Использование независимых сеток для моделирования сопряженного теплообмена

21/11/2018

А вы знали, что COMSOL Multiphysics® позволяет использовать независимые сетки в соседних доменах? По умолчанию в программе используются согласованные сетки, но иногда бывает удобно построить независимую сетку, например, для моделирования сопряженного теплообмена. Давайте посмотрим, как использование независимых сеток позволяет сократить время расчета и уменьшить используемый объем памяти при разработке исходной модели, затратив незначительные усилия.

Обеспечение непрерывности полевых переменных и равенство потоков между согласованными элементами

Теоретические основы метода конечных элементов (МКЭ) обсуждались уже много раз (например, в этой статье о слабой форме), так что здесь мы не будем останавливаться на этом вопросе. Мы уделим внимание лишь одному ключевому моменту: что происходит на границе между элементами? В двух словах: при использовании стандартного метода конечных элементов согласованные элементы сетки имеют общие узловые точки (точки, в которых вычисляется решение задачи). Из-за того, что элементы имеют общие узлы, условие непрерывности искомых полевых переменных (например, температуры, перемещений, скорости и так далее) выполняется автоматически.

Схематическое изображение потока между двумя соседними элементами сетки.
Баланс потоков между элементами, принадлежащими разным областям, устанавливается автоматически, а поскольку эти элементы имеют общие узлы, полевые переменные оказываются непрерывными.

Более того, равенство потоков на границах областей обеспечивается естественным образом (пояснение этого утверждения требует чуть более детального разговора о том, как работает метод конечных элементов). Отметим, что термин «поток», может иметь разный смысл в зависимости от того, какой физический процесс рассматривается. Для краткости давайте рассмотрим моделирование процесса теплообмена, когда речь идет о расчете плотности теплового потока, равной произведению коэффициента теплопроводности на градиент температуры со знаком минус: \mathbf {q} = -k \nabla T. На границах элементов МКЭ автоматически (без каких-либо действий со стороны пользователя и без привлечения дополнительных внутренних уравнений) удовлетворяет условию: \mathbf {n \cdot q_1 =n \cdot q_2 } , где \mathbf {n} — вектор нормали к границе между элементами. Таким образом, в рамках стандартного МКЭ непрерывность полевых переменных и равенство потоков обеспечивается естественным образом. Следует помнить, что несмотря на эту особенность, всегда необходимо исследовать решение на сходимость по сетке, чтобы удостовериться в точности полученных результатов.

Схематическое изображение модели теплообменника с перекрестным током.
Схематическое изображение моделируемой части теплообменника с перекрестным током.

Теперь рассмотрим пример модели из Галереи приложений, а именно модель схематически изображенного выше теплообменника с перекрестным током. В этой модели анализируется часть теплообменника с прямыми прямоугольными каналами. В каналах моделируется поле течения жидкости, а поле температуры рассчитывается как в жидкости, так и в твердых стенках. Ниже на графике показано поле температуры. Также на графиках показано изменение температуры по длине канала. Из представленных данных видно, что вдоль канала температура меняется незначительно, в поперечном сечении изменение температуры достаточно резкое, а в твердой части области изменение имеет довольно сложную форму.

Результаты расчета поля температуры в разных частях теплообменника с перекрестным током.
Поле температуры на стенках, температурные изоповерхности в твердой части расчетной области (вверху) и распределение температуры вдоль направления течения (внизу).

На рисунке внизу показана расчетная сетка. Можно заметить, что сетки, построенные в области жидкости и в области твердых стенок, согласованы. Сетка состоит, преимущественно, из тетраэдров, а в доменах, соответствующих области жидкости, вблизи твердых стенок добавлены погранслойные элементы для более точного разрешения значительных градиентов скорости и температуры в пристеночном слое.

Показана сетка по умолчанию в модели теплообменника, построенной в COMSOL Multiphysics.
Расчетная сетка, используемая по умолчанию в модели теплообменника с перекрестным током, согласована на границе жидкости и твердых стенок.

Такая сетка строится абсолютно автоматически, без какого-либо участия пользователя. Но как быть, если нужно построить сетку вручную, и что произойдет, если мы захотим сделать сетку независимой? Прежде чем перейти к реализации, давайте посмотрим, какие настройки необходимо выполнить в программе.

Обеспечение непрерывности полевых переменных и равенство потоков между несогласованными элементами

Предположим, у нас есть набор элементов в двух соседних областях, как показано на рисунке ниже. Элементы сетки имеют общие грани, но положения узлов сетки не совпадают. Такая сетка строится автоматически при выполнении завершающей операции Form Assembly (Образовать сборку) в геометрической последовательности. Сетки отдельных объектов окажутся не согласованы, следовательно, полевые переменные на этой границе будут иметь разрыв, а потоки между доменами будут нулевыми.

Уравнения, необходимые для работы с независимыми сетками.
При использовании независимых сеток нужно поставить дополнительные условия, чтобы обеспечить приближенное равенство потоков и полевых переменных на границах.

С помощью операции Form Assembly (Образовать сборку) на соприкасающихся границах доменов можно автоматически создать так называемую тождественную пару Identity pairs. Затем в каждом физическом интерфейсе модели для этих тождественных пар нужно добавить граничное условие. В зависимости от того, какой физический интерфейс используется, будут доступны разные варианты граничных условий, но в любом интерфейсе обязательно присутствует условие непрерывности Pair Continuity. Это условие задает непрерывное изменение полевых переменных и потоков (в среднем по элементу) при переходе через границу доменов. Выполнение условия непрерывности обеспечивается за счет дополнительного набора уравнений, которые мы не будем здесь приводить. Поскольку вершины элементов на границах не совпадают, невозможно обеспечить непрерывность полевых переменных и потоков в каждом узле, что является недостатком метода. Но главное преимущество такого подхода состоит в том, что в смежных доменах можно использовать разные сетки. Продемонстрируем преимущество этого метода на примере модели теплообменника с перекрестным током.

Как уже отмечалось выше, изменение температуры вдоль канала довольно незначительно. Поскольку режим течения ламинарный, а поперечное сечение каналов постоянно, очевидно, что поле течения практически не меняется вдоль направления течения. Таким образом, в направлении течения можно построить сетку протяжкой, как показано на следующем рисунке. Обратите внимание, что в направлении течения используется существенно меньшее количество элементов, поэтому размер задачи сокращается за счет совсем небольшой потери точности по сравнению с предыдущим вариантом расчетной сетки.

Изображение модели теплообменника с независимыми сетками.
В сборках построение сетки протяжкой для области течения жидкости позволяет использовать сетку с меньшим числом элементов за счет удлинения их размера.

Теперь сделаем несколько дополнительных ручных настроек для завершения построения сетки. Сначала в геометрической последовательности Geometry (Геометрия) создадим два разных объекта. Первый объект включает в себя геометрию металлической части теплообменника, то есть твердое тело, ограничивающее область течения. Второй объект объединяет все домены, в которых течет жидкость, то есть это один объект, состоящий из нескольких разных доменов, который создан с помощью логической операции Union (Объединение), добавленной в геометрическую последовательность. Необходимо убедиться в том, что эти области не имеют пересечений, чтобы завершающая геометрическая операция Form Assembly (Образовать сборку) была выполнена правильно. После этого программа автоматически определит все соприкасающиеся грани этих объектов как тождественные пары.

На рисунке показаны настройки, необходимые при использовании независимых сеток.
Завершающая геометрическая операция Form Assembly (Образовать сборку), в результате выполнения которой автоматически создаются тождественные пары Identity pairs.

Теперь в интерфейсе Heat Transfer in Solids and Fluids (Теплопередача в твердых телах и жидкостях) добавим условие непрерывности Pair Continuity. Поскольку у нас только два смежных объекта (твердое тело и все жидкие домены), это условие нужно задать только для одной тождественной пары (Identity Boundary Pair). Никаких других настроек для физического интерфейса на нужно.

На рисунке показано окно настроек условия непрерывности Pair Continuity.
Условие непрерывности Pair Continuity для полевой переменной и потоков.

Наконец, внесем изменения в сеточную последовательность Mesh (Сетка). В автоматически сгенерированной последовательности сеточных операций используется операция копирования элементов на смежных поверхностях парной границы, но мы отключим эту функцию и построим сетку протяжкой по всей длине каналов. Это способ генерации сетки в данном случае уместен, поскольку мы знаем, что в направлении течения решение меняется слабо. Других изменений по сравнению с автоматически сгенерированной сеткой, показанной выше, мы не вносим.

На рисунке показана последовательность сеточных операций в модели теплообменника.
Последовательность сеточных операций, задающая количество элементов в направлении течения.

Ниже приведены график для поля температуры и график, отображающий различия в распределении температуры. Модель, в которой используется сетка, построенная с помощью протяжки, конечно, будет другой. Температурное поле в некоторых областях отличается на 2 °C по сравнению с предыдущим вариантом решения. Эта разница обусловлена в основном отличиями в сетке на границе доменов. Она не связана с использованием дополнительных условий непрерывности. В пределе сеточной сходимости оба способа решения приведут к одинаковым результатам. Основным преимуществом использования независимых сеток является возможность начать расчет с относительно грубой сетки, которая при этом обеспечивает приемлемые результаты. Тем самым можно сэкономить время и вычислительные ресурсы при построении исходного варианта модели.

Результаты расчета поля температуры, полученные с помощью согласованной и независимой сеток.
Поле температуры (вверху), полученное на независимых сетках, и разница температур (снизу) между решениями на независимой и стандартной сетках.

Рассматриваемую геометрическую модель можно разбить на объекты и другим способом. Можно разделить модель на два объекта плоскостью, расположенной между каналами, как показано на следующем рисунке. В результате элементов становится еще меньше. Несмотря на то, что не все геометрические модели можно разделить именно таким образом, описанный подход позволяет значительно сократить количество элементов.

Модель сопряженного теплообмена, в которой при построении сетки используются тождественные пары поверхностей.
В качестве альтернативы можно построить сетку, поместив тождественную пару в твердое тело, а не на границу с жидкостью.

Заключение

Здесь мы показали, что построение независимых сеток является полезным методом, позволяющим снизить количество элементов. Этот метод особенно эффективен в задачах сопряженного теплообмена при течении в каналах, для дискретизации которых удобно строить сетку протяжкой. Мы рассмотрели задачу о ламинарном течении, однако описанный подход можно использовать для моделирования и турбулентных течений. Однако, стоит иметь в виду, что данный метод прежде всего предназначен для получения предварительных результатов моделирования: как правило, результаты таких расчетов нужно верифицировать, сравнивая их с расчетом на согласованной сетке, и, конечно, всегда нужно проводить исследование на сеточную сходимость. Главное достоинство метода состоит в том, что предварительный анализ выполняется значительно быстрее.

Модель, в которой используются независимые сетки, можно скачать здесь:


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ