Улучшение Сходимости Мультифизических Задач

Walter Frei 23/12/2013
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on Google+ Share this on LinkedIn

В нашей предыдущей блог-статье, мы рассмотрели Полностью Взаимосвязанный и Раздельный алгоритмы, используемые для решения стационарных мультифизических задач в среде COMSOL. Здесь, мы изучим технику для ускорения сходимости обоих этих методов.

Техники Наращивания Нагрузки и Усиливания Нелинейности

Как мы только что узнали, полностью взаимосвязанный подход к решению стационарной нелинейной задачи фактически использует в точности тот же релаксационный алгоритм Ньютона-Рафсона, что и для решения нелинейной задачи в отдельной физической дисциплине. Хотя этот алгоритм очень хорошо сходится в большинстве случаев, он может дать сбой или сходиться очень медленно, если выбор начальных условий сделан неудачно. Поэтому не должно стать сюрпризом, что и техники решения, которые мы уже рассматривали, такие как Наращивание Нагрузки и Усиливание Нелинейности, точно также действуют в применении к мультифизическим задачам. На самом деле, действительно нечего добавить к этим техникам — они могут использоваться полностью эквивалентным образом.

Усиливание Мультифизических Задач

Есть только одно новое изменение в технике усиливания нелинейности, и это — усиливание связи между физическими процессами. В действительности, численно, это идентично уже рассмотренной технике усиливания нелинейности, но концептуально — усиливается величина связи между физическими процессами, а не величина нелинейности в каком-либо из процессов, составляющих мультифизическую задачу. Единственная трудность заключается в выборе члена и способа для техники усиливания. К счастью, в большинстве мультифизических задач имеется очевидная связь между процессами, которая легко обнаруживается при записывании управляющих уравнений и граничных условий, и проверкой — как свойства материала и нагрузки зависят о искомых переменных.

Самое важное, о чем нужно помнить — заключается в том, что лежащий в основе алгоритм, используемый для решения полностью взаимосвязанной мультифизической задачи, является в точности тем же самым, что и алгоритм для отдельной нелинейной физической задачи. Не забывая об этом, вы обнаружите, что полностью взаимосвязанные мультифизические задачи не доставят вам никаких дополнительных затруднений, кроме как понимания того, каким образом различные процессы взаимодействуют друг с другом в рамках модели.

С другой стороны, раздельный подход может привести к множеству различных стратегий решения, которые могут значительно ускорить сходимость решения, и существенно влияют на объем памяти, необходимой для решения задачи. Чтобы понять это, давайте сделаем блок-схемы различных мультифизических методов решения. Рассмотрим задачу из предыдущей статьи нашего блога о соединительной шине, которая разогревается за счет протекания тока и испытывает термические напряжения.

Полностью Взаимосвязанный Подход

Во-первых, полностью взаимосвязанный подход стартует с начального приближения и применяет итерации по Ньютону-Рафсону до тех пор, пока решение не сойдется:

Approach of the fully coupled solver Улучшение Сходимости Мультифизических Задач

При решении такой задачи, вы получите Convergence Plot (График Сходимости), который показывает уменьшение ошибки при последовательных итерациях по Ньютону-Рафсону. В идеальном случае, ошибка должна монотонно убывать, если решение сходится. После чего, начинается исследование по усиливанию нагрузки, нелинейности, или мультифизических связей. Этот подход практически всегда требует более ресурсоемкого прямого решателя для решения системы линейных уравнений на каждом шаге метода Ньютона-Рафсона.

Coupled convergence plot Улучшение Сходимости Мультифизических Задач

Раздельный Подход

Теперь сравним полностью взаимосвязанный подход с раздельным, который рассчитывает каждый физический процесс последовательно до достижения сходимости:

Modeling approach of the segregated solver Улучшение Сходимости Мультифизических Задач

Вы получите различного типа графики сходимости для такой задачи, один из которых показывает ошибку, обусловленную решением каждого отдельного физического процесса. При расчете каждого процесса можно использовать оптимальный решатель, либо прямой либо менее ресурсоемкий итерационный, для решения линейной системы уравнений. Каждый раздельный шаг может сам по себе являться нелинейной задачей, которая может быть решена с желаемой погрешностью и регулируемой релаксацией в зависимости от конкретной физической задачи.

В этом методе решения, вы получите, по меньшей мере, два графика сходимости, один для итерационного решателя(ей), возможно используемом на отдельном шаге, и второй, для общей сходимости раздельного подхода:

Segregated approach iterative convergence plot Улучшение Сходимости Мультифизических Задач

Вышеприведенный график показывает уменьшение ошибки для каждого физического процесса. Хотя большее число итераций может потребоваться для той же задачи, каждый цикл внутри раздельного подхода к решению может выполняться гораздо быстрее, чем шаг метода Ньютона-Рафсона требуемый для полностью взаимосвязанного подхода. Кроме этого, можно получить немного больше информации из раздельного подхода: если только один или два физических процесса не являются сходящимися, тогда можно проверить их настройки первыми.

Пошаговое Решение (Подход Последовательного Решения)

Есть еще одна вещь, которую вы можете вспомнить об этой задаче: изменение температуры управляется резистивным нагревом из-за протекания тока, а распределение плотности тока зависит от электрической проводимости, которая является температурно-зависимой. То есть, решения для напряжения и температуры связаны в двух направлениях. С другой стороны, хотя термические напряжения и модули Юнга зависят от температуры, решения для напряжения и температуры не зависят от смещений или механических напряжений. То есть, имеется однонаправленная связь между тепловой и структурной задачей. Мы сразу же можем заметить, что есть даже более эффективный способ решения этой задачи. Мы сначала можем решить задачу распределения температуры и напряжения, а после этого найти смещения:

Sequential Solution Step to the multiphysics problem Улучшение Сходимости Мультифизических Задач

Итак, мы видим, что есть (по крайней мере) три различных способа решения этой задачи: полностью взаимосвязанный, раздельный и предполагающий, что связи между всеми процессами разделяются, или метод пошагового решения (подход последовательного решения), использующий преимущество однонаправленной связи между полем температуры и смещениями. При решении мультифизической задачи, среда COMSOL будет предполагать наличие связи между всеми физическими процессами, и пытаться выбрать оптимальный полностью взаимосвязанный или раздельный подход, основываясь на физических соображениях и размерах задачи. Конечно, всегда поучительно зайти в настройки решателя, чтобы увидеть, какие настройки программного обеспечения были выбраны.

Заключение Блог-серии о Решателях

Эта серия статей была написана, для того чтобы дать вам понятие об алгоритмах используемых средой COMSOL для решения отдельных и мульти- физических линейных и нелинейных стационарных задач. Были охвачены такие вопросы, как создание сетки, точность и сходимость. Обладая такой информацией, вы сможете более уверенно браться за решение ваших стационарных моделей.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги