Моделирование в COMSOL Multiphysics® распространения вируса COVID-19

07/04/2020

Все формы земной жизни закодированы в молекулах рибонуклеиновой (РНК) или дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) — двух очень близких по структуре типах макромолекул. В некотором смысле, можно сказать, что на Земле существует только одна единственная форма жизни.

Вирусы называют «организмами на границе живого». Они содержат РНК или ДНК, но не могут размножаться вне живых клеток и отличаются отсутствием аппарата трансляции, то есть синтеза белка.

Для размножения вирус должен прикрепиться к клетке-хозяину, образовав специфические связи с рецепторами на ее поверхности, которые приведут к изменению белка оболочки клетки и проникновению вируса внутрь. После этого вирус может впрыснуть в клетку свои РНК или ДНК и захватить контроль над метаболизмом клетки-хозяина, чтобы выполнить сборку новых вирусных частиц.

Поскольку вирусные частицы могут очень недолго существовать вне живых клеток, основным механизмом распространения вирусов является контакт между организмами. В случае с SARS-CoV-2, вирусом, ответственным за новое коронавирусное заболевание COVID-19, передача осуществляется от человека человеку, прямо или опосредовано. Всемирная организация здравоохранения (ВОЗ) объявила о пандемии заболевания COVID-19.

Но можно ли проанализировать и предсказать развитие пандемии? Сколько человек заразятся? Сколько погибнут? Давайте разберемся, какой должна быть математическая модель пандемии.

Математические модели распространения COVID-19

Одной из самый простых моделей, разумно описывающих распространение заболевания среди людей, является так называемая SEIR-модель, первая версия которой была опубликована в 1920-х годах. (Ref. 1, "The SIR model and the Foundation of Public Health"). В рамках этой модели все население во время эпидемии делится на четыре группы, и для описания численности каждой группы используются следующие переменные:

S = здоровые люди, восприимчивые к болезни
E = люди, у которых заболевание находится в инкубационном периоде
I = инфекционные больные
R = переболевшие люди, более не восприимчивые к заболеванию

Схематическое изображение модели SEIR, позволяющей строить разумные прогнозы распространение болезни среди людей.
Системно-динамическая модель: скорость перехода людей из группы S в группу E определяется параметром β — долей заразных больных в единицу времени среди инфицированных, скорость перехода из группы Е в группу I задается параметром ε — долей инфицированных людей в единицу времени среди восприимчивых людей, а скорость перехода из группы I в группу R задается параметром γ — долей выздоравливающих в единицу времени среди всех заболевших людей. Еще люди могут переходить из группы I в группу D (погибшие) со скоростью α. Примем допущение, что люди в группе R приобретают иммунитет к болезни и поэтому не возвращаются в группу S на всем протяжении эпидемии. Пополнение численности населения за счет новорожденных задается параметром λ, тогда как убыль за счет умерших от естественных причин определяется параметром μ.

Переменные S, E, I и R отражают численность людей в каждой группе и представлены соответствующими единицами измерения. Для того, чтобы человек из группы восприимчивых к болезни перешел в группу носителей заболевания, он должен каким-либо образом проконтактировать с инфекционным больным. Вероятность осуществления такого контакта определяется произведением доли инфекционных больных и количества восприимчивых к болезни людей. После некоторых преобразований частоту контактов можно представить как:

(1)

\[{r_{nE}} = \frac{\beta }{N}SI\]

где β — скорость передачи (1/сут).

β зависит от среднего числа людей, которых может заразить инфекционный больной, R0, а также от среднего количества суток, в течение которых больной может распространять инфекцию (прежде чем будет изолирован или начнет соблюдать режим самоизоляции), nid:

(2)

\[\beta = \frac{{{R_0}}}{{{n_{id}}}}\]

R0 называется индексом репродукции (безразмерное число); он описывает распространение болезни при условии, когда каждый контакт инфекционного больного вплоть до его выздоровления осуществляется с людьми, восприимчивыми к болезни (то есть, когда среди населения нет людей с иммунитетом к заболеванию). Всякая стратегия смягчения или сдерживания эпидемии имеет целью понизить индекс репродукции либо за счет снижения скорости передачи β, либо за счет сокращения времени, предшествующего изоляции инфекционного больного.

При моделировании коротких (несезонных) эпидемий мы можем принять, что численность населения остается постоянной вследствие равенства числа рождений и естественных смертей. В этом случае количество восприимчивых к болезни людей снижается при увеличении числа зараженных, у которых болезнь находится в инкубационном периоде (здесь N — численность населения):

(3)

\[\frac{{dS}}{{dt}} = – \frac{\beta }{N}SI\]

Соответственно, правая часть уравнения, записанного выше, является источниковым членом в уравнениях для числа больных E, проходящих инкубационный период болезни. Однако в этом уравнении имеется и отрицательный член, учитывающий сокращение численности группы E вследствие перехода людей в группу инфекционных больных.

(4)

\[\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{\beta }{N}SI – \varepsilon E\]

Здесь ε — скорость перехода болезни из инкубационного периода в стадию заразной (1/сут). Скорость обратно пропорциональна длительности инкубационного периода.

Численность инфекционных больных I увеличивается со скоростью εE в сутки, но уменьшается со скоростью, характеризующей изоляцию, выздоровление или смерть больных. Пусть коэффициент скорости γ характеризует скорость изоляции или выздоровления заболевших. Скорость обратно пропорциональна длительности инфекционного периода, то есть:

(5)

\[\gamma = \frac{1}{{{n_{id}}}}\]

Также имеется член αI, описывающий скорость, с которой больные погибают из-за инфекции, тогда уравнение для численности инфекционных больных I принимает следующий вид:

(6)

\[\frac{{dI}}{{dt}} = \varepsilon E – \gamma I – \alpha I\]

Уравнение для численности людей R, более не восприимчивых к болезни, имеет вид:

(7)

\[\frac{{dR}}{{dt}} = \gamma I\]

Уравнение для численности погибших от болезни D выглядит так:

(8)

\[\frac{{dD}}{{dt}} = \alpha I\]

Сглаживание кривой

Мы можем начать с более простой модели, в которой не учитывается численность больных, проходящих через инкубационный период; то есть восприимчивые к болезни люди вступают в контакт с инфекционными (заразными) больными и сами становятся заразными. Мы введем в нашу модель это допущение, задав для ε очень большое числовое значение. В этом случае мы сможем сравнить наши результаты с данными, опубликованными в блоге Михаэля Хехле, поскольку Михаэль решил аналогичную систему уравнений (Ref. 2, «Flatten the COVID-19 curve»). Входными данными модели будут:

N = 1 млн человек

R0 = 2.25, индекс репродукции

nid = 5 сут

Кроме того, нам потребуются начальные условия:

численность восприимчивых к болезни людей S0 = NI0

численность инфекционных больных I0 = 10

Первый вариант расчета Хехле был выполнен при условии, что эпидемия развивается без ограничений на социальную дистанцию между людьми. Для второго варианта расчета Хехле предположил, что власти города с населением 1 млн человек предприняли меры для снижения индекса репродукции, например, запретив крупные массовые мероприятия (спортивные соревнования, концерты и тому подобное). Первой задачей стало снижение индекса репродукции до значения 1.35 за 28 дней после начала эпидемии за счет ограничения социальных связей. Это снижение сохранялось на протяжении пяти недель за счет ограничения активности, а затем индексу репродукции позволили снова вырасти до значения 1.8. На рисунке, представленном ниже, показано два варианта: вариант 1 (меры не принимались) и вариант 2 (снижение R0). Мы видим отличное совпадение с результатами Хехле.

На графике выполнено сравнение двух вариантов распространения болезни, когда население следует рекомендациям о социальном дистанцировании и когда социальная дистанция не соблюдается.
Два варианта расчета по условиям Хехле. Показанные здесь результаты отлично совпадают с данным Хехле. Меры, принятые для снижения индекса репродукции, привели к резкому сокращению новых случаев заболевания, как видно на зеленой кривой на 28 сутки эпидемии с последующим резким ростом.

Интересный вывод из второго варианта (сделанный Хехле) состоит в том, что меры, принятые для снижения числа новых случаев заражения не только дают запланированный результат, но еще и снижают общее количество людей, которые заболеют, прежде чем эпидемия закончится. Результаты показаны на рисунке ниже. Доля людей от общей численности населения, которые заразятся, прежде чем эпидемия закончится, составляет в первом варианте расчета 85%, тогда как во втором варианте — всего 68%. Таким образом, принятые меры приводят не только к сиюминутному снижению нагрузки на систему здравоохранения, но еще и уменьшают общую численность пациентов во время эпидемии.

На графике выполнено сравнение скорости распространения инфекции среди населения, когда меры по соблюдению социальной дистанции приняты и когда таких мер нет.
Доля людей от общей численности населения, которые заразятся, если не принимать никаких мер, составляет 85%, как можно видеть на графике динамики выздоровления (красная сплошная кривая). Тогда как в случае, когда меры сдерживания эпидемии приняты, заразится всего 68% (красная пунктирная кривая).

Учет распределения населения во время развития эпидемии

Для анализа ситуации в Хубэе, Швеции и США мы воспользуемся более сложной моделью Эрланга–SEIR (Ref. 3, «Discrete Stochastic Analogs of Erlang Epidemic Models»). Разделим группы E и I на подгруппы, время пребывания в каждой из которых описывается распределением Эрланга со средним значением, пропорциональным количеству подгрупп kE и kI и обратно пропорциональным скорости перехода между подгруппами ε и γ. С помощью этой модели можно учесть тот факт, что существует неравномерное распределение в потоке между различными группами, например, из-за того, что заражение в разных частях страны происходит не одновременно. Увеличение количества подгрупп вытягивает кривую распределения в окрестности среднего значения, фактически вводя задержку в динамике перехода из группы E в группу I и из группы I в группы R и D.

Схематическое изображение модели Эрланга-SEIR, позволяющей прогнозировать распространение инфекционных заболеваний, таких как COVID-19.
Модель Эрланга–SEIR с подгруппами для E и I.

Карантин в Китае

Можно воспользоваться этой моделью и запустить регрессионный анализ на основе данных из Хубэя, где и началась эпидемия. Известно, что данные о количестве инфекционных больных ненадежны, поскольку подавляющее большинство людей не были протестированы на COVID-19 и не имеют соответствующего диагноза (Ref. 4, «Estimates of the severity of coronavirus disease 2019: a model-based analysis»). Самыми надежными сведениями, скорее всего, являются данные о числе умерших.

Полагая, что смертность составляет 0.66% (Ref. 4), среднее время пребывания инфекционного больного без изоляции — 3 суток, а длительность заболевания от появления первых симптомов до летального исхода в среднем составляет 18 суток, можно подобрать данные о начале эпидемии, скорости передачи и средней длительности периода заразности болезни в распределении Эрланга на основе данных из Хубэя.

22 января власти объявили карантин, а в конце того же месяца замеры показали явное падение индекса репродукции (Ref. 5, «Early dynamics of transmission and control of COVID-19: a mathematical modelling study»).

Если учесть указанное падение и подобрать параметры, описывающие влияние зарегистрированного падения индекса на данные от 23 января, то получим следующие результаты.

График сравнения результатов моделирования смертности от COVID-19 в Хубэе с фактическими данными.
Сравнение результатов моделирования с данными из Хубэя о числе умерших. Как видно, модель дает хорошее совпадение с фактическими данными, отклонение колеблется от половины суток до суток. Это отклонение объясняется задержкой, с которой поступают отчеты о увеличении числа умерших. На маленьком графике отображены те же данные в полулогарифмических координатах (логарифмическая шкала на оси y).

На графике выше видно, что общее число умерших растет экспоненциально (линейно в полулогарифмических координатах), пока 2 февраля не достигает примерно 400 человек. После 3 февраля скорость роста числа умерших снижается, поэтому зависимость перестает быть экспоненциальной. Это связано с введенными ограничениями социальных контактов. Влияние невосприимчивости к болезни, которая также ограничивает индекс репродукции COVID-19, на этом этапе еще не заметно.

На графике ниже показано развитие эпидемии в виде изменения числа заболевших, заразных, выздоровевших и умерших людей. Мы добавили дополнительные линии координатной сетки для 23 января, когда были введены меры сдерживания; для полудня 26 января, когда был достигнут максимум численности заразных больных; и для 3 февраля, когда был достигнут максимум численности людей, находящихся в критическом состоянии. Отметим, что численность выздоровевших определяется количеством людей, которые больше не являются заразными и находятся в процессе выздоровления. Из больниц таких пациентов выписывают не раньше, чем через одну-две недели.

Два графика, демонстрирующие развитие эпидемии COVID-19 в Хубэе, Китай.
Развитие эпидемии в Хубэе. Прогнозируемая численность инфекционных больных приближается к 500 тысячам, что более чем в 7 раз превышает опубликованные данные о подтвержденных случаях заражения.

Если мы продолжим анализировать динамику выздоровления, то увидим, что за 90 дней эпидемии, согласно модельному прогнозу, почти 500 тысяч человек заразятся вирусным заболеванием. Это более чем в 7 раз превышает число подтвержденных случаев заболевания. Этот результат согласуется с данными других исследований, поскольку в Ухани было зарегистрировано только около 15% случаев заражения (Ref. 6, «Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus (SARS-CoV2)»), при этом многие заболевшие либо не сообщали о своих симптомах, либо не были протестированы на COVID-19.

Индекс репродукции, полученный по результатам регрессионного анализа данных из Хубэя, равен 3.03, что заметно выше значения, обнародованного ВОЗ, но при этом лежит в диапазоне значений, опубликованных в других исследованиях (Ref. 7, «The reproductive number of COVID-19 is higher compared to SARS coronavirus»). Соблюдение социальной дистанции снизило индекс репродукции примерно до значения 0.56, которое было получено путем аппроксимации кривой смертности. Это значение ниже приводимых в других источниках, но согласуется с тем, что локальная эпидемия быстро сходит на нет.

Шведы соблюдают социальную дистанцию

Швеция выбрала иную стратегию, в отличие от Хубэя и большинства других стран: здесь введены ограничения социальных контактов, но они далеко не такие строгие, как, например, полноценный карантин в Хубэе. Поэтому модель будет немного отличаться от той, что использовалась для анализа ситуации в Хубэе, кроме того, отличия также связаны с тем, что первые заболевшие и заразные прибыли в Швецию из Италии и Австрии. Воспользуемся распределением привнесенных случаев заболевания во время зимних каникул, когда заражение происходило на протяжении трех недель в разных частях страны. Однако подавляющее большинство туристов заразились во время вспышки заболевания в Италии в период экспоненциального роста числа заболевших, который наблюдался в течение двух недель с 17 февраля по 1 марта, когда постоянные жители Стокгольма вернулись домой.

Ниже приведено сравнение результатов моделирования с зафиксированным количеством летальных исходов болезни. По состоянию на 2 апреля рост заболеваемости остается экспоненциальным (линейный участок графика в полулогарифмических координатах).

На графике показана смертность от COVID-19 в Швеции.
Количество летальных исходов заболевания COVID-19 в Швеции. Последние обнародованные сведения о количестве умерших по состоянию на 33 день эпидемии относятся ко 2 апреля. На маленьком графике отображены те же данные в полулогарифмических координатах (логарифмическая шкала на оси y).

Индекс репродукции, рассчитанный с помощью регрессионного анализа на основе статистических данных по Швеции, равен 2.95, что согласуется со значением, полученным для Хубэя (3.03). Общая численность инфицированных людей, вернувшихся в страну, оценивается примерно в 500 человек.

Ограничения социальных контактов были введены 16 марта, но они по большей части имели форму рекомендаций, которые, скорее всего, не возымели немедленного эффекта, поэтому влияние этих мер еще не видно на графике смертности. При построении этой модели мы предположили, что введенные ограничения дали полноценный эффект 20 марта.

Рассмотрим два сценария: в первом сценарии социальные связи и контакты снижаются с коэффициентом 0.35, во втором — с коэффициентом 0.3. В первом случае индекс репродукции снижается до 1.03; то есть один инфекционный больной в среднем заражает 1.03 человек. Во втором случае индекс репродукции снижается до 0.88, то есть до значения меньше единицы, таким образом группа из десяти инфекционных больных может заразить в среднем только девять человек.

Ограничения в обоих случаях не такие жесткие, как введенные в Хубэе, что является разумным предположением, поскольку Швеция не объявляла полноценный карантин.

При первом сценарии заболеют около 2.1 млн человек или примерно 20% от численности населения страны (см. рисунок ниже). Число заболевших людей по состоянию на 2 апреля должно составить 280 тысяч человек, что почти в 60 раз выше зарегистрированных случаев заболевания. В рамках второго сценария ко 2 апреля заболеют около 260 тысяч человек, однако развитие эпидемии будет существенно замедленно, поэтому за время эпидемии болезнь перенесут менее одного миллиона человек.

На графике показано сравнение числа заболевших COVID-19 в Швеции при соблюдении мер социального дистанцирования и без соблюдения этих мер.
Общая численность заболевших для двух сценариев развития эпидемии в Швеции. Общее количество всех людей, которые заразятся в период эпидемии болезни.

Итоговое количестве летальных исходов в рамках первого сценария превысит 13 тысяч. Также, пик численности больных, находящихся в критическом состоянии, и пик смертности придется на 21 апреля, как показано на графике ниже, с максимальным значением смертности 155 человек в сутки. В рамках второго сценария болезнь унесет около 6500 жизней, а пик смертности придется на 15 апреля и составит 115 умерших в сутки.

Результаты моделирования в COMSOL Multiphysics, отображающие прогноз развития эпидемии COVID-19 в Швеции.
Прогноз развития эпидемии в Швеции с учетом мер, предпринятых 12-16 марта, сделанный исходя из предположения о меньшей эффективности (по сравнению с Хубэем) мер сдерживания, предпринятых властями.

Сравнение пиков смертности от COVID-19 в Швеции в случае соблюдения социального дистанцирования и без соблюдения.
Максимальная смертность в Швеции будет достигнута 27 апреля в первом случае и 15 апреля во втором случае.

Снижение индекса репродукции до 0.88, а не до 1.03, демонстрирует существенную разницу в результатах при незначительных отличиях социальной дистанции. Тем не менее, до окончания эпидемии в Швеции от болезни погибнут почти 6.5 тысяч человек.

Карантин в США

В нашем скромном исследовании численность инфекционных больных и их переток в США являются подгоночными параметрами, расчитанными на основе предположения о проникновении болезни из-за границы. Регрессионный анализ проведен на основе сведений о погибших по состоянию на 31 марта. Особенность США состоит в том, что по сравнению с Хубэем и Швецией, здесь имеются огромные региональные отличия в развитии эпидемии, а также в том, что в разных штатах в разные периоды времени принимались разные меры.

На рисунке ниже показаны полученные в результате моделирования и фактические данные о смертности по состоянию на 31 марта, то есть на 31 день эпидемии. И в этом случае мы также видим экспоненциальный рост числа смертей (линейный участок на графике в полулогарифмических координатах).

Сравнение прогнозируемого числа погибших от COVID-19 в США с фактическими данными.
Фактические и прогнозные данные о числе погибших в США на 31 марта. Отметим, что в полулогарифмических координатах отклонения между данными модели и фактическими данными при малом количестве смертей кажутся больше, чем при значительном количестве смертей. На маленьком графике отображены те же данные в полулогарифмических координатах (логарифмическая шкала на оси y).

Индекс репродукции, рассчитанный на основе регрессионного анализа данных из США, равен 2.97, что опять же согласуется со значениями, полученными для Швеции (2.95) и Хубэя (3.03). Общая численность инфицированных людей, вернувшихся в страну, оценивается примерно в 8000 человек.

Для США мы также рассмотрим два сценария: в первом случае социальные связи уменьшаются с коэффициентом 0.3, как и в шведском сценарии, во втором случае примем, что уровень социальных контактов уменьшается до уровня Хубэя, то есть с коэффициентом 0.185. Кроме того, разумно будет допустить, что поскольку в США введены ограничения, уровень строгости которых лежит между шведским и китайским вариантами; то есть не полноценный карантин, но более жесткие ограничения в отношении социальных контактов, чем в Швеции. Для этих двух сценариев мы получаем индекс репродукции, равный 0.89 и 0.55 соответственно.

Прогноз по первому сценарию показывает, что во время эпидемии заболеют почти 20 млн американцев (см. рисунок ниже). Число инфекционных больных по состоянию на 1 апреля составит 6 млн. При втором сценарии развития эпидемии заболеет примерно 5 млн человек. Это число почти в 25 раз превышает количество зарегистрированных случаев болезни, что снова выглядит как высокое, но вполне вероятное значение, поскольку протестирована только малая доля населения страны.

Сравнение числа заболевших в США для двух вариантов мер социального дистанцирования.
Общее число заразившихся для двух сценариев развития эпидемии в США. Показана суммарная численность людей, которые переболеют инфекцией в период эпидемии.

В рамках первого сценария число умерших в США составит 115 тысяч человек (см. график ниже). Максимальная численность заболевших будет достигнута примерно 24 марта. Наибольшая нагрузка на врачей интенсивной терапии придется на 9 апреля. При втором сценарии развития событий при тех же ограничениях, какие были введены в Хубэе, максимальное число пациентов интенсивной терапии придется примерно на 1 апреля. Общая смертность за время эпидемии достигнет около 33 тысяч человек.

Сравнение графиков развития эпидемии COVID-19 в США
Численность людей заболевших, заразных, в критическом состоянии и погибших для двух сценариев эпидемии: в первом индекс репродукции снижен до 0.89 (вариант 1), во втором – до 0.55 (вариант 2).

Сравнение прогнозируемых пиков смертности от COVID-19 в США для двух вариантов мер социального дистанцирования. Максимальная смертность в США будет наблюдаться 15 апреля при первом сценарии, и примерно 9 апреля при втором сценарии, согласно нашей модели.

Максимум смертности будет достигнут примерно 15 апреля в первом случае и 9 апреля во втором случае. Максимум будет составлять немногим меньше 1900 и 1300 смертей в сутки для двух сценариев соответственно. Как видно, результаты моделирования, полученные в рамках первого сценария, дают намного более высокую длительность эпидемии с более высокой смертностью. И показатели могут очень быстро ухудшиться. Если снизить индекс репродукции до значения 1.04 (с коэффициентом 0.35), то есть до значения, лишь немного превышающего индекс первого сценария, то мы получим 350 тысяч погибших от болезни в период эпидемии. Модель со всей очевидностью демонстрирует огромное влияние социального дистанцирования не только на число новых больных в критическом состоянии в сутки, но и на общую численность заболевших в период эпидемии, которая оказывается существенно ниже.

Что случится, когда начнется новая вспышка заболеваемости?

Проблема с введением жестких ограничений, позволяющих быстро прекратить эпидемию, заключается в том, что население по-прежнему остается крайне восприимчивым к вирусу. Иммунитет к болезни приобретает лишь малая часть населения, и эпидемия снова начнет прогрессировать экспоненциально в период второй вспышки заболеваемости. Это означает, что общество должно быть готово к тому, чтобы очень быстро предпринять меры сдерживания новой вспышки. Введение слабых ограничений приводит к более высокой смертности во время первой вспышки, но при этом более крупная доля населения приобретает иммунитет, что делает людей менее уязвимыми к последующим вспышкам распространения болезни. Выбирая такую стратегию, важно обеспечить защиту той части населения, которая подвергается высокому риску летального исхода, например, пожилым людям. Во время второй вспышки эти люди будут защищены «буфером» из тех людей, кто приобрел иммунитет к болезни.

Как использовать модели

Представленные в этой статье результаты не стоит воспринимать как прогноз. Эти результаты получены с помощью моделей, являющихся упрощением реальности. Мы не учитывали демографический состав населения. К примеру, возрастное распределение населения имеет огромное влияние на летальность болезни.

Географические особенности рассмотренных стран тоже не принимались в расчет. То, как люди перемещаются между разными частями страны, также влияет на развитие эпидемии.

Кроме того, очень трудно спрогнозировать влияние тех мер, которые были приняты в Китае, Швеции и США, на входные параметры моделей. Правительственные организации, такие как Китайский центр по контролю и профилактике заболеваний, Агентство общественного здравоохранения Швеции и Центр по контролю и профилактике заболеваний США, используют более сложные модели, которые учитывают возрастное распределение, географическое положение очагов эпидемии, данные о транспортном сообщении между городами, транспортные потоки между странами и другие демографические сведения. Также, эти организации располагают более достоверными данными о самом вирусе и вызываемой им болезни, например, о длительности инкубационного периода и индексах репродукции при различных условиях в разных возрастных группах.

Тем не менее, все же интересно попробовать использовать модели, описанные в этой статье. Они позволяют проанализировать и понять динамику эпидемии. Кроме того, модели наглядно демонстрируют, насколько важно снизить индекс репродукции COVID-19 за счет сохранения социальной дистанции и отказа от избыточных социальных контактов, чтобы уменьшить максимальную численность инфекционных пациентов интенсивной терапии и облегчить общие последствия эпидемии. Помимо этого, модель Эрланга-SEIR является важным компонентом и составной частью более сложных и комплексных моделей развития эпидемий в городах и странах, которые разрабатываются национальными и международными институтами, связанными с системой общественного здравоохранения.

Скачайте файлы модели и приложения

Скачайте файл SEIR-модели распространения эпидемии COVID-19 и демонстрационное приложение, нажав на кнопку ниже. Обращаем внимание, что для получения доступа к MPH-файлу необходимо войти на сайт со своей учетной записью COMSOL Access, к которой прикреплена действующая лицензия COMSOL.

Литература

  1. H. Weiss, "The SIR model and the Foundations of Public Health", MATerials MATemàtics, vol. 2013, no. 3, pp. 1–17, 2013.
  2. M. Höhle, "Flatten the COVID-19 curve", Theory meets practice…, 2020.
  3. W.M. Getz and E.R. Dougherty, "Discrete Stochastic Analogs of Erlang Epidemic Models", Journal of Biological Dynamics, vol. 12, pp.16–38, 2018.
  4. R. Verity, L.C. Okell, I. Dorigatti, P. Winskill, C. Whittaker, et al., "Estimates of the severity of coronavirus disease 2019: a model-based analysis", The Lancet Infectious Diseases, 2020.
  5. A.J. Kucharski, T.W. Russell, C. Diamond, Y. Liu, J. Edmunds, S. Funk, R.M. Eggo, "Early dynamics of transmission and control of COVID-19: a mathematical modelling study", The Lancet Infectious Diseases, 2020.
  6. R. Li, S. Pei, B. Chen, et at., "Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus (SARS-CoV2)", Science, 2020.
  7. Y. Liu, A.A. Gayle, A. Wilder-Smith, and J. Rocklöv, "The reproductive number of COVID-19 is higher compared to SARS coronavirus", Journal of Travel Medicine, vol. 27, no. 2, 2020.

 

Обращаем внимание, что эта статья не проходила рецензирование, автор не является эпидемиологом, а при подготовке текста статьи автор не консультировался с эпидемиологами и не следовал каким-либо эпидемиологическим стандартам. Более того, на точность обсуждаемой в статье модели может влиять большое число различных обстоятельств, неизвестных автору, особенно в отношении развития ситуации в будущем.


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ