Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D-пространстве

Andrea Ferrario 30/04/2015
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on Google+ Share this on LinkedIn

Электрические механизмы являются одним из столпов, на которых держится современное индустриальное общество. Среди всевозможных типов электрического оборудования, вращающиеся механизмы, такие как генераторы и электромоторы играют центральную роль. Физический интерфейс Вращающиеся Механизмы, Магнетизм в среде COMSOL Multiphysics специально разработан для моделирования таких систем. Давайте разберемся, как моделировать вращающиеся механизмы и наилучшим образом использовать в своей работе данный раздел программного обеспечения.

Геометрия вращающегося механизма

В любом вращающемся магнитном механизме имеется две части: статор и ротор, разделенные воздушной прослойкой, обеспечивающей возможность вращения ротора. Интерфейс Вращающиеся Механизмы, Магнетизм использует принцип движущейся сетки для моделирования этого вращения, поскольку метод конечных элементов не поддерживает вращения.
schematic of a DC motor Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве Геометрия коммутируемого двигателя постоянного тока, состоящего из двух постоянных магнитов и вращающейся обмотки.

Геометрия механизма разделена (обычно вдоль воздушного зазора) на две части: одну, содержащую статор, и другую, содержащую ротор. После чего, в этих частях проводится независимое разбиение на конечные элементы. Во время моделирования, часть, содержащая статор, остается неподвижной, тогда как часть с ротором — двигается. Обе части, с соответствующими сетками разбиения, всегда остаются в контакте вдоль границы разреза.

DC motor with air region between magnets Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве
Геометрия должна включать воздушный зазор между магнитами. Красным выделен возможный выбор границы разреза.

По умолчанию, последним шагом определения геометрии является формирование объединения — элемента, объединяющего все геометрические объекты и позволяющего разбивать данную геометрию как единый объект. Для отдельного разбиения двух частей, на заключительной стадии геометрические объекты должны быть сформированы в виде сборки (Assembly). Используя объединения и другие операции, создается единая геометрия объекта для стационарной и другая для подвижной части. Затем, следует выбрать узел Формирование сборки (Form Assembly) в итоговом узле геометрической последовательности. В процессе завершения, в Определениях автоматически создается тождественная пара, устанавливающая общие (контактирующие) границы двух объектов.
DC motor mesh close up Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве Крупный план сетки разбиения двигателя постоянного тока. Вращающаяся и неподвижная части разбиваются независимо, на что указывают различные положения узлов сетки с обеих сторон. Границы, выделенные синим, объединяются в тождественную пару. В процессе вращения, сетки скользят одна вдоль другой, оставаясь при этом во взаимном контакте.

Посмотрите видео для более детального изучения использования Формирования Сборки в моделях с вращающимися механизмами.

Теперь, используя интерфейс Вращающиеся Механизмы, Магнетизм, мы можем определить динамику системы. Для этого можно использовать граничное условие Заданное Вращение для задания угла вращения (который может зависеть от времени) или условие Заданная Скорость Вращения для введения постоянной угловой скорости. После использования одного из этих граничных условий, среда COMSOL Multiphysics получит возможность двигать сетку для выбранных областей и выполнять соответствующие преобразования электромагнитного поля.
prescribed rotation in dc motor simulation Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве Условия "Заданное Вращение" или "Заданная Скорость Вращения" должны применяться к вращающейся части, содержащей ротор.

Что происходит в месте разреза? Физически, электромагнитное поле непрерывно в воздушном зазоре, при условии однородности материала. В отличие от других внутренних границ, условие непрерывности полей при пересечении пары не накладывается автоматически. Для реализации этого условия, используйте опцию Непрерывная пара для Тождественной пары.

Смешанная формулировка

Интерфейс Вращающиеся Механизмы, Магнетизм решает уравнения Максвелла для вычисления распределения электромагнитного поля. Другие производные величины, представляющие интерес (например, крутящий момент), могут быть вычислены из известных полей. Во временном анализе, интерфейс использует квазистатическое приближение, в котором пренебрегается плотностью тока смещения, или, что эквивалентно, предполагается, что емкостные эффекты в двигателе пренебрежимо малы. В рамках этого приближения, все токи в двигателе будут являться либо внешними (т.е. прикладываемые посредством возбуждения обмотки), либо краевыми, наводимыми в проводящих частях двигателя. Непроводящие части, наподобие воздушного зазора, не содержат никаких токов.

Существуют два подхода, используемых в данном интерфейсе, для решения уравнений Максвелла: формулировка в терминах векторного потенциала и скалярного потенциала. В первом подходе вводится векторное поле, \mathbf{A} (магнитный векторный потенциал), и определяются вектора магнитной индукции и электрического поля, как

\begin{align} \mathbf{E} &=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\ \mathbf{B} &= \nabla \times \mathbf{A} \end{align}

В силу данного определения, поля \mathbf{B} и \mathbf{E} автоматически удовлетворяют двум уравнениям Максвелла: закону Фарадея и закону сохранения магнитной индукции (или закону Гаусса для магнитного поля). Это можно записать в виде:

\begin{align} \nabla \times \mathbf{E} &=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \end{align}

Уравнение, которое необходимо решить, представляет собой закон Ампера:

\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}

Формализм векторного потенциала используется в физическом интерфейсе Магнитные Поля.

Формулировка в терминах скалярного потенциала применима только к областям, в которых плотность электрического тока равна нулю. В этом случае вводится скалярное поле V_\textrm{m} (магнитный скалярный потенциал, не путать с электрическим потенциалом) и магнитное поле определяется как градиент от этого потенциала. При данном определении, закон Ампера выполняется автоматически и решается закон сохранения вектора магнитной индукции. Этот формализм используется в физическом интерфейсе Магнитные Поля, Без токов.

По сравнению с формализмом векторного потенциала, формулировка в терминах скалярного потенциала обладает несколько большей степенью свободы и приводит к “упрощению” решения задачи. Разумеется, обратной стороной является то, что она может применяться только при отсутствии токов. Обычно, это условие ограничивало бы ее применимость специальными случаями, наподобие стационарного исследования постоянных магнитов. Однако, благодаря квазистатическому приближению, эта формулировка может также применяться к непроводящим областям во временном анализе.

В случае 3D-моделей, подход скалярного потенциала обладает еще одним важным преимуществом. Когда используется такая характеристика пары как Непрерывность, эта формулировка обеспечивает более точную стыковку вектора магнитной индукции — центральной величины при моделировании магнитных устройств.

Указанные две формулировки могут также использоваться совместно, комбинируя формализм векторного потенциала для проводящих или токонесущих областей и формализм скалярного потенциала для воздушного зазора и непроводящих областей. Называемый смешанным формализмом, такой подход особенно полезен для 3D-моделей благодаря повышенной точности стыковки пары, обеспечиваемой скалярным формализмом. В 2D-моделях для магнитных полей с векторами, расположенными в плоскости моделирования, схема дискретизации, используемая для векторного потенциала аналогична той, которая используется для скалярного. Таким образом, в 2D случаях полей-в-плоскости, использование смешанного формализма не является необходимым.

По умолчанию, интерфейс Вращающиеся Механизмы, Магнетизм применяет Закон Ампера (то есть, формализм векторного потенциала) ко всем областям, поскольку она является наиболее общей формулировкой. Применение функции Сохранение Магнитного Потока к областям, свободным от токов, таким как воздушный зазор и другие непроводящие области, переписывает закон Ампера. Используя функцию Смешанная формулировка границы, соответствующие условия налагаются на границе раздела между областями, описываемыми скалярным и векторным потенциалами. Отметим, что функция Непрерывность пары стыкует зависимые переменные по обе стороны границы пары, что гарантирует использование корректного формализма с любой из сторон. Для улучшения численной стабильности функцию Калибровка векторного потенциала А-поля (Gauge Fixing for A-Field) следует применить ко всем областям векторного потенциала, что обычно и используется в интерфейсе Магнитные Поля.

amperes law feature in dc motor simulation Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве Закон Ампера применяется только к внутреннему фрагменту вращающейся части, где находится токонесущая обмотка. Заметьте, что выделенная область меньше всей вращающейся части, которая простирается до границы разреза. Для повышенной точности, необходимо использовать формализм скалярного потенциала вблизи положения пары.

Использование смешанной формулировки достаточно просто и понятно, однако нельзя забывать о математических основах формулировок и их ограничениях. Важнейшее условие применимости, наиболее часто приводящее к возникновению ошибок, состоит в том, что скалярный потенциал может представлять только безвихревое (без закручивания силовых линий в спирали и петли) магнитное поле. На практике это означает, что в области скалярного потенциала не может быть замкнутых кривых, которые полностью замыкают ток. Причина этого условия вытекает из определения скалярного потенциала и уравнений Максвелла. В области, где используется формулировка скалярного потенциала, интеграл от магнитного поля вдоль замкнутой кривой всегда равен нулю, поскольку поле представляется в виде градиента потенциала. В то же время, из закона Ампера следует, что интеграл от магнитного поля вдоль замкнутой кривой должен быть равен полному току заключенному внутри этой кривой. Следовательно, решения не существует (нет возможной конфигурации потенциала), до тех пор пока ток в точности равен нулю. Если мы попытаемся решить в среде COMSOL Multiphysics задачу, не удовлетворяющую этому условию, решатель не сойдется. Рисунок ниже, на котором область векторного потенциала представлена синим, а область скалярного потенциала обозначена серым цветом, иллюстрирует данную концепцию.
closed curve in scalar potential region of motor Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве Замкнутая кривая в области скалярного потенциала "заключает в себе" область векторного потенциала, по которой может протекать ток (обратный ход тока лежит за пределами приведенной геометрии). Данная модель может не иметь решения.

На рисунках ниже представлены корректные геометрии, в которых области скалярного потенциала являются односвязными, что означает, что они не имеют "дыр" векторного потенциала, проходящих насквозь через всю область.

valid geometry in a scalar potential region Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве
another valid geometry in scalar potential region Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве

Относительное движение и системы координат

Во вращающемся механизме, центральную роль для работы устройства играет относительное движение статора и ротора. Электромагнитные задачи, рассматривающие относительное движение тел, являются совсем не тривиальными — в действительности, возникающие при этом вопросы, более ста лет назад привели к развитию теории относительности.

Как правило, первым шагом при решении таких задач является выбор системы отсчета, в которой будут записываться исходные уравнения. Система отсчета представляет собой просто выбор системы координат с осями для определения положения любой точки в пространстве. Естественным выбором представляется выбор неподвижной декартовой системы координат, иногда называемой "лабораторной" системой координат, и обозначаемая в среде COMSOL Multiphysics как пространственная система координат. В данной системе координат, стационарная часть покоится, тогда как вращающаяся часть движется.

Другим возможным выбором является использование декартовой системы координат в каждой точке пространства, как и в пространственной системе координат, но при этом позволить координатной системе следовать за перемещением точки при ее вращении. В данной системе координат материал, из которого изготовлено устройство, всегда неподвижен (поскольку система координат сама перемещается вместе с ним), поэтому такая система координат называется материальной системой координат. В стационарной части механизма, пространственная и материальная система координат совпадают, поскольку движение отсутствует. При этом, во вращающейся части, материальная система координат вращается по отношению к пространственной системе координат. Выбор любой из этих двух систем координат эквивалентен в том смысле, что обе они обеспечивают тот же результат, до тех пор пока применяются корректные преобразования.

По умолчанию, координаты в материальной системе координат обозначаются заглавными буквами (X, Y, Z), а координаты в пространственной — строчными (x, y, z). Наименования координат обозначают компоненты векторов в определенной системе координат; например, компонентами электрического поля являются Ex, Ey, Ez в пространственной и EX, EY, EZ в материальной системе координат.

Задача автоматически формулируется и решается для физической постановки задачи в материальной системе координат. При постобработке, зачастую бывает интересно посмотреть на переменные и поля в пространственной системе координат так, как видел бы эти величины наблюдатель, находящийся в покое относительно статора. По этой причине, все векторные поля автоматически преобразуются в пространственную систему координат. Пространственные и материальные переменные идентифицируются в списке выражений, посредством указания системы координат в скобках, как показано на рисунке ниже.
spatial and material variables Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве
Компоненты векторных величин определяются в обеих — пространственной и материальной — системах координат.

Большинство векторных величин просто поворачиваются при преобразовании от материальной системы координат к пространственной, так что их нормы остаются инвариантными. Важное исключение составляет электромагнитное поле, в частности, электрическое поле, которое преобразуется согласно правилам преобразования Лоренца. При нерелятивистских скоростях, поля в двух системах координат связаны соотношениями

\begin{align} \mathbf{B}_\textrm{material} &= \mathbf{B}_\textrm{spatial} \\ \mathbf{E}_\textrm{material} &= \mathbf{E}_\textrm{spatial} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}_\textrm{spatial} \end{align}

Рассмотрим геометрию 2D-генератора. На рисунке ниже, красная линия обозначает разделение между вращающейся и стационарной частями. Более темные области изображают постоянные магниты в роторе, тогда как более светлые обозначают железо, которое может быть насыщенным, и медные области представляют обмотку генератора. Белая область — воздух.
2D generator geometry Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве
Электрическое поле в материальной системе координат есть поле "видимое" проводящим материалом, возбуждаемым плотностью тока. В общем, оно отличается от электрического поля в пространственной системе координат, как проиллюстрировано ниже.

induced electric field in 2D generator Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве
2D generator with no significant field Каким образом моделировать вращающиеся механизмы в 3D пространстве

Слева: Вне-плоскостная компонента электрического поля в пространственной системе координат во время вращения (в В/м). Магниты в роторе перемещаются по отношению к наблюдателю в лабораторной системе координат, так что присутствует индуцированное электрическое поле. Справа: Вне-плоскостная компонента электрического поля в материальной системе координат (в В/м). Поскольку магниты неподвижны во вращающейся системе координат, то сколько-нибудь значительное индуцированное электрическое поле отсутствует. Электрические поля в стационарной части остаются теми же и для материальной и для пространственной системs координат.

Настройки решателей

Настройки решателя должны быть адаптированы для желаемого моделирования. Стационарное исследование может быть использовано для моделирования поведения вращающегося механизма в стационарных условиях, при которых ротор неподвижен и переходные эффекты ослабли.

В отличие от предыдущего, шаг Анализ во временной области может быть использован для исследования того, что происходит в процессе вращения. При использовании шага Анализ во временной области, очень важно задать корректные начальные условия, которые соответствуют исследуемой физической задаче. Если это является первым шагом исследования, то начальные значения для полей берутся из узла Начальное Значение (по умолчанию, ноль). В противном случае, сначала может быть решен Стационарный шаг перед шагом Анализ во временной области, с целью получения ненулевых начальных условий для моделирования переходных процессов.

В общем, Стационарный добавляется, если возбуждения "уже активны" (к примеру, постоянные магниты в генераторе), в отличие от возбуждений, которые "включаются" при начале переходных процессов. В моделях, включающих обе формы возбуждения, аналогичных коммутируемому двигателю постоянного тока, важно отключить характеристики, ответственные за переходные возбуждения в Стационарном шаге — то есть, если моделирование предназначено для моделирования поведения, когда переходное возбуждение “включено”.

Итоги

Передовая по своей природе, тема моделирования вращающихся механизмов является довольно перспективной. Здесь мы представили некоторые концепции, используемые при моделировании вращающихся магнитных механизмов, а также привели методики и рекомендации, которым можно следовать при работе над этим интересным приложением. Интерфейсы Вращающиеся Механизмы, Магнетизм и Магнитные Поля, которые лежат в основе такого моделирования, являются мощными инструментами для анализа и оптимизации таких крайне непростых систем.

В будущем топике, в дополнение к этим методам, мы будем исследовать роль сектора симметрии в моделировании вращающихся механизмов в 3D. Следите за обновлениями!

Дальнейшие шаги

Примечание редактора: Мы уже опубликовали последующий топик на эту тему 2/18/16. Читайте про основные понятия, лежащие в основе моделирования 3D вращающихся механизмов по этой ссылке.


Темы публикаций

Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги