Как моделировать проводники в переменных магнитных полях

25/05/2018

Как показывает практика, одним из наиболее распространённых применений модуля AC/DC пакета COMSOL Multiphysics® является моделирование проводников и других резистивных материалов в переменных магнитных полях, приводящих к возникновению больших индуцированных токов. Подход к моделированию таких задач зависит от того, насколько быстро во времени изменяются магнитные поля. В данной заметке мы расскажем об основах моделирования проводников и продемонстрируем различные методики расчёта.

Описание скин-эффекта с использованием модуля AC/DC

Когда резистивный материал, например, проводник, помещают в переменное электромагнитное поле, в нём индуцируются токи. Эти токи создают магнитное поле, которое изменяет распределение тока внутри материала. Результатом является вытеснение индуцированных токов к поверхности. Данное явление называют скин-эффектом.

Скин-эффект можно смоделировать, используя любой физический интерфейс в модуле AC/DC, в котором рассчитываются магнитные поля и растекание токов. Ниже приведён список таких интерфейсов:

  • Magnetic Fields (Магнитные поля)
  • Magnetic and Electric Fields (Магнитные и электрические поля)
  • Magnetic Field Formulation (Формулировка через магнитное поле)
  • Rotating Machinery, Magnetic (Вращающиеся механизмы, Магнетизм)

Все эти физические интерфейсы позволяют проводить расчёты в частотной области при условии того, что магнитные и другие поля изменяются синусоидально во времени. А в интерфейсах Magnetic Fields, Rotating Machinery Magnetic и Magnetic Field Formulation можно проводить полный нестационарный расчёт (во временной области) с изменяющимися во времени полями.

Моделирование проводников в частотной области в переменных магнитных полях

Давайте рассмотрим расчёт в частотной области, так как при решении большинства задач мы заранее знаем рабочую частоту или рабочий частотный диапазон для устройства. Зная рабочую частоту, можно определить толщину скин-слоя δ в материале по формуле:

\delta=\left[ \Re \left (\sqrt{j \omega \mu_0 \mu_r(\sigma + j \omega \epsilon_0 \epsilon_r )} \right) \right]^{-1}

где \omega — рабочая частота, \mu_0 — магнитная постоянная, \epsilon_0 — диэлектрическая постоянная, \mu_r и \epsilon_r — относительные магнитная и электрическая проницаемости материала, \sigma — электропроводность материала.

Для проводников это выражение можно упростить до:

\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega \mu_0 \mu_r \sigma}}

Грубо говоря, глубина скин-слоя определяется экспоненциальным уменьшением индуцированных токов в плоском полубесконечном проводнике. Однако очень важно заранее примерно представлять её значение. Рекомендуем всегда проводить предварительную оценку для определения толщины скин-слоя во всех материалах, так как от этой величины зависит то, какой подход к моделированию следует выбирать. Чтобы закрепить этот совет, давайте рассмотрим простой пример короткозамкнутого витка (поперечное сечение 1 см и радиус витка 10 см), который помещён в однородное фоновое магнитное поле, осциллирующее на разных частотах, как показано на рисунке ниже.

Схематичное изображение медного витка, который помещён в переменное магнитное поле.
Виток из медного провода, который помещён в синусоидальное переменное магнитное поле.

Для решения такой задачи можно воспользоваться двухмерной осесимметричной моделью, как показано ниже. Область с бесконечными элементами (infinite element domain) используется для эффективного ограничения расчётной области и имитации открытых границ. Подробнее про использование данного функционала мы писали в предыдущей заметке нашего корпоративного блога.

Схематичное изображение модели катушки.
Схематичное изображение расчетной области для модели катушки.

Давайте посмотрим на результаты расчета в такой постановке на различных частотах. На рисунке ниже изображено распределение тока в катушке. На высоких частотах мы как раз наблюдаем эффект вытеснения тока к поверхности. Фактически, на самой высокой рассмотренной частоте, ток в центре катушки практически равен нулю. Можно сказать, что скин-эффект экранировал внутреннюю область проводника.

На рисунке показано распределение токов в сечении катушки на различных частотах.
Распределение тока в поперечном сечении катушки на различных частотах.

Для правильного моделирования подобных задач очень важно аккуратно подобрать и построить конечно-элементную сетку. На высоких частотах, когда ток практически полностью вытесняется к границам проводника, для точного расчёта переменных полей, необходимо строить более плотную сетку ближе к внешней поверхности. Однако, поля сильно изменяются в направлении нормали к границе и очень слабо — по периметру катушки ( в касательном направлении).

В таких случаях можно воспользоваться функционалом сетки граничного слоя, который будет автоматически генерировать тонкие конечные элементы, нормальные к границе, как показано на рисунке ниже. В зависимости от того, насколько точно вам необходимо провести расчёт, вы можете задавать толщину этих элементов от половины до целой глубины скин-слоя, а также использовать два или больше граничных слоёв. С другой стороны, на низких частотах построение погранслойной сетки, в принципе, не требуется.

Три рисунка сетки для сечения катушки на различных частотах.
Сеточное разбиение внутри катушки на различных частотах, соответствующих предыдущим графикам распределения тока.

Эквивалентные граничные условия

Как видно на изображениях выше, на более высоких частотах распределение тока внутри катушки очень незначительное. Поэтому можно сделать разумное практическое предположение о том, что на высоких частотах токи текут только по поверхности. В таких случаях можно использовать Импедансное граничное условие (Impedance) и не моделировать внутреннюю часть катушки, как показано на изображениях ниже.

На рисунке изображен пример использования Импедансного граничного условия для расчета проводников.
Схематичное изображение и сеточное разбиение для модели с использованием Импедансного граничного условия (Impedance).

Такой подход позволит значительно сэкономить вычислительные ресурсы, так как в при этом необходимо строить сетку только в окружающей воздушной области и применить Импедансное граничное условие. Очевидно, что в такой постановке мы не сможем получить и расчитать распределение тока внутри проводника. Однако, если в задаче оно и не требуется, то смело можно пользоваться этим удобным граничным условием. На графике ниже изображены зависимости потерь в катушке от частоты, рассчитанные с помощью Импедансного граничного условия (зелёная линия) и с использованием полнотельной модели с погранслойной сеткой (синяя линия).

График сравнения расчетных потерь в проводнике, полученных двумя разными способами в COMSOL Multiphysics®.
График зависимости потерь в катушке от частоты для Импедансного граничного условия и для полнотельной моделии с погранслойной сеткой.

Далее приведен график отношения потерь, рассчитанных с помощью Импедансного граничного условия, к потерям, рассчитанным с использованием полнотельной модели, в зависимости от отношения радиуса провода к толщине скин-слоя. По мере приближения характерного размера задачи (в данном случае, радиуса) к величине превышающей толщину скин-слоя в десять раз, рассчитанные для двух случаев потери выравниваются.

График зависимости отношения потерь, рассчитанных двумя способами, от отношения размера объекта к толщине скин-слоя.
График зависимости отношения рассчитанных потерь от соотношения радиуса катушки к толщине скин-слоя.

По данному графику можно сделать вывод о том, что Импедансное граничное условие даёт точные результаты при расчете полных потерь, в случае если толщина скин-слоя относительно мала по сравнению с характерными размерами моделируемого проводника. Это очень важное следствие, так как оно помогает значительно упростить некоторые задачи для расчёта в частотной области с использованием модуля AC/DC.

Расчёты проводников во временной области в переменных магнитных полях

Завершим нашу статью некоторыми комментариями по расчетам во временной области. Импедансное граничное условие в данном случае неприменимо, так как оно сформулировано только для системы уравнений Максвелла в частотной области. Для моделирования во временной области необходимо строить сетку на всей поверхности проводника. В данном случае все также актуально использование функционала погранслойных сеток, однако вам необходимо подобрать толщину слоев этой сетки как на основе средней, так и максимально возможной частоты, которая может проявиться в расчете во временной области. Такой подход может увеличить вычислительные затраты, поэтому старайтесь использовать моделирование в частотной области по мере возможности.

Потребуется ли переход во временною область, если в модели присутствуют нелинейные материалы? Если в задаче имеется ферромагнитный материал с нелинейной магнитной проницаемостью, можно использовать материальную модель эффективной кривой намагничивания H-B (effective H-B curve) и смоделировать магнитный материал в частотной области.

Заключение

Для эффективного использования модуля AC/DC очень важно иметь правильное представление об эффектах, характерных для проводящих и других резистивных материалов в переменных магнитных полях. В данной заметке мы показали, как можно использовать Импедансное граничное условие на высоких частотах в качестве альтернативы явному моделированию проводящих областей. В последнем случае необходимо использовать сетку с погранслойными элементами, чтобы разрешить растекание токов в приповерхностном слое на высоких частотах, что увеличит вычислительные затраты. При использовании Импедансного граничного условия не нужно будет моделировать внутреннюю область проводника, что поможет значительно сэкономить вычислительные ресурсы.

Дальнейшие шаги

Чтобы узнать больше о функционале модуля AC/DC для электротехнических расчетов, нажмите на кнопку ниже.

Дополнительные ресурсы

Ознакомьтесь со следующими примерами, чтобы узнать больше об электротехническом моделировании:


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ