Введение в моделирование свободной конвекции в COMSOL Multiphysics®

23/12/2016

Свободная конвекция играет важную роль во многих научных и прикладных задачах, таких как охлаждение электронных компонентов, кондиционирование в помещений и перенос вещества в окружающей среде. Модули Вычислительная гидродинамика и Теплопередача в версии 5.2a программного пакета COMSOL Multiphysics® включают функциональные возможности, позволяющие проще формулировать и решать задачи свободной конвекции. В этой статье мы расскажем о свободной конвекции, о новых функциональных возможностях и о некоторых проблемах, с которыми вы можете столкнуться при ее моделировании.

Что такое свободная конвекция?

Свободная конвекция — вид переноса вещества, вызванный действием выталкивающей (архимедовой) силы. Архимедова сила, в свою очередь, создается за счет неоднородной плотности среды переменного состава или температуры.

Вы могли сталкиваться с явлением свободной конвекции в системах кондиционирования помещений. В этом случае теплый воздух вблизи источников тепла поднимается вверх к потолку, а холодный воздух вблизи холодных поверхностей (таких как окна в зимний период) опускается вниз к полу.

Другой пример процесса, ход которого зависит от свободной конвекции, — охлаждение электроники. Например, нежелательно использовать шумные вентиляторы для охлаждения усилителей и телевизоров в домашних кинотеатрах. Электронное оборудование, работающее в тихой обстановке, обычно охлаждают с помощью свободной конвекции воздуха, обдувающего встроенные радиаторы.

 

Свободная конвекция вокруг расходящегося игольчатого радиатора, нагреваемого снизу Анимация показывает величину скорости потока воздуха вокруг радиатора.

В химической и пищевой промышленности существуют менее очевидные задачи, связанные со свободной конвекцией. Экологи и метеорологи тоже сталкиваются с задачей свободной конвекции, когда пытаются предсказать и понять явления переноса в воздухе и в воде.

Во всех упомянутых случаях инженерам и ученым важно понимать свойства свободной конвекции и проектировать системы, позволяющие применять эти свойства. Математическое моделирование здесь незаменимо. В последней версии COMSOL Multiphysics определять и решать задачи, связанные со свободной конвекцией, стало еще проще. Для этого мы добавили ряд новых возможностей.

Вариант Weakly compressible flow (Слабосжимаемый поток) для гидродинамических интерфейсов не учитывает влияние волн давления, которые редко играют роль в процессах свободной конвекции. Это позволяет увеличить шаг по времени и сократить время вычисления для задач свободной конвекции.

Вариант Incompressible flow (Несжимаемый поток) и приближение Буссинеска для потока, создаваемого архимедовой силой, линеаризуют плотность при помощи коэффициента термического расширения. Этот вариант учитывает изменение плотности в уравнении сохранения импульса только в слагаемом для объемной силы. Это еще более грубое упрощение по сравнению с вариантом Weakly compressible flow (Слабосжимаемый поток), но оно по-прежнему дает эффективное и точное описание систем с малыми вариациями плотности. Это упрощение почти всегда верно для свободной конвекции в воде при малых разностях температур.

Функциональная возможность Gravity (Сила тяжести) позволяет легко задавать точку отсчета гидростатического давления и автоматически учитывает изменения гидростатического давления на вертикальных границах.

Давайте подробнее изучим эти новые возможности и научимся применять их к задачам моделирования свободной конвекции.

Как решать задачи свободной конвекции с помощью модели слабосжимаемой среды

Интерфейс Nonisothermal Flow (Неизотермический поток) предоставляет опцию Weakly Compressible Flow (Слабосжимаемый поток), которая упрощает решение задач конвекции, не учитывая изменения плотности из-за давления. Этот вариант также не учитывает волны давления, расчет которых требует плотную сетку и маленький временной шаг, а значит занимает много времени. Волны давления редко влияют на свободную конвекцию, поэтому мы мало потеряем в точности модели, применив такое упрощение.

Уравнение непрерывности для сжимаемой жидкости имеет вид

(1)

\[\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {\rho {\mathbf{u}}} \right) = 0\]

где ρ — плотность, а u — вектор скорости.
Для газа плотность пропорциональна давлению и температуре. Например, для идеального газа

(2)

\[\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\frac{M}{{RT}} – \frac{{\partial T}}{{\partial t}}\frac{{pM}}{{R{T^2}}}\]

Если пренебречь динамическими эффектами изменения плотности, получим

(3)

\[\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = – \frac{{\partial T}}{{\partial t}}\frac{{pM}}{{R{T^2}}}\]

Используя выражение для плотности идеального газа и пренебрегая зависимостью плотности от давления, получаем уравнение неразрывности

(4)

\[\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + \nabla T \cdot {\mathbf{u}} – T\nabla \cdot {\mathbf{u}} = 0\]

Это означает, что изменение плотности обусловлено только изменением температуры. Изменение плотности может вызвать расширение текучей среды, но прямое динамическое влияние этого расширения на поле давления с настройками Weakly compressible flow (Слабосжимаемый поток) не учитывается.

Кроме выражения для плотности в уравнении неразрывности, можно добавить объемную силу, сонаправленную силе тяжести, к уравнению сохранения импульса, выбрав флажок Gravity (Сила тяжести) в настройках интерфейса потока среды. По умолчанию она направлена в отрицательном направлении оси z. Эта сила имеет вид

(5)

\[{F_z} = -g\rho \left( T \right)\]

где плотность ρ зависит от температуры.

Для идеального газа плотность обратно пропорциональна температуре.

Вы можете найти настройки для варианта Weakly compressible flow (Слабосжимаемый поток), выбрав интерфейс Nonisothermal Flow (Неизотермический поток) или интерфейс Conjugate Heat Transfer (Сопряженная теплопередача). Выберите в Построителе моделей интерфейс Fluid Flow (Поток текучей среды), чтобы увидеть окно настроек, как на рисунке ниже. Выбрав вариант Weakly compressible flow (Слабосжимаемый поток), вы устраните зависимость между давлением и плотностью, а включив флажок Gravity (Сила тяжести) — автоматически добавите объемную силу к уравнению импульса.

Снимок экрана с настройками интерфейса гидродинамики в COMSOL Multiphysics.
Окно настроек интерфейса Fluid Flow (Поток текучей среды), показывающее опции Weakly compressible flow (Слабосжимаемый поток) и Gravity (Сила тяжести).

На графике ниже показан поток между двумя вертикальными печатными платами. На рисунке показана только элементарная ячейка одной печатной платы. Вторая печатная плата размещена непосредственно перед ней, задней стороной к той плате, которую мы видим. Поток полностью обусловлен архимедовой силой, вентилятора нет.

Скорость потока на входе составляет примерно 0,2 м/с, а на выходе — примерно 0,3 м/с. Воздух не поступает с боковых сторон, а значит, разность скоростей потока обусловлена расширением воздуха из-за повышения температуры воздуха в канале между двумя печатными платами.

Численная модель потока, создаваемого архимедовой силой, между двумя печатными платами.
Созданный архимедовой силой поток между двумя вертикальными печатными платами. Расширение показано с помощью цветовой схемы стрелок: скорость потока на входе примерно 0,2 м/с, а на выходе — примерно 0,3 м/с.

Несжимаемая среда с приближением Буссинеска

Если изменения плотности и связанное с ними расширение пренебрежимо мало влияют на поле скорости потока, мы можем использовать опцию Incompressible flow (Несжимаемый поток) и приближение Буссинеска для свободной конвекции. Тогда уравнение неразрывности еще больше упрощается, чем в случае опции Weakly compressible flow (Слабосжимаемый поток), потому что текучая среда теперь считается несжимаемой. Уравнение неразрывности принимает вид

(6)

\[\nabla \cdot {\mathbf{u}} = 0\]

Вместо этого малые изменения плотности учитываются посредством объемной силы, которую добавляют в уравнение сохранения импульса и которая направлена противоположно силе тяжести, то есть, по умолчанию, в направлении оси z. Малые изменения плотности вычисляют, линеаризуя температурную зависимость плотности среды. Z-компонента объемной силы становится равна

(7)

\[{F_z} = g{\rho _{{\text{ref}}}}\alpha \Delta T\]

где g — постоянная силы тяжести, \[{\rho _{{\text{ref}}}}\] — плотность при исходной температуре, α — коэффициент термического расширения среды, ΔT — разность температур.

Преимущество приближения Буссинеска для потоков, создаваемых архимедовой силой, заключается в уменьшении нелинейной составляющей уравнений гидродинамики — такую задачу проще решить численно, она требует меньше итераций и позволяет использовать большие шаги по времени в нестационарных задачах.

Например, приближение Буссинеска дает близкое к реальности описание потока воды при относительно малых разностях температуры. На рисунке ниже показана свободная конвекция в стакане воды, который нагревают снизу. Мы наблюдаем очень сложную картину потоков: потоки в центре и у дна стакана направлены вверх, а потоки между стенками и центром стакана направлены вниз.

Модель свободной конвекции в стакане воды в COMSOL Multiphysics.
Свободная конвекция в стакане воды. График показывает поле скорости потока в стакане и распределение температуры на стенках стакана.

Мы можем использовать вариант Incompressible flow (Несжимаемый поток) вместе с приближением Буссинеска для потока, обусловленного архимедовой силой, выбрав настройки для гидродинамических интерфейсов в COMSOL Multiphysics, показанные на рисунке ниже.

Снимок экрана, показывающий опцию Incompressible flow (Несжимаемый поток) в COMSOL Multiphysics.
Опции Incompressible flow (Несжимаемый поток), Gravity (Сила тяжести) и упрощенное задание давления позволяют использовать приближение Буссинеска для задачи свободной конвекции.

Задание уравнения для давления в моделях свободной конвекции

При моделировании сжимаемого потока зависимость давления от времени включена в уравнение непрерывности, поскольку для сжимаемых текучих сред плотность является функцией давления. Это означает, что для хорошей постановки задачи обычно достаточно задать начальное условие по давлению, даже если мы не задаем давление на границе.

Для слабосжимаемых и несжимаемых потоков, как мы обсуждали выше, зависимость давления от времени в уравнении непрерывности опускается. Если граничные условия не задают давление, то поле давления не может быть однозначно определено до тех пор, пока мы не зададим давление хотя бы в одной точке области.

В COMSOL Multiphysics мы можем задать так называемое ограничение давления в точке, чтобы избежать неопределенности при расчете поля давления. Отсутствие условия для точки отсчета давления часто приводит к проблемам со сходимостью в задачах свободной конвекции.

Снимок экрана, показывающий настройки ограничения давления в точке в COMSOL Multiphysics
Настройки для ограничения давления в точке на примере со стаканом воды.

Использование связывания и разделения переменных для задач свободной конвекции

Уравнения, описывающие свободную конвекцию, обычно включают уравнение сохранения импульса, уравнение неразрывности и уравнение переноса энергии или массообмена. Если выталкивающая сила создается разностью температур, то уравнение энергетического обмена жестко связано с уравнениями гидродинамики (уравнения Навье–Стокса). В случае свободной конвекции эта взаимосвязь очень тесна. Таким образом, самый надежный способ решить эти уравнения — использовать полностью связный решатель в COMSOL Multiphysics.

Снимок экрана с узлом Solver (Решатель) в COMSOL Multiphysics.
Узел Solver (Решатель) в дереве модели и настройки полностью связного решателя.

Для очень больших задач предпочтительным может оказаться раздельный подход. Например, если в задаче есть несколько химических веществ и выталкивающая сила создается за счет разного химического состава, то решатель с разделением переменных может оказаться единственным вариантом, не требующим чрезмерного объема памяти.

Заключение

Я хотел бы закончить эту статью еще одним примером, связанным со свободной конвекцией. Я часто думаю о свободной конвекции, куря сигару. Хотя я и не хочу рекламировать сигары, мой любимый пример свободной конвекции — сигарный дым, поднимающийся в холодный зимний воздух. На рисунке ниже показана зажженная сигара на пепельнице и распределение скорости в потоке, вызванном теплом сгорания.

 

Свободная конвекция (с небольшой составляющей вынужденной конвекции) воздуха вокруг зажженной сигары на пепельнице.

Часть потока вокруг зажженной сигары на самом деле создается вынужденной конвекцией, так как большая часть табака превращается в дым и плотность меняется с 500–1000 кг/м3 до 1 кг/м3. Этот эффект можно описать как появление потока на границе между пеплом и воздухом, окружающим сигару.

Дополнительная литература


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ