Подгонка параметров различных моделей гиперупругих материалов для соответствия экспериментальным данным

24/06/2015

Ранее в блоге мы обсудили необходимость получения специальным образом измеренных данных, чтобы подогнать параметры соответствующей модели среды. Мы рассмотрели также типичные экспериментальные методы и условия их проведения, которые необходимо учитывать при выборе модели среды, и привели пример использования результатов измерения непосредственно в модели нелинейной упругой среды. Сегодня мы сконцентрируемся на том, как подобрать параметры в различных моделях гиперупругих материалов таким образом, чтобы наилучшим образом описать полученные экспериментальные данные.

Метод подгонки в среде COMSOL Multiphysics

Следующим вопросом, после получения результатов измерения является: каким образом из них можно получить параметры, требуемые (необходимые) для описания модели гиперупругой среды? Один из возможных способов, используемых в среде COMSOL Multiphysics — это подгонка параметризованной аналитической функции к экспериментально измеренным результатам с помощью Модуля Оптимизации.

В следующем разделе, мы определим аналитические выражения, связывающие тензоры напряжений и деформации, для двух обычно проводимых тестов — одноосного и равномерного двуосного — растяжения вдоль одной оси и равномерного растяжения по двум осям одновременно. Затем мы используем эти аналитические выражения для подгонки к результатам измерений с целью получения параметров среды.

Изотропная, почти несжимаемая гиперупругая среда (гиперупругость)

Точное описание объемной деформации гиперупругих материалов для оценки материальных параметров среды является очень громоздкой процедурой. Зачастую вместо этого, предполагается полная несжимаемость среды и выполняется оценка нужных параметров с помощью подгонки. После этой оценки подбирается правдоподобное значение модуля объемного сжатия почти несжимаемого гиперупругого материала, так как это значение не вычисляется.

В этой статье, измеренные данные будут использоваться для подгонки параметров нескольких моделей полностью несжимаемых гиперупругих материалов. Начнем с обзора некоторых базовых концепций, лежащих в основе понятия почти несжимаемой среды, а затем охарактеризуем процесс измерения напряжений для случая полной несжимаемости.

Для почти несжимаемой гиперупругой среды, полная плотность энергии деформации представляется в виде

W_s = W_{iso}+W_{vol}

где W_{iso} и W_{vol} — изохорная и объемная плотности энергии деформации, соответственно. Второй тензор напряжений Пиола-Кирхгофа определяется выражением

S = -p_pJC^{-1}+2\frac{\partial W_{iso}}{\partial C}

где p_{p} — объемное напряжение, J — относительное изменение объема, и C — правый тензор Коши-Грина.

Разложим второй член этого уравнения, так что второй тензор напряжения Пиола-Кирхгофа будет равен

S = -p_pJC^{-1}+2\left(J^{-2/3}\left(\frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I_{1}}}+\bar{I_{1}} \frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I_{2}}} \right)I-J^{-4/3} \frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{2}} C -\left(\frac{\bar{I_{1}}}{3}\frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{1}} + \frac{2 \bar{I}_{2}}{3}\frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{2}}\right)C^{-1}\right)

где \bar{I}_{1} и \bar{I}_{2} — инварианты изохорного правого тензора Коши-Грина \bar{C} = J^{-2/3}C

Первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа, P, и тензор напряжений Коши, \sigma, могут быть выражены через второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа посредством операций

\begin{align}P& = FS\\
\sigma& = J^{-1}FSF^{T}
\end{align}

Здесь F — градиент деформации.

Замечание: Более подробное описание измерений различных напряжений можно найти в предыдущей статье нашего блога “Why All These Stresses and Strains?

Плотность энергии деформации и напряжения часто выражаются в зависимости от степени растяжения \lambda. Степень растяжения является мерой деформации. При растяжении вдоль одной оси (одноосный эксперимент) степень растяжения (в дальнейшем просто растяжение) определяется как \lambda = L/L_0, где L — длина образца в деформированном состоянии и L_0 — его первоначальная длина. В многоосном напряженном состоянии можно вычислить главные значения растяжений \lambda_a\;(a = 1,2,3) вдоль главных направлений \hat{\mathbf{N}_a}, которые совпадают с направлениями главных напряжений. Компоненты тензора напряжений могут быть записаны в спектральной форме как

S =\sideset{}{^3_{a=1}}
\sum S_{a} \hat{\mathbf{N}_{a}} \otimes \hat{\mathbf{N}_{a}}

где S_{a} представляет главные значения второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа и \hat{\mathbf{N}_{a}} представляет главные выделенные направления. Мы можем также представить правый тензор Коши-Грина в его спектральной форме как

C = \sideset{}{^3_{a=1}}
\sum\lambda_a^2 \hat{\mathbf{N}_a}\otimes\hat{\mathbf{N}_a}

где \lambda_a обозначает главные значения растяжений. Это позволяет выразить главные значения второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа через главные значения растяжений (в виде функции от главных значений растяжений)

S_a = \frac{-p_p J}{\lambda_a^2}+2\left(J^{-2/3}\left(\frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I_{1}}}+\bar{I_{1}} \frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I_{2}}} \right) -J^{-4/3} \frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{2}} \lambda_a^2 -\frac{1}{\lambda_a^2}\left(\frac{\bar{I_{1}}}{3}\frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{1}} + \frac{2 \bar{I}_{2}}{3}\frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{2}}\right)\right)

Рассмотрим теперь эксперименты одно- и двухосного растяжения/сжатия, описанные в первой статье нашего блога из серии «Конструкционные Материалы». Для обоих этих материальных тестов можно получить общее соотношение между напряжением и растяжением.

В предположении несжимаемости (J=1) главные растяжения для одноосной деформации изотропного гиперупругого материала определяются значениями

\lambda_1 = \lambda, \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda^{-1/2}

Градиент деформации запишется в виде

\begin{array}{c} F = \\ \end{array} \left(\begin{array}{ccc} \lambda &0 &0 \\ 0 &\frac{1}{\sqrt{\lambda}} &0 \\ 0 &0 &\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\end{array}\right)

Для одноосного растяжения S_2 = S_3 = 0 объемное напряжение p_{p} можно исключить, тогда

(1)

S_{1} = 2\left(\frac{1}{\lambda} -\frac{1}{\lambda^4}\right) \left(\lambda \frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{1_{uni}}}+\frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{2_{uni}}}\right) ,\; P_1 = \lambda S_1\; \sigma_1 = \lambda^2 S_1,\;\;\;\;

Изохорные инварианты \bar{I}_{1_{uni}} и \bar{I}_{2_{uni}} могут быть выражены через главное растяжение \lambda как

\begin{align*}
\bar{I}_{1_{uni}} = \left(\lambda^2+\frac{2}{\lambda}\right) \\
\bar{I}_{2_{uni}} = \left(2\lambda + \frac{1}{\lambda^2}\right)
\end{align*}

В предположении несжимаемости главные значения растяжений для равномерной двухосной деформации изотропного гиперупругого материала определяются соотношениями

\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda, \; \lambda_3 = \lambda^{-2}

Для равномерного двухосного растяжения S_3 = 0 объемное напряжение p_{p} можно исключить, тогда

(2)

S_1 = S_2 = 2\left(1-\frac{1}{\lambda^6}\right)\left(\frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{1_{bi}}}+\lambda^2\frac{\partial W_{iso}}{\partial \bar{I}_{2_{bi}}}\right),\; P_1 = \lambda S_1,\; \sigma_1 = \lambda^2 S_1\;\;\;\;

Инварианты \bar{I}_{1_{bi}} и \bar{I}_{2_{bi}} тогда даются выражениями

\begin{align*}
\bar{I}_{1_{bi}} = \left( 2\lambda^2 + \frac{1}{\lambda^4}\right) \\
\bar{I}_{2_{bi}} = \left(\lambda^4 + \frac{2}{\lambda^2}\right)
\end{align*}

Зависимость напряжения от главных значений растяжения в моделях несжимаемых гиперупругих материалов

Рассмотрим соотношения между напряжением и растяжением для нескольких наиболее распространенных моделей гиперупругих материалов. Для подгонки параметров моделей будет применяться первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа.

Модель Нео-Хукена (Neo-Hookean)

Полная плотность энергии деформации в модели среды Нео-Хукена дается выражением

W_s = \frac{1}{2}\mu\left(\bar{I}_1-3\right)+\frac{1}{2}\kappa\left(J_{el}-1\right)^2

где J_{el} — относительное изменение упругого объема, \mu — материальный параметр, который нужно вычислить с помощью численной подгонки. При условии полной несжимаемости, используя уравнения (1) и (2), выражения первого напряжения Пиолы-Кирхгофа для случаев одноосной и равномерной двухосной деформации преобразуются к виду

\begin{align*}

P_{1_{uniaxial}} &= \mu\left(\lambda-\lambda^{-2}\right)\\
P_{1_{biaxial}} &= \mu\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)
\end{align*}

Зависимость напряжения от растяжения для некоторых других моделей гиперупругих материалов приводятся ниже. Они легко могут быть получены с помощью уравнений (1) и (2), которые связывают напряжение и плотность энергии деформации.

Модель Муни-Ривлина (Mooney-Rivlin) с двумя параметрами

\begin{align*}
P_{1_{uniaxial}} &= 2\left(1-\lambda^{-3}\right)\left(\lambda C_{10}+C_{01}\right)\\
P_{1_{biaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)\left(C_{10}+\lambda^2 C_{01}\right)
\end{align*}

Здесь C_{10} и C_{01} — материальные параметры Муни-Ривлина.

Модель Муни-Ривлина, пять параметров

\begin{align}\begin{split}
P_{1_{uniaxial}}& = 2\left(1-\lambda^{-3}\right)\left(\lambda C_{10} + 2C_{20}\lambda\left(I_{1_{uni}}-3\right)+C_{11}\lambda\left(I_{2_{uni}}-3\right)\\
& \quad +C_{01}+2C_{02}\left(I_{2_{uni}}-3\right)+C_{11}\left(I_{1_{uni}}-3\right))\right)\\
P_{1_{biaxial}}& = 2\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)\left(C_{10}+2C_{20}\left(I_{1_{bi}}-3\right)+C_{11}\left(I_{2_{bi}}-3\right)\\
& \quad +\lambda^2C_{01}+2\lambda^2C_{02}\left(I_{2_{bi}}-3\right)+\lambda^2 C_{11}\left(I_{1_{bi}}-3\right))\right)
\end{split}
\end{align}

Здесь C_{10}, C_{01}, C_{20}, C_{02}, и C_{11} — материальные параметры Муни-Ривлина.

Модель Арруда-Бойса (Arruda-Boyce)

\begin{align}
P_{1_{uniaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-2}\right)\mu_0\sum_{p=1}^{5}\frac{p c_p}{N^{p-1}}I_{1_{uni}}^{p-1}\\
P_{1_{biaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)\mu_0\sum_{p=1}^{5}\frac{p c_p}{N^{p-1}}I_{1_{bi}}^{p-1}
\end{align}

Здесь \mu_0 и N — материальные параметры Арруда-Бойса, и c_p — пять первых членов разложения в ряд Тейлора обратной функции Ланжевена.

Модель Йо (Yeoh)

\begin{align}
P_{1_{uniaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-2}\right)\sum_{p=1}^{3}p c_p \left(I_{1_{uni}}-3\right)^{p-1}\\
P_{1_{biaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)\sum_{p=1}^{3}p c_p \left(I_{1_{bi}}-3\right)^{p-1}
\end{align}

Здесь значения c_p — материальные параметры Yeoh.

Модель Огдена (Ogden)

\begin{align}
P_{1_{uniaxial}} &= \sum_{p=1}^{N}\mu_p \left(\lambda^{\alpha_p-1} -\lambda^{-\frac{\alpha_p}{2}-1}\right)\\
P_{1_{biaxial}} &= \sum_{p=1}^{N}\mu_p \left(\lambda^{\alpha_p-1} -\lambda^{-2\alpha_p-1}\right)
\end{align}

Здесь \mu_p и \alpha_p — материальные параметры Огдена.

Численная подгонка в программной среде COMSOL Multiphysics с помощью интерфейса Оптимизации

Используя интерфейс Оптимизации в среде COMSOL Multiphysics, мы будем подгонять теоретическую кривую, рассчитываемую с помощью аналитических выражений, детально описанных выше, к экспериментально измеренной зависимости напряжения от растяжения. Отметим, что используемые здесь экспериментальные данные — это номинальное напряжение, которое определяется как сила в текущей конфигурации, действующая на первоначальную (недеформированную) площадь образца. Очень важно, чтобы численные и измеренные данные, используемые в подгонке, соответствовали друг другу. Следовательно, для подгонки к измеренным данным будут применяться аналитические выражения для первого тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа. График ниже показывает измеренные значения номинального напряжения (необработанные данные) при одноосном и равномерном двухосном растяжении вулканизированной резины.

Здесь мы видим график напряжения при одноосном и равномерном двухосном растяжении.
Измеренная зависимость напряжение-деформация, из статьи Treloar.

Начнем с настройки модели Нео-Хукена для подгонки результатов одноосного эксперимента. Первым шагом является добавление интерфейса Оптимизация к 0D модели. Здесь 0D подразумевает, что наш анализ не привязан к конкретной геометрии.

Затем можно определить материальные параметры, которые необходимо вычислить, и переменные для аналитической зависимости напряжения от растяжения. На картинке ниже показан выбор параметров и переменной, определяемых для случая одноосного растяжения в материальной модели Нео-Хукена.

Рисунок демонстрирующий, как получить доступ к параметрам и переменным в Построителе моделей.

Внутри интерфейса Оптимизация, имеется раздел Глобальный объект метода наименьших квадратов (Global Least-Squares Objective), в котором можно указать входной файл с измеренной в одноосном эксперименте зависимостью напряжение—деформация. Далее имеются пункты Столбец параметров (Parameter Column) и Столбец значений (Value Column). Здесь в качестве измеряемого параметра задается лямбда (растяжение) и указывается аналитическое выражение зависимости напряжение—деформация для одноосного растяжения, которое будет использоваться для подгонки к измеренным данным. Можно также указать весовой множитель в пункте Столбец весовых коэффициентов (Column contribution weight). Более подробная информация о параметрах раздела Глобальный объект метода наименьших квадратов (Global Least-Squares Objective) доступна в учебном приложении Численная подгонка модели Муни-Ривлина (Mooney-Rivlin Curve Fit tutorial), расположенном в нашей Галерее приложений.

На этом скриншоте показан раздел Глобальный объект метода наименьших квадратов (Global Least-Squares Objective) Построителя моделей среды COMSOL Multiphysics.

Теперь мы готовы к тому, чтобы решить вышеуказанную задачу, а именно, оценить материальные параметры с помощью подгонки результатов эксперимента по одноосному растяжению в рамках модели Нео-Хукена. Однако вряд ли это будет хорошей идеей. В первой части блог-серии объясняется, что этот, казалось бы, простой тест имеет слишком много неучтенных факторов параметров. Ниже мы продемонстрируем последствия калибровки материала, основанные только на одном наборе входных данных.

В зависимости от условий эксперимента лучшую оценку материальных параметров можно получить, используя комбинации различных измерительных методов: одноосное растяжение/сжатие, двухосное растяжение, кручение и т.д. Собранные таким образом данные можно использовать для подгонки, представив напряжение в аналитическом виде в каждом из рассматриваемых случаев.

В этой статье совместно используются результаты экспериментов по одноосному и равномерному двухосному растяжению исследуемого образца. Точно так же, как мы настраивали модель оптимизации для одноосного теста, определим другую процедуру глобальной минимизации для равномерного двухосного теста, а также сопутствующие ей параметры и значения. Во второй процедуре глобальной минимизации укажем в качестве входных данных файл с результатами измерений напряжение-деформация двухосного эксперимента. В столбце значений выберем аналитическое выражение для напряжения в двухосном эксперименте, которое будет использоваться для подгонки по измеренным данным.

Настройки для шага Оптимизации приведены на изображении ниже. Разделы в древовидном каталоге переименованы вручную, чтобы отразить используемую модель (Нео-Хукен) и два набора экспериментальных данных (одноосный и равномерный двухосный тесты). Алгоритмом оптимизации является метод Левенберга-Марквардта (Levenberg-Marquardt), который используется для решения задач методом наименьших квадратов. Теперь модель настроена таким образом, чтобы оптимизировать поиск глобального минимума по двум наборам данных — одноосного и двухосного экспериментов.

Скриншот настроек Оптимизационного решателя (Optimization Solver) в среде COMSOL Multiphysics.

График ниже представляет результат сравнения смоделированных и измеренных данных. Равные весовые множители присваивались обоим наборам экспериментальных данных (одноосному и двухосному) для подгонки методом наименьших квадратов. Очевидно, что модель Нео-Хукена со всего лишь одним регулируемым параметром не может обеспечить должного соответствия экспериментальным данным, которые являются нелинейными и имеют одну точку перегиба.

График, рассчитанный по модели Нео-Хукена, использующей одинаковые весовые множители.
Подгонка материальных параметров в модели Нео-Хукена. Равные весовые множители присваивались обоим наборам экспериментальных данных.

Подгонка кривых с неравными весовыми множителями для двух тестовых наборов данных приведет к незначительному изменению подгоняемых кривых. Подобно модели Нео-Хукена настроим процедуру оптимизации по методу наименьших квадратов, соответствующую моделям гиперупругих материалов Муни-Ривлина, Арруда-Бойса, Йо и Огдена. В вычислениях, представленных ниже, мы включим в рассмотрение оба случая равных и неравных весовых множителей.

В случае неодинаковых весов, больший, но произвольным образом выбранный множитель будет использоваться для полного набора данных двухосного эксперимента. Принципиально можно присвоить неравные веса только для некоторого диапазона значений относительных растяжений вместо полного набора данных. В этом частном случае нужно разделить входные данные на части, используя отдельные разделы Глобальный объект метода наименьших квадратов (Global Least-Squares Objective) для каждого диапазона значений растяжения. Это позволит корректировать весовые множители в различных диапазонах значений растяжения.

Нижеследующие графики представляют кривые подгонки для различных материальных моделей с равными и неравными весовыми множителями и соответствуют двум тестовым экспериментам.

Эти графики представляют кривые подгонки, полученные в рамках модели Муни-Ривлина с двумя параметрами для равных и неравных весовых множителей.

Здесь мы видим два графика, рассчитанных в модели Муни-Ривлина с пятью параметрами.

На этих рисунках представлены кривые подгонки, полученные в рамках модели Арруда-Бойса.


Слева: Кривые подгонки, полученные в рамках моделей Муни-Ривлина, Арруда-Бойса и Йо. В этом случае, одинаковые весовые множители присваивались обоим наборам экспериментальных данных. Справа: Кривые подгонки, полученные в рамках моделей Муни-Ривлина, Арруда-Бойса и Йо. Здесь, более высокий вес присваивался данным двухосного эксперимента.

Модель Огдена с тремя слагаемыми очень хорошо описывает оба набора экспериментальных данных в случае, когда им присвоены равные весовые множители.

Графическая зависимость номинального напряжения от относительного растяжения в модели Огдена.
Кривые подгонки, полученные в рамках модели Огдена с тремя слагаемыми.

В случае, когда подгонка осуществляется только с одноосным набором данных, а затем вычисленные значения параметров используются в расчете графической зависимости для двухосного эксперимента, мы получим результаты, графически представленные ниже. Эти графики демонстрируют полное несоответствие расчетных и измеренных зависимостей для равномерного двухосного растяжения образца. При оценке материальных параметров лучше всего выполнять подгонку с комбинированным набором данных, полученных в различных режимах деформации, и избегать использования данных только одной деформационной моды.

Эти рисунки представляют графики, полученные в рамках моделей Нео-Хукена и Муни-Ривлина с двумя параметрами.

На этих графиках представлено сравнение расчетных и измеренных зависимостей для равномерного двухосного растяжения образца в моделях Муни-Ривлина с пятью параметрами и Арруда-Бойса.

Графические зависимости одноосного и двухосного напряжения, полученные в рамках моделей Йо и Огдена.
Одноосное и двухосное напряжения, вычисленные подгонкой модельных параметров с использованием данных только одноосного эксперимента.

Заключительные замечания

Определение материальных параметров для моделей гиперупругих сред с помощью подгонки аналитических кривых может показаться надежным методом. Однако необходимо также учитывать устоячивость данной модели гиперупругого материала. Критерий для определения устойчивости известен как устойчивость по Друкеру (Drucker stability). Согласно критерию Друкера, приращение работы, вызванное соответствующим приращением напряжения, всегда должно быть больше нуля. Если критерий нарушается, модель материала будет неустойчивой.

В этой блог-статье мы продемонстрировали, как можно использовать интерфейс Оптимизации (Optimization) в среде COMSOL Multiphysics для подгонки аналитических кривых ко множественному набору экспериментальных данных. Альтернативный способ подгонки, который не требует интерфейса Оптимизации также являлся темой обсуждения в более ранней блог-статье. Аналогично тому, как мы использовали здесь данные одноосного и двухосного растяжения образца для оценки материальных параметров, можно выполнять подгонку экспериментальных данных, полученных с помощью сдвиговых и объемных тестов, для характеристики других состояний деформации.

Для более подробных пошаговых инструкций о том, как использовать интерфейс Оптимизации для подгонки кривых, ознакомьтесь с учебным приложением Численная подгонка модели Муни-Ривлина (Mooney-Rivlin Curve Fit tutorial) в нашей Галерее приложений.


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ