Моделирование многослойных материалов с помощью технологии описания композитов

by Eric Linvill
Guest
26/03/2019

Приглашенный блогер Эрик Линвилл из компании Lightness by Design рассказывает, чем моделирование композитных материалов отличается от моделирования твердых тел.

Существует несколько способов моделирования многослойных материалов, таких, например, как картон. Очевидным вариантом решения этой задачи было бы создание твердотельной модели для всех тонких слоев, но помимо этого подхода в COMSOL для моделирования композитных материалов можно воспользоваться и двумя другими: методом эквивалентного слоя и теорией многослойных оболочек. В этой заметке мы рассмотрим все три названных подхода и сравним конфигурации и результаты решения соответствующих моделей.

Различные методы моделирования слоев

Инструменты описания композитных материалов разработаны специально для моделирования многослойных объектов, тогда как для простых задач достаточно использовать модель твердого тела. В предыдущей публикации блога мы подробно рассказали о твердотельном моделировании формовки картона.

Однако многослойная структура картона прекрасно описывается моделями композитных материалов, поэтому мы уделим этим моделям особое внимание. В модуле Композитные материалы пакета COMSOL Multiphysics® реализовано два способа описания многослойных материалов — метод эквивалентного слоя и теория многослойных оболочек, — которые имеют ряд преимуществ перед твердотельным моделированием.

Сравнение метода эквивалентного слоя и теории многослойных оболочек

Метод эквивалентного слоя

В рамках этого подхода коэффициент упругой деформации и изгибная жесткость усредняются в плоскости с использованием линейной теории оболочек для композитных материалов. В модели используются оболочечные элементы, а значит каждый узел (расположенный на этой плоскости) имеет в трех измерениях шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных.

С вычислительной точки зрения этот метод эффективен по двум причинам. Во-первых, метод эквивалентного слоя позволяет избавиться от тонких геометрических объектов — тонких слоев. Благодаря этому можно избежать проблем, возникающих при высоких соотношениях длин сторон, и использовать более грубую сетку. Во-вторых, метод эквивалентного слоя позволяет убрать некоторые из степеней свободы в направлении, перпендикулярном тонкому слою, а с другой стороны, удвоить число степеней свободы для каждого узла на плоскости. Как правило, при этом общее число степеней свободы сокращается.

В рамках теории эквивалентного слоя сделан ряд упрощений, вследствие которых полученные в результате расчета распределения напряжений и деформаций по толщине слоя могут быть неверными, особенно для материалов с нелинейными свойствами (например, для высокоэластичных или упругопластических материалов), а кроме того, эти упрощения подразумевают постоянство сдвиговых напряжений в пределах элемента при изгибе (впрочем, это допущение можно устранить, если воспользоваться теорией оболочек более высокого порядка).

Теория многослойных оболочек

При использовании этого метода элементы и точки интегрирования помещаются в разные слои оболочки. Это означает, что для каждого узла рассчитываются только поступательные степени свободы (три степени свободы в 3D модели). Таким образом можно более точно определить распределение напряжений и деформаций по толщине слоя, чем при использовании метода эквивалентного слоя, но при этом время, необходимое для выполнения расчета, увеличивается (поскольку увеличивается общее количество степеней свободы).

В отличие от метода эквивалентного слоя, расчет в рамках теории многослойных оболочек чувствителен к аспектному отношению элементов, поскольку виртуальные узлы распределяются по толщине слоя. Фактически, в основе метода многослойных оболочек лежит использование твердотельных элементов, построенных на границах (двумерных поверхностях геометрических объектов), и данных о свойствах каждого слоя, что значительно упрощает настройку модели по сравнению с полноценной твердотельной моделью. Среди прочих преимуществ метода многослойных оболочек можно назвать и то, что он позволяет использовать разный порядок дискретизации в продольном и поперечном направлениях оболочки, что невозможно при твердотельном моделировании.

На рисунке схематично показан вид узлов и элементов при использовании двух методов, при этом, как видно, расчетная плоскость может быть расположена в центре, вверху или внизу фактического объема (в 3D) или области (в 2D).

На графике показаны узлы и элементы, построенные для использования методов эквивалентного слоя и многослойных оболочек в двумерной модели COMSOL Multiphysics.
Узлы и элементы, построенные для использования методов эквивалентного слоя и многослойных оболочек в двумерной модели COMSOL Multiphysics. Черные точки обозначают сеточные узлы, оранжевые — виртуальные узлы, используемые в процессе решения и влияющие на итоговое количество степеней свободы, а серая область обозначает пространство, занятое многослойной структурой.

Узнать подробнее о реализации метода эквивалентного слоя и теории многослойных оболочек в COMSOL Multiphysics можно в предыдущей статье блога о модуле Композитные материалы.

Теперь, когда мы в общих чертах рассказали о методах описания композитных материалов, давайте сравним три разных подхода к моделированию картона, или любого другого многослойного материала, в COMSOL Multiphysics, а именно твердотельное описание, метод эквивалентного слоя (эквивалентные плоские элементы для многослойных материалов) и метод многослойных оболочек (многослойные плоские элементы).

Описание модели картона

Модель картона идентична той, что была представлена в предыдущей статье блога, отличие только в толщине среднего слоя, которая здесь равна не 200 мкм, а 300 мкм (толщина верхнего и нижнего слоев по-прежнему 100 мкм).

Чтобы сравнивать эти три модели друг с другом, сетку и дискретизацию во всех трех моделях нужно настроить идентично. Отметим, что как мы уже упоминали ранее, в рамках теории эквивалентного слоя можно использовать более грубую сетку, но при этом сохранить хорошее аспектное соотношение для ее элементов, поскольку в геометрической модели твердотельные объекты конечной толщины заменяются поверхностями. Однако, чтобы корректно выполнить сравнение, мы будем использовать во всех трех моделях абсолютно идентичную сетку в плоскости слоя. Длина каждого сеточного элемента в направлении осей x и y равна 1 мм.

На графике показаны три идентичные расчетные сетки для твердотельной модели, модели эквивалентного слоя и модели многослойных оболочек.
Расчетная сетка в плоскости слоя для всех трех моделей: твердотельной (слева), метода эквивалентного слоя (в центре) и теории многослойных оболочек (справа). Все три сетки идентичны.

Геометрические характеристики и сетка в направлении поперек слоя для трех моделей задаются по-разному. Твердотельная модель состоит из трех прямоугольных доменов, каждый из которых представляет один слой упаковочного картона, причем на каждый слой по толщине приходится пять сеточных элементов. Для модели, построенной в рамках теории эквивалентного слоя, геометрическая модель представлена поверхностью, и по толщине используется всего один сеточный элемент. Модель, созданная с помощью теории многослойных оболочек, также представлена геометрической поверхностью, но по толщине используется пять элементов, которые определены в показанной ниже таблице.

На рисунке показаны настройки сетки поперек слоя
Поперечное сечение расчетной сетки с различным количеством элементов по толщине; сетка твердотельной модели показана в графическом окне (три домена и пять элементов). Слои для модели многослойной оболочки показаны в настройках узла Layered Material в разделе определения глобальных материалов.

Помимо того, что нам необходимо использовать идентичные сетки, в моделях также идентично должна быть настроена дискретизация. В интерфейсе Layered Shell серендиповы пробные функции используются иначе, чем в интерфейсе Solid, поэтому для каждой из трех моделей в качестве функций формы заданы квадратические Лагранжевы функции. В твердотельной модели и модели многослойной оболочки пять элементов по толщине. Таким образом, при использовании квадратических функций формы общее число узлов по толщине в каждой из этих двух моделей будет равно 11. В модели эквивалентного слоя только один узел по толщине (в 11 раз меньше, чем в твердотельной модели и модели многослойных оболочек), но при этим число степеней свободы, приходящихся на каждый узел, в два раза больше, чем в остальных моделях.

Получается, что в нашем конкретном случае в модели эквивалентного слоя задействовано 2/11 (или 18.2%) от общего количества степеней свободы в твердотельной модели или модели многослойной оболочки. Общее число степеней свободы в каждой из трех рассматриваемых моделей показано в следующей таблице, и как мы видим, в модели эквивалентного слоя задействовано в 5.5 раз меньше степеней свободы, чем в твердотельной модели. Чем меньше степеней свободы, тем, как правило, короче время вычислений. Кроме того, теория эквивалентного слоя более выгодна в вычислительном плане, поскольку позволяет использовать более грубую сетку. Однако, для того, чтобы провести непосредственное сравнение результатов расчета, мы используем одинаковые размеры элементов сетки в каждой из моделей.  

Модель Количество степеней свободы (DOF) DOF/(DOF твердотельной модели)
Твердотельная 256 641 100.0%
Эквивалентного слоя 46 662 18.2%
Многослойных оболочек 256 641 100.0%

Абсолютное и относительное (отнесенное к числу DOF твердотельной модели) количество степеней свободы для всех трех моделей.

Во всех трех моделях используются те же свойства материалов и то же пространственное распределение материала, что описывались в предыдущей статье блога. На рисунке ниже показано пространственное распределение модуля поперечной упругости для всех трех моделей, которое соответствует одинаковому пространственному распределению материала (то есть во всех трех моделях материал распределен одинаково). Обратите внимание, что для визуализации модуля поперечной упругости для моделей эквивалентного слоя и многослойных оболочек используется специальный тип графика Layered Material Slice.

На рисунке показан график распределения модуля поперечной упругости для трех моделей
Модуль поперечной упругости для трех моделей: твердотельная модель (слева), модель эквивалентного слоя (в центре), модель многослойных оболочек (справа).

Картонный лист жестко зафиксирован по одному краю (y= 0), а на противоположном крае (y = 50 мм) задано перемещение в направлении, перпендикулярном плоскости слоя (z), которое соответствует изгибающему повороту на 15° в процессе испытания на изгиб по методике Lorentzen & Wettre (дальнейшие пояснения в Части 1). Для получения решения нагрузка прикладывается поэтапно.

Обсуждение результатов моделирования

В таблице приведены рассчитанные значения изгибающей силы, обеспечивающей поворот на 15°. Распределения напряжений и деформаций асимметричны, поскольку асимметричны свойства материала (как показано на предыдущем рисунке). Распределение поперечных напряжений для всех трех моделей показано на изображении ниже. Из таблицы и рисунков видно, что все три модели дают очень близкие результаты.  

Модель Изгибающая сила (мН)
Твердотельная 247.7
Эквивалентного слоя 248.5
Многослойных оболочек 250.3

На графике показано распределение поперечных напряжений для трех моделей, визуализированное в верхней плоскости картонного листа
Распределение поперечных напряжений, визуализированное в верхней плоскости картонного листа: твердотельная модель (слева), модель эквивалентного слоя (в центре), модель многослойных оболочек (справа).

В таблице ниже приведены данные о времени расчета каждой из трех моделей. И хотя число степеней свободы в модели эквивалентного слоя составляет всего 18% от числа степеней свободы в твердотельной модели, время вычислений сократилось всего до 27% от соответствующего времени расчета твердотельной модели. Эта «потеря» эффективности связана с тем, что в рамках метода эквивалентного слоя необходимо решать дополнительные уравнения (например, связанные с вычислением коэффициентов упругой жесткости, изгибной жесткости и постоянной поперечной силы для слоев на основе линейной теории оболочек для композитов), которые отсутствуют в твердотельной модели.

Расчет модели многослойных оболочек занимает чуть больше времени, чем расчет твердотельной модели. В основном это связано с тем, что для сборки матрицы жесткости требуется выполнение дополнительных операций, прежде всего, операций интерполяции распределения материала для каждой гауссовой точки. Несмотря на увеличение расчетного времени, модель многослойных оболочек в целом выигрывает по временным параметрам у твердотельной модели. Геометрическая модель в методе многослойных оболочек представлена всего лишь границей, тогда как геометрия твердотельной модели состоит из трех доменов, а значит требует значительно более длительного времени как для создания сетки, так и для применения правильных сеточных параметров. Таким образом, использование модели многослойных оболочек экономит время (если считать целиком временные затраты от начала построения модели до получения результатов), если сравнивать с твердотельной моделью.  

Модель Продолжительность расчета (с) Отн. продолж. расчета
Твердотельная 152 100%
Эквивалентного слоя 41 27%
Многослойных оболочек 231 152%

Продолжительность вычислений для всех трех моделей. Стоит отметить, что общие временные затраты (с учетом времени на построение геометрической модели, настройку расчетной сетки и вычисления) для моделей эквивалентного слоя и модели многослойных оболочек оказываются ниже, чем для твердотельной модели, по причине простоты настройки первых двух моделей.

Выводы

Все три модели позволяют успешно получить результаты испытания на изгиб для одинаковых материалов и идентичного распределения материала. Использование твердотельной модели — это базовый подход, тогда как модель эквивалентного слоя обеспечивает чуть более быстрое решение, для которого характерно отсутствие точных данных о распределении напряжений по толщине слоев (здесь не показано). Модель многослойных оболочек позволяет получить в точности те же результаты о напряжениях и деформациях, что и твердотельная модель, при существенно более низких временных затратах на моделирование и слегка увеличенной продолжительности расчета. Рост продолжительности вычислений при использовании модели многослойных оболочек обусловлен дополнительным временем, которое требуется для сборки матрицы жесткости.

Помимо моделирования многослойных структур модели эквивалентного слоя и многослойных оболочек открывают следующие возможности, недоступные или более трудно реализуемые в рамках твердотельной модели:

  1. Можно учесть сложное напряженно-деформированное состояние на границе между слоями (но не расслаивание, для которого нужно использовать отельные когезионные элементы)
  2. Соединения (например, углы коробки) можно легко моделировать как жесткие (с постоянными углами между соединенными поверхностями), но деформируемые соединения (с изменяющимися углами) нельзя
  3. Работа с поверхностными объектами, как правило, намного проще, чем с твердотельными, что позволяет существенно сократить временные затраты на подготовку и построение сложных геометрических моделей

Итак, все три подхода позволяют работать с линейными упругими моделями бумаги и других многослойных материалов, в том числе с неоднородными свойствами.

Компания Lightness by Design является сертифицированным консультантом COMSOL и предлагает услуги по комплексному моделированию сложных задач механики бумаги и композитных материалов.

Об авторе

Эрик работает консультантом в компании Lightness by Design, которая является сертифицированным консультантом COMSOL. Он занимается задачами, связанными с бумажной упаковкой и аэрокосмическими системами. Может показаться, что эти две области интересов не имеют ничего общего, тем не менее их объединяет широкое применение легких несущих конструкций и волокнистых материалов. Эрик приобрел как практический, так и теоретический опыт в области проектирования аэрокосмических конструкций, работая консультантом и обучаясь в бакалавриате Университета аэронавтики Эмбри-Риддл. После базовой подготовки в области аэрокосмических технологий, Эрик обратился к увлекательному миру бумаги, работая над диссертацией в области механики твердого тела и механики бумаги в Королевском технологическом институте в Стокгольме (Швеция), после чего занимался научно-исследовательской работой в компании WestRock, производящей бумагу. Позже он перешел на должность специалиста в компанию Lightness by Design, где занимался не только консультированием, но и продолжил разработку инструментов конечно-элементного анализа (сложные пользовательские материалы и виртуальные лаборатории), позволяющих выполнять комплексное моделирование бумажной продукции.


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ