Распознавание и разрешение сингулярностей в моделях при построении расчётной сетки

Walter Frei 29/10/2013
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on Google+ Share this on LinkedIn

В нашей предыдущей публикации о том, как происходит построение расчётной сетки для линейных статических задач, мы установили, что в пределе сгущения сетки решение модели конечных элементов будет приближаться к точному значению. Также мы разобрались, что сгущение адаптивной сетки подходит для создания сетки с более мелкими элементами в тех участках, где погрешность выше. Это лучше, чем просто добавлять меньшие элементы по всей модели. В этой публикации мы рассмотрим пару наиболее часто встречающихся проблем моделирования с помощью метода конечных элементов. Они появляются, если в модели есть сингулярность.

Пример из механики конструкций

Давайте взглянем на задачу с плоской пластиной и вырезанным квадратным отверстием в ней.

На пластину воздействует одноосное растяжение. Похоже на пример, приведенный ранее. Как и раньше мы можем воспользоваться симметричностью и построить модель только для четверти конструкции.

Flat plate under uniaxial tension Распознавание и разрешение сингулярностей в моделях при построении расчётной сетки

Также мы можем использовать уплотнение адаптивной сетки, чтобы в среде COMSOL добавилось больше элементов на участки, где по оценке ожидается большая погрешность:

Adaptive mesh refinement of the geometry Распознавание и разрешение сингулярностей в моделях при построении расчётной сетки

Мы видим, как в область рядом со внутренним углом вырезанного отверстия добавляются все меньшие и меньшие элементы. Давайте выведем изображение напряжений во внутреннем углу, как функцию размера элемента сетки.

Stresses at inside corner as a function of the mesh size Распознавание и разрешение сингулярностей в моделях при построении расчётной сетки

Из графика становится понятно, что напряжение становится всё сильнее и сильнее, неважно насколько подробнее мы делаем сетку. Как раз это здесь и происходит, напряжение в остром углу не сходится по отношению ко сгущению сетки из-за сингулярности в модели. На самом деле это абсолютно верно — теоретически напряжение в острых углах бесконечно. Когда бы вы ни увидели такое не схождение, это, скорее всего, будет проявление сингулярности в вашей модели.

В практике проектирования зданий и сооружений, острые внутренние углы это то, чего следует избегать. Подтвердятся слова о том, что единственный путь предупреждения подобной проблемы, — это округление острых углов в модели, где появляются сингулярности. Следование этому правилу приведет к модели, которая прогнозирует напряжения, сходящиеся с уплотнением адаптивной сетки. Но при этом во внутреннем углу все еще потребуется множество элементов. Так что давайте рассмотрим и другие подходы, с помощью которых решаются модели с сингулярностями.

Глобальная оценка модели

Первый вариант — простое игнорирование сингулярностей. Важным элементом моделирования методом конечных элементов является понимание того, что он допускает наличие локальных неточностей, поскольку сам сформулирован в известном смысле как минимизирующий глобальную погрешность в модели. Напряжение, которое мы прогнозируем в модели выше, неточное. Однако, если вы оцените его на отдалении в 2-3 элемента сетки от сингулярности, решение для напряжения там сойдётся. Таким образом, если нам нужно узнать напряжение далеко от сингулярности, простое её присутствие не помешает прогнозированию в остальных участках.

Вычисление производной области решения

Также важно понимать, что сингулярности проявляется, когда вы берете производную в области решения. В механике конструкций мы решаем случаи для области смещения \bf{u} и вычисляем напряжение от деформации \bf{\sigma =C : \epsilon}, где она определена в выражениях градиента области смещения: \epsilon = 1/2 \bf{ [ (\nabla u)^T + \nabla u] }.

Если посмотреть на напряжение, как на градиент поля смещения, становится немного понятнее, почему решение для напряжений стремится к бесконечности в остром углу. Хотя, если вам требуется только область решения, \bf{u} — она несингулярна даже в остром углу и сходится с дроблением сетки.

Оценка интеграла вокруг сингуляности

Другой частый случай, когда сингулярность допустима — если в результате моделирования вам нужна только интегральная величина. Например, полная энергия упругой деформации системы, состоящей из стержня, выглядит так:

U=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\sigma:\epsilon d\Omega

Если мы производим оценку для области с сингуляностью такой, как пластина с квадратным отверстием, этот интеграл будет резко сходиться с увеличением густоты сетки. Даже несмотря на то, что подинтегральные выражения не сходятся в одной или нескольких точках внутри области. Так что, если единственная величина, которую вы хотите получить, это функция интеграла по области или границе в пределах вашей модели, то она может содержать сингулярность. Значение, которое вы интегрируете, сойдется к одной и той же величине, используете вы острый или круглый угол. Такая ситуация особенно часто встречается в электромагнетизме, где индуктивность и ёмкость устройства оцениваются, как интегралы электрического и магнитного полей по областям.

Заключительные мысли о построении расчётной сетки и сингулярностях в модели

Резюмируем: есть три распространенные ситуации, когда сингулярность в модели допустима:

  1. Когда вы оцениваете решение не в точке сингулярности, а на некотором расстоянии от нее
  2. Когда вы не оцениваете производную решения в месте сингулярности
  3. Когда вы оцениваете интеграл некоторой величины, включая производную решения по области или границе рядом с сингуляностью

В этих перечисленных случаях вы будете наблюдать сходимость вашего решения с увеличением густоты сетки. Это говорит о том, что вы всё еще должны быть осторожны когда вы наблюдаете такое поведение где-либо в модели, при котором нет сходимости. Следует убедиться, что она не искажает вашу интерпретацию результатов.

Итак, существуют случаи, когда мы нуждаемся в точном расчёте полей в точках сингулярностей. Но наша модель может оказаться настолько большой, что мы не захотим скруглять все её рёбра. В таких случаях мы сможем использовать стратегию под названием подмоделирование или моделирование с разрывами. Этот метод использует относительно грубую сетку, чтобы найти поле решений в большей модели. Последняя может быть с сингулярностями. Далее происходит перенос полученных данных на подмодель с более подробной сеткой и круглыми углами. Этот метод представлен в примере подмодели в колёсном диске.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги