Распознавание и разрешение сингулярностей в моделях при построении расчётной сетки

Walter Frei 29/10/2013
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

В нашей предыдущей публикации о том, как происходит построение расчётной сетки для линейных статических задач, мы установили, что в пределе сгущения сетки решение модели конечных элементов будет приближаться к точному значению. Также мы разобрались, что сгущение адаптивной сетки подходит для создания сетки с более мелкими элементами в тех участках, где погрешность выше. Это лучше, чем просто добавлять меньшие элементы по всей модели. В этой публикации мы рассмотрим пару наиболее часто встречающихся проблем моделирования с помощью метода конечных элементов. Они появляются, если в модели есть сингулярность.

Пример из механики конструкций

Давайте взглянем на задачу с плоской пластиной и вырезанным квадратным отверстием в ней.

На пластину воздействует одноосное растяжение. Похоже на пример, приведенный ранее. Как и раньше мы можем воспользоваться симметричностью и построить модель только для четверти конструкции.

На плоскую пластину с вырезанным квадратным отверстием воздействует одноосное растяжение

Также мы можем использовать уплотнение адаптивной сетки, чтобы в среде COMSOL добавилось больше элементов на участки, где по оценке ожидается большая погрешность:

Построение сгущенной сетки для плоской поверхности

Мы видим, как в область рядом со внутренним углом вырезанного отверстия добавляются все меньшие и меньшие элементы. Давайте выведем изображение напряжений во внутреннем углу, как функцию размера элемента сетки.

Напряжение во внутреннем углу квадратного отверстия, сделанного в плоской пластине, как функция размера расчётной сетки.

Из графика становится понятно, что напряжение становится всё сильнее и сильнее, неважно насколько подробнее мы делаем сетку. Как раз это здесь и происходит, напряжение в остром углу не сходится по отношению ко сгущению сетки из-за сингулярности в модели. На самом деле это абсолютно верно — теоретически напряжение в острых углах бесконечно. Когда бы вы ни увидели такое не схождение, это, скорее всего, будет проявление сингулярности в вашей модели.

В практике проектирования зданий и сооружений, острые внутренние углы это то, чего следует избегать. Подтвердятся слова о том, что единственный путь предупреждения подобной проблемы, — это округление острых углов в модели, где появляются сингулярности. Следование этому правилу приведет к модели, которая прогнозирует напряжения, сходящиеся с уплотнением адаптивной сетки. Но при этом во внутреннем углу все еще потребуется множество элементов. Так что давайте рассмотрим и другие подходы, с помощью которых решаются модели с сингулярностями.

Глобальная оценка модели

Первый вариант — простое игнорирование сингулярностей. Важным элементом моделирования методом конечных элементов является понимание того, что он допускает наличие локальных неточностей, поскольку сам сформулирован в известном смысле как минимизирующий глобальную погрешность в модели. Напряжение, которое мы прогнозируем в модели выше, неточное. Однако, если вы оцените его на отдалении в 2-3 элемента сетки от сингулярности, решение для напряжения там сойдётся. Таким образом, если нам нужно узнать напряжение далеко от сингулярности, простое её присутствие не помешает прогнозированию в остальных участках.

Вычисление производной области решения

Также важно понимать, что сингулярности проявляется, когда вы берете производную в области решения. В механике конструкций мы решаем случаи для области смещения \bf{u} и вычисляем напряжение от деформации \bf{\sigma =C : \epsilon}, где она определена в выражениях градиента области смещения: \epsilon = 1/2 \bf{ [ (\nabla u)^T + \nabla u] }.

Если посмотреть на напряжение, как на градиент поля смещения, становится немного понятнее, почему решение для напряжений стремится к бесконечности в остром углу. Хотя, если вам требуется только область решения, \bf{u} — она несингулярна даже в остром углу и сходится с дроблением сетки.

Оценка интеграла вокруг сингуляности

Другой частый случай, когда сингулярность допустима — если в результате моделирования вам нужна только интегральная величина. Например, полная энергия упругой деформации системы, состоящей из стержня, выглядит так:

U=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\sigma:\epsilon d\Omega

Если мы производим оценку для области с сингуляностью такой, как пластина с квадратным отверстием, этот интеграл будет резко сходиться с увеличением густоты сетки. Даже несмотря на то, что подинтегральные выражения не сходятся в одной или нескольких точках внутри области. Так что, если единственная величина, которую вы хотите получить, это функция интеграла по области или границе в пределах вашей модели, то она может содержать сингулярность. Значение, которое вы интегрируете, сойдется к одной и той же величине, используете вы острый или круглый угол. Такая ситуация особенно часто встречается в электромагнетизме, где индуктивность и ёмкость устройства оцениваются, как интегралы электрического и магнитного полей по областям.

Заключительные мысли о построении расчётной сетки и сингулярностях в модели

Резюмируем: есть три распространенные ситуации, когда сингулярность в модели допустима:

  1. Когда вы оцениваете решение не в точке сингулярности, а на некотором расстоянии от нее
  2. Когда вы не оцениваете производную решения в месте сингулярности
  3. Когда вы оцениваете интеграл некоторой величины, включая производную решения по области или границе рядом с сингуляностью

В этих перечисленных случаях вы будете наблюдать сходимость вашего решения с увеличением густоты сетки. Это говорит о том, что вы всё еще должны быть осторожны когда вы наблюдаете такое поведение где-либо в модели, при котором нет сходимости. Следует убедиться, что она не искажает вашу интерпретацию результатов.

Итак, существуют случаи, когда мы нуждаемся в точном расчёте полей в точках сингулярностей. Но наша модель может оказаться настолько большой, что мы не захотим скруглять все её рёбра. В таких случаях мы сможем использовать стратегию под названием подмоделирование или моделирование с разрывами. Этот метод использует относительно грубую сетку, чтобы найти поле решений в большей модели. Последняя может быть с сингулярностями. Далее происходит перенос полученных данных на подмодель с более подробной сеткой и круглыми углами. Этот метод представлен в примере подмодели в колёсном диске.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта