Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Walter Frei 17/01/2014
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on Google+ Share this on LinkedIn

Мы часто хотим смоделировать электромагнитную волну (свет, микроволны), падающую на периодические структуры, такие как дифракционные решетки, метаматериалы или частотно-селективные поверхности. Это может быть сделано с использованием модулей Радичастоты (RF) или Волновая оптика (Wave Optics) из набора продуктов среды COMSOL. Оба модуля представляют возможность задания граничных условии типа Флоке и периодические порты, а также позволяют вычислять отраженные и прошешие дифракционные порядки как функцию от угла падения и длины волны. В этом топике рассказывается о принципах, лежащих в основе анализа такого типа и представлена настройка решения таких проблем.

Сценарий

Во-первых, давайте рассмотрим область свободного пространства в форме параллелепипеда, представляющего собой периодически повторяющуюся элементарную ячейку с плоской волной, проходящей через нее под углом, как показано ниже:

plane wave through cell Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Волновой вектор падающей волны, \bf{k}, имеет следующие компонены: k_x = k_0 \sin(\alpha_1) \cos(\alpha_2)k_y = k_0 \sin(\alpha_1) \sin(\alpha_2), и k_z = k_0 \cos(\alpha_1) в глобальной системе координат. Эта проблема может быть смоделирована с использованием Периодических (Periodic) граничных условий с обеих сторон области и граничных условий типа Порт (Port) сверху и снизу. Наиболее сложным элементом настройки модели является определение направления и поляризации входящей и исходящей волны.

Определение направления волны

Хотя программное обеспечение COMSOL является достаточно гибким для задания любой системы координат, в этом топике мы выберем одну из них и будем её придерживаться. Направление падающего света задается двумя углами, \alpha_1 и \alpha_2; и двумя векторами, \bf{n} вектор, обозначающий нормаль к поверхности, и \bf{a_1} — вектор в плоскости падения. Допущение, которое мы выбираем здесь, состоит в том, чтобы соотнести \bf{a_1} с глобальной осью x и \bf{n} с глобальной осью z. Таким образом, угол между волновым вектором падающей волны и глобальной осью z \alpha_1, является наклонным углом падения (elevation angle of incidence), где -\pi/2 > \alpha_1 > \pi/2 с \alpha_1 = 0, обозначая нормальное падение. Угол между падающим волновым вектором и глобальной осью x является азимутальным углом падения (azimuthal angle of incidence)\alpha_2, который лежит в диапазоне, -\pi/2 > \alpha_2 \geq \pi/2. Как следствие этого определения, положительные значения как \alpha_1так и \alpha_2 предполагают, что волна движется в положительном x- и y-направлении.

Чтобы использовать приведенное выше определение направления падения, мы должны задать вектор \bf{a_1}. Это достигается заданием Референсной точки Периодического порта (Periodic Port Reference Point), которая должна являться одной из угловых точек этого порта. Программное обеспечение использует грани в плоскости, выходящей из этой точки, чтобы определить два вектора, \bf{a_1} и \bf{a_2}, такие что \bf{a_1 \times a_2 = n}. На рисунке ниже мы видим четыре варианта пары \bf{a_1} и \bf{a_2}, которые соответствуют этому условию. Таким образом, Референсная точка Периодического порта (Periodic Port Reference Point на стороне входящего порта должна быть точкой в нижней левой части x-y плоскости при просмотре сверху-вниз на ось z и поверхность. При выборе этой точки, вектор \bf{a_1} соотносится с глобальной осью x.

reference point1 Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Теперь, когда \bf{a_1} и \bf{a_2} были определены на входной стороне с помощью выбора Референсной точки Периодического порта, порт на выходной стороне области моделирования также должен быть определен. Вектор-нормаль, \bf{n}, в этом случае направлен в противоположном направлении, следовательно выбор Референсной точки Периодического порта должен быть скорректирован. Ни одна из этих четырех угловых точек не даст набор \bf{a_1} и \bf{a_2}, который совпадает с векторами на входной стороне, таким образом, мы должны выбрать один из четырех точек и скорректировать наши определения для \alpha_1 и \alpha_2. Выбирая Референсную точку периодического порта на выходной стороне, которая диаметрально противоположна точке, выбранной на входной стороне, и поворачивая на \pi/2 \alpha_2, направление \bf{a_1} переходит в \bf{a_1'}, которое направлено противоположно \bf{a_1} на входной стороне. В результате этого вращения, \alpha_1 и \alpha_2 меняют знак на выходной стороне области моделирования.

bottom side reference point Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур Теперь рассмотрим непосредственно область моделирования, представляющую собой диэлектрическое полупространство с контрастом показателя преломления между входящими и выходящими сторонами порта, который заставляет падающую волну изменять направление, что продемонстрировано ниже. Из закона Снеллиуса, мы знаем, что угол преломления равен \beta=\arcsin \left( n_A\sin(\alpha_1)/n_B \right). Это позволяет нам вычислить направление волнового вектора на выходном порте. Также обратите внимание на то, что эта связь сохраняется даже при наличии дополнительных слоев диэлектрика, расположенных между двумя полупространствами.

snells law Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Итак, чтобы задать направление плоской волны, проходящей через элементарную ячейку, мы сначала должны выбрать две диаметрально противоположные точки, используя опцию Референсная точка Периодического порта. Эти точки определяют векторы \bf{a_1} и \bf{a_2}. Как следствие, \alpha_1 и \alpha_2 на входной стороне можно определить в глобальной системе координат. На выходной стороне, углы, определяющие направление, становятся равными: \alpha_{1,out} = -\arcsin \left( n_A\sin(\alpha_1)/n_B \right) и \alpha_{2,out}=-\alpha_2 + \pi/2.

Определение поляризации

Падающая плоская волна может быть в одной из двух поляризаций: либо с электрическим, либо с магнитным полем, параллельным x-y плоскости. Любой другой тип поляризации, например круговой или эллиптический, может быть получен линейной комбинацией первых двух. Рисунок ниже показывает случай \alpha_2 = 0, с магнитным полем, параллельным x-y плоскости. Для случая \alpha_2 = 0, амплитуда магнитного поля на входном и выходном портах задается как (0,1,0) в глобальной системе координат. Поскольку луч вращается таким образом, что \alpha_2 \ne 0, амплитуда магнитного поля становится равной в общем случае (\sin(\alpha_2), \cos(\alpha_2),0). Для ортогональной поляризации, величина электрического поля на входе может быть определена аналогично. На выходном порте, компоненты поля в x-y плоскости могут быть определены таким же образом.

polarization Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Теперь мы разобрались, как определить направление и поляризацию плоской волны, которая распространяется через элементарную диэлектрическую ячейку. Вы можете посмотреть в качестве примера модель такого плана в Галерее Приложений, которая демонстрирует соответствие проводимых численных расчетов с аналитическим решением Уравнений Френеля.

Определение дифракционного порядка

Давайте рассмотрим, что происходит, когда мы вводим структуру с периодичностью в область моделирования. Рассмотрим плоскую волну с \alpha_1, \alpha_2 \ne 0 падающую на периодическую структуру, как изображено ниже. Если длина волны достаточно коротка, по сравнению с характерным размером решетки, могут существовать один или несколько порядков дифракции. Чтобы разобраться с этими дифракционными порядками, мы должны посмотреть на плоскость, определяемую векторами \bf{n} и \bf{k}, а также плоскость, определяемую векторами \bf{n} и \bf{k \times n}

diffraction Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Во-первых, глядя по нормали на плоскость, определяемую \bf{n} и \bf{k}, мы видим, что там может быть передаваться мода 0-го порядка с направлением, определяемым законом Снеллиуса, как было описано выше. Существует также 0-ой порядок отраженной волны. В структуре может быть некоторое поглощение, но здесь это не отображено. На рисунке ниже демонстрирует единственную моду 0-го порядка. Интервал d — это характерный период структуры в плоскости, определяемой векторами \bf{n} и \bf{k}.

m zero mode Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Для достаточно коротких длин волн,  могут быть также дифракционные моды высшего порядка. Они показаны на рисунке ниже, для случаев m=\pm1

m nonzero mode Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Условие существования этих мод описывается следующим соотношением:

m\lambda_0 = d(n_B \sin \beta_m -n_A \sin \alpha_1)

для: m=0,\pm 1, \pm 2,…

Для m=0 оно сводится к закону Снеллиуса. Для \beta_{m\ne0}, если различие в длине пути равна целому числу длин волн в вакууме, то наблюдается конструктивная интерференция и пучок порядка m преломляется под углом \beta_{m}. Обратите внимание на то, что не обязательно должно быть равное количество положительных и отрицательных m-порядков.

Теперь посмотрим вдоль плоскости, определенной векторами \bf{n} и \bf{k}. Таким образом, мы повернули нашу точку обзора вокруг оси z таким образом, чтобы падающий волновой вектор входил по нормали в поверхность. Дифракция в этой плоскости индексируется как пучки n-порядка. Обратите внимание на то, что характерный период, w, будет отличаться в этой плоскости, и что всегда будут равное количество положительных и отрицательных n-порядков.

diffraction n Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

COMSOL будет автоматически вычислять m,n \ne 0 порядки мод при задании Периодического Порта и определять порт-приемник так, чтобы можно было оценить, какая доля энергии рассеивается в каждую моду.

Наконец, нам стоит учитывать, что у волны может измениться (повернуться) поляризация при рассеянии. Таким образом, каждый дифракционный порядок состоит из двух ортогональных компонент поляризаций, Вектора в плоскости (In-plane vector)и Вектора вне плоскости (Out-of-plane vector). Глядя на плоскость, определяемую \bf{n} и дифрагированным волновым вектором \bf{k_D}, поле рассеяния может иметь две компоненты. Элемент Вектор вне плоскости является дифрагированным пучком, который поляризован вне плоскости дифракции (плоскость определена через \bf{n} и \bf{k}), в то время как Вектор в плоскости имеет ортогональную поляризацию. Таким образом, если компонента In-plane vector (вектор в плоскости) является не нулевой для определенного порядка дифракции, это означает, что падающая волна испытывает вращение поляризации при рассеянии. Подобные определения верны и для n \ne 0 порядков мод.

inplane outofplane1 Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Рассмотрим периодическую структуру на диэлектрической подложке. Поскольку падающий луч входит под углами \alpha_1, \alpha_2 \ne 0 и существуют высшие порядки дифракции, визуализация всех дифрагированных порядков может стать весьма сложной. На рисунке ниже, направление падающей плоской волны отмечено желтым вектором. Порядки дифракции n=0 показаны синими стрелками для дифракции в положительном z-направлении и голубыми стрелками для дифракции в отрицательном z-направлении. Дифракция  n \ne 0 порядков изображена красными и пурпурными стрелками для положительного и отрицательного направлений, соответственно. Дифракция может быть в каждом из этих направлений и дифрагированная волна может быть либо поляризована в, либо вне плоскости дифракции. Плоскость самой дифракции визуализируется как дуга. Обратите внимание на то, что плоскость дифракции для n \ne 0 порядков отличается в положительном и отрицательном z-направлениях.

all diffractions Моделирование Электромагнитных Волн и Периодических структур

Все порты автоматически настраиваются при задании периодической структуры в 3D. Они захватывают эти различные порядки дифракции и позволяют вычислять поля и относительную фазу для каждого порядка. Понимание назначения и использования таких портов будет полезно при моделировании периодических структур.


Loading Comments...

Categories


Tags