который позволяет отобразить проектные переменные из моделируемого сектора на другие секторы.

Серым цветом выделены элементы с объёмной долей 0.5<\theta, полученные в результате оптимизации с учётом (справа) и без учёта (слева) производственных ограничений. Для каждого номера итерации приводятся значения целевой функции и управляющих параметров.

В этой задаче результатом оптимизации с учётом производственных ограничений является простая топология с неразветвленными спицами. Спицы имеют z-образную форму в поперечном сечении, что обеспечивает повышенную жёсткость на изгиб в обоих направлениях.

Верификация вписанной сетки

Неявное представление геометрической модели в рамках метода распределения плотности всегда имеет некоторую погрешность. Эта погрешность обусловлена ненулевой жёсткостью пустот, а также с тем, что элементы в переходной области между твёрдым телом и пустотами связаны характеризуются низким отношением жёсткости к массе. Данный эффект обычно доминирует, поэтому неявное представление геометрической модели зачастую даёт заниженные характеристики конструкции. Для проверки работоспособности конструкции можно создать новый компонент с помощью набора данных Filter. Чтобы перенести оптимизированную топологию в новый компонент, можно использовать логическое выражение — это позволит вырезать «ненужные» элементы из уже имеющейся сетки, либо можно импортировать оптимизированную топологию как новую геометрическую модель и построить новую сетку, как показано на рисунке ниже. Настройка новых компонентов упрощается благодаря поддержке физическими интерфейсами операций копирования и вставки. Связь физических интерфейсов с геометрической моделью нужно будет настроить заново, но это сделать довольно просто, поскольку все выборки, настроенные в узлах Geometry и Definitions, сохраняются и могут быть использованы при настройке нового компонента модели.

Рисунок 7. Верхнее изображение показывает поле перемещений и расчётную сетку в задаче топологической оптимизации. Ниже показаны результаты проверки полученной топологии без перестроения (в центре) и с перестроением (внизу) расчётной сетки. Для всех трёх случаев указаны масса конструкции и заданные ограничения.

Дальнейшие шаги

Чтобы узнать больше о функциональных возможностях модуля для решения задач оптимизации, перейдите по указанной ниже ссылке.

Список литературы

1. L.C. Høghøj and E.A. Träff, “An advection-diffusion based filter for machinable designs in topology optimization,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 391, p. 114488, 2022; https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782521007003