Электростатические расчеты для систем, содержащих в геометрии одномерные провода, двумерные оболочки и трехмерные тела

Bjorn Sjodin 08/08/2017
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Последняя версия модуля AC/DC пакета COMSOL Multiphysics позволяет создавать модели электростатических систем с различными комбинациями одномерных проводов, двумерных оболочек и трехмерных тел. Это возможно благодаря технологии на основе метода граничных элементов (МГЭ). МГЭ можно использовать в качестве самостоятельной методики решения или в комбинации с методом конечных элементов (МКЭ). В этой заметке мы покажем, как использовать новый функционал для удобной и эффективной настройки модели, в которой содержится массив тонких спиралевидных проводов.

Физические интерфейсы COMSOL Multiphysics®, основанные на методе граничных элементов

Метод граничных элементов (МГЭ) в ряде областей применения дополняет метод конечных элементов (МКЭ) и доступен в программном обеспечении COMSOL Multiphysics® уже в нескольких модулях и интерфейсах по состоянию на момент написания данной заметки, который соответствует релизу версии 5.3. Они приведены в таблице ниже:

Физический интерфейс Области применения Модули, содержащие данный интерфейс Доступность моделирования одномерных проводов в 3D
Electrostatics, Boundary Elements (Электростатика, МГЭ) Расчёт электростатических систем в 2D и 3D Модуль AC/DC Да
Current Distribution, Boundary Elements (Распределение тока, МГЭ) Расчет токов в электрохимических системах в 2D и 3D Модули Электроосаждение и Коррозия Да
PDE, Boundary Elements (Уравнения в частных производных, МГЭ) Решение уравнения Лапласа в 2D и 3D COMSOL Multiphysics (не требует дополнительных модулей расширения) Нет

Эти физические интерфейсы достаточно схожи. В данной заметке мы сфокусируемся на интерфейсе для электростатических расчетов с помощью МГЭ. Однако большую часть техник и подходов можно использовать и в других интерфейсах.

Что такое метод граничных элементов?

В отличие от МКЭ, МГЭ не требует конечно-элементного разбиения всей расчётной области, что значительно упрощает задачу и сокращает вычислительные ресурсы. Это достигается за счет того, что в методе граничных элементов используется только поверхностная сетка, которую намного проще чгенерировать. Однако, у этого преимущества есть и своя обратная сторона. С помощью метода граничных элементов в COMSOL Multiphysics нельзя в настоящее время рассчитывать задачи с нелинейными или неоднородными материалами. Преимущества и недостатки МГЭ и МКЭ в той реализации, что доступна в COMSOL Multiphysics, представлены в таблице ниже.

Расчётная задача С использованием МГЭ С использованием МКЭ
Имитация бесконечных областей Решается легко Требуется специальное условие Infinite Elements или приближение на основе большого, но конечного окружающего домена
Постобработка результатов на произвольных расстояниях Решается легко Требуется повторный расчет при каждом изменении размера расчетной области
Расчёт тонких проводов в 3D Решается легко, можно задавать провода как параметрические кривые Требуется полноценное подробное конечно-элементное разбиение поперечного сечения провода во избежание сильно зависящих от сетки результатов расчета
Трехмерная сетка Не требуется Требуется
Расчёт в изотропных материалах Решается легко Решается легко
Расчёт в анизотропных материалах Не доступен Решается легко
Расчёт в нелинейных материалах Не доступен Решается легко

Программный пакет COMSOL Multiphysics позволяет пользоваться преимуществами обоих методов в рамках единой модели, объединяя области, рассчитанные МКЭ и геометрические элементы, расчет в которых проводится на основе МГЭ. К примеру, задача может состоять из домена с анизотропным материалом, который рассчитывается в физическом интерфейсе Electrostatics (Электростатика) модуля AC/DC, и второго домена с изотропным материалом, который рассчитывается в новом интерфейсе Electrostatics, Boundary Elements (Электростатика, МГЭ).

Пример: Электростатический фильтр для очистки газа

Чтобы продемонстрировать использование физического интерфейса Electrostatics, Boundary Elements, рассмотрим упрощенную модель электростатического фильтра для очистки газовой смеси. Такой тип фильтров используется в различных промышленных установках для удаления частиц из отработанных газов угольных электростанций. Массив высоковольтных проводов создаёт вокруг частиц область коронного разряда, заряжающую частицы, которые необходимо удалить. Затем заряженные частицы движутся в электрическом поле к заземлённым металлическим пластинам (которые также называются осадительными электродами), которые периодически очищаются, когда слой частиц становится слишком большим и мешает фильтрации.

Моделирование процессов коронного разряда, ионизации и переноса заряженных частиц — комплексная и достаточно сложная задача, выходящая за рамки данной статьи. Вместо этого давайте рассмотрим задачу исключительно с точки зрения электростатики. Таким образом, мы значительно упростим модель, однако сохраним и продемонстрируем общий подход к моделированию и расчету широкого круга схожих электротехнических систем. Если вы хотите узнать больше о деталях моделирования таких электростатических фильтров, то рекомендуем ознакомиться с примером на странице 21 журнала COMSOL News за 2012 год.

На рисунке ниже изображена геометрия фильтра, которая состоит из 6 заземляющих пластин и 60 проводов. Провода на геометрическом уровне заданы как параметрические кривые, к ним прикладывается напряжение 50 кВ.

Схематичная геометрия электростатического фильтра.
Типичная конструкция электростатического фильтра.

Задание свойств материалов

В реальности, этот фильтр помещён в корпус, который мы для простоты не будем рассматривать. Предположим, что пространство между пластинами заполнено воздухом, который будет являться единственным материалом в модели. В данном примере будем рассматривать фильтр условно «висящий в воздухе», чтобы получить идеализированные электростатические характеристики. Обратите внимание, что после того, как вы добавите материал Air (Воздух), во всплывающем меню отсутствуют какие-либо домены для присвоения свойств. Вместо этого, в настройках выборки для Воздуха необходимо выбрать опцию All voids (Всё незаполненные зоны). В этом примере единственной такой зоной (её следует выбрать), которая в интерфейсе носит название Infinite void (Бесконечная незаполненная зона) является пространство между пластинами и вокруг них.

Для получения дополнительной информации о разнице между твёрдотельными областями и такими зонами типа Void, ознакомьтесь с Обзором релиза COMSOL 5.3.

Настройки для материала, задающего свойства воздуха, в COMSOL Multiphysics®.
Окно настроек для материала Air.

Для имитации бесконечного окружающего пространства методом граничных элементов единственной необходимой настройкой будет являться как раз выбор зоны типа Infinite void. Для решения данной задачи методом конечных элементов, нужно было бы ограничить геометрию модели какой-либо конечной областью. Вдобавок к этому, чтобы увеличить точность вычислений, необходимо было бы добавить дополнительные слои вокруг расчетной области и описать их с помощью условия Infinite Element domain (Область с бесконечными элементами).

Задание граничных условий

Граничные условия в задаче настраиваются как на уровне 2d-поверхностей, так и на уровне 1d-рёбер. На рисунке ниже показаны настройки граничного условия Ground (Заземление) для задания заземлённых пластин.

Окно настроек узла Ground для задач электростатики.
Настройка граничного условия Ground (Заземление).

Для описание проводов есть более интересное граничное условие. Тонкие провода можно задать как условие Terminal на уровне на ребер (edge). В настройках в разделе Terminal type следует выбрать Voltage (Напряжение) и задать 50 кВ. Также в поле Edge radius (Радиус ребра) нужно задать реальный размер 1 мм, как показано на рисунке ниже.

Настройки узла Terminal на уровне ребер в GUI пакета.
Окно настроек узла Terminal для ребер.

Обратите внимание, что радиус проводов в данном случае мы вводим в физическом интерфейсе, а не явно в узле Geometry при определении геометрии, как обычно. CAD-модель проводов представляет собой набор параметрических кривых, которые являются одномерными объектами. Такой подход к моделированию демонстрирует основное преимущество метода граничных элементов. Если бы мы создали такую модель электростатической системы и решали её методом конечных элементов, нам бы пришлось моделировать провода, как тонкие спиралевидные трубы с радиусом конечного размера, и строить сетку со множеством элементов. И хотя это тоже возможно и реализуемо, но согласитесь, что МГЭ в данном случае намного удобней.

Решатели для метода граничных элементов

В процессе решения с помощью МКЭ генерируются разреженные матрицы в то время, как при использовании МГЭ получаются большие полностью заполненные матрицы. Для работы с такими матрицами требуются специализированные решатели. Фактически, созданная МГЭ матрица настолько тяжела для обработки, что даже не может быть полностью сформирована. Вместо этого, генерируются только те части матрицы, которые обрабатываются решателем в данный момент. Если быть совсем точными и корректными, то следует отметить, что выполняются только необходимые в определённый момент времени матрично-векторные перемножения. Реализуемый для быстрого матрично-векторного перемножения метод в COMSOL Multiphysics называется метод адаптивной кросс-аппроксимации (adaptive cross approximation — ACA). Он используется только для физических интерфейсах, основанных на методе граничных элементов. Если вас интересует более подробная информация о данном классе солверов, ознакомьтесь с соответствующим разделом про новинки в области решателей для версии 5.3.

С одной стороны, МГЭ требует гораздо меньше степеней свободы для получения точных результатов, по сравнению с МКЭ. С другой стороны, МГЭ более требователен к вычислительным ресурсам. В итоге, можно сказать, что оба метода сопоставимы в отношении вычислительных ресурсов и точности расчётов.

Постобработка и визуализация результатов расчётов

Для моделей на основе МКЭ визуализировать рассчитанные поля можно с помощью графиков сечений, контурных графиков, графиков изоповерхностей, силовых линий, стрелочных диаграмм и т.д. Для обработки результатов при этом используется объёмная (т.е. 3d) конечно-элементная сетка. При решении с помощью МГЭ объёмная сетка не строится, поэтому для визуализации пространственных распределений полевых величин применяется специальная решётка точек, обычно равномерно распределенных (т.н. grid). Данная решетка определяется, как набор данных Grid 3D, в котором задается прямоугольный бокс через максимальные и минимальные значения его координат в направлениях x, y и z. Также доступно задание разрешения в каждом из x-, y-, z-направлений, т.е. фактически описание размера элемента такой решетки типа Grid. На рисунке ниже задано разрешение 100 на 200 на 200, что соответствует 4 млн гексаэдральным сеточным элементам.

На изображении показаны настройки набора данных Grid 3D.
Настройки набора данных Grid 3D.

Поля, рассчитанные на основе метода граничных элементов, довольно ресурсоемко просчитывать в постобработке и визуализировать, поэтому мы советуем сразу отключить автоматическое обновление графиков – опцию Automatic update of plots. Соответствующий флажок находится в настройках узла Results, как показано на рисунке ниже.

Настройка автоматического обновления графиков в COMSOL Multiphysics®.
Флажок для настройки автоматического перестроения графиков в узле Result.

На графике ниже изображено распределение электрического потенциала вокруг проводов, между пластинами и вокруг них. Расширяя размер решетки в наборе данных Grid 3D, можно увеличить область, в которой визуализируются результаты, без непосредственного пересчёта модели. Это ещё одно преимущество МГЭ, так как в МКЭ при увеличении расчетной внешней области требуется заново выполнять расчёт.

Распределение электрического потенциала в модели электростатического фильтра.
Пространственного распределение электрического потенциала в модели электростатического фильтра.

Модели, содержащие несколько диэлектрических материалов

Одно из ограничений МГЭ заключается в том, что у всех моделируемых доменов должны иметь постоянные и изотропные свойства материала. Для электростатических расчетов, во всех рассматриваемых доменах относительная диэлектрическая проницаемость должна быть постоянной. При этом можно создавать модели, содержащие несколько областей с различной диэлектрической проницаемостью. На рисунке ниже изображена модель МЭМС-конденсатора, в которой требуется задать два значения диэлектрической проницаемости:

  1. Для воздуха, который задан в infinite void (бесконечной незаполненной зоне)
  2. Для диэлектрика между двумя электродами

Чтобы создать такую модель, в физическом интерфейсе Electrostatics, Boundary Elements (Электростатика, МГЭ) для каждого диэлектрического домена необходимо добавить отдельный узел Charge Conservation (Закон сохранения заряда). В каждом узле Charge Conservation для домена или группы доменов нужно задать постоянное значение диэлектрической проницаемости. Для устройствах такого типа ёмкость рассчитывается с использованием предварительно определённой для неё переменной в узле Derived Values (Расчётные величины), также, как и в моделях, решаемых методом конечных элементов.

Модель МЭМС-конденсатора, в которой требуется задать несколько значений диэлектрической проницаемости.
Модель МЭМС-конденсатора, в которой требуется задать несколько значений диэлектрической проницаемости.

Совместное использование методов граничных и конечных элементов (BEM-FEM) в расчетах

Начиная с версии 5.3 в COMSOL Multiphysics есть встроенная мультифизическая связка, которая позволяет комбинировать оба метода (BEM–FEM) для решения задач электростатики. На рисунках ниже показана еще одна модификация модели МЭМС-конденсатора. В ней вместо изотропного диэлектрического материала используется анизотропный пьезоэлектрик (PZT-5H). Так как физический интерфейс Electrostatics, Boundary Elements не позволяет моделировать анизотропные материалы, в этой модели для расчёта данного домена используется стандартный физический интерфейс Electrostatics на основе метода конечных элементов.

Дополнительно, небольшая окружающая конденсатор область также рассчитывается МКЭ. В этом примере физический интерфейс Electrostatics, Boundary Elements используется только для расчёта Infinite void — бесконечной незаполненной зоны вокруг остальных доменов. Для комбинации двух методов в узле Multiphysics используется мультифизическая связь Boundary Electric Potential Coupling (Связка электрического потенциала по границе).

На скриншоте показано, как можно комбинировать МГЭ и МКЭ для решения задач электростатики.
Настройки мультифизической связки, позволяющей скомбинировать два метода решения (МКЭ и МГЭ) для задач электростатики.

На рисунке ниже показано распределение потенциала, рассчитанное с помощью комбинации двух методов. На границе раздела зон применения МГЭ и МКЭ можно увидеть некоторые артефакты, которые исчезнут при использовании более плотной сетки и задании более высокого разрешения в наборе данных Grid 3D.

На графике показано распределение электрического потенциала в модели МЭМС-конденсатора.
Распределение электрического потенциала в модели МЭМС-конденсатора с пьезоэлектриком в пространстве между обкладками конденсатора.

Для самостоятельного разбора

Вы можете скачать модели, представленные в этой статье, нажав на кнопку ниже.

Обратите внимание на два других учебных примера, в которых рассчитывается электростатика на основе метода граничных элементов, они доступны в Галерее моделей и приложений:

  1. МЭМС-конденсатор с одним диэлектрическим доменом
  2. Ёмкостный датчик положения

В модели ёмкостного датчика положения показано использование комбинации физических интерфейсов Electrostatics, Boundary Elements и Deformed Geometry для моделирования больших смещений в процессе работы устройства. Кроме того, в этой модели демонстрируется пример использования специального исследования Stationary Source Sweep (Стационарное, с переключением источников), которое позволяет значительно ускорить расчёт матрицы ёмкостей. Тип исследования Stationary Source Sweep также может использоваться и для физического интерфейса Electrostatics на основе МКЭ.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта