Визуализация потоков шлирен-методом в COMSOL Multiphysics®

17/02/2022

Одной из проблем численного моделирования жидкостей является сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными. Хотя на основе результатов моделирования очень просто построить красивые трёхмерные визуализации, сравнение их с экспериментальными данными, зачастую, является более сложной задачей. Одним из экспериментальных способов визуализации является шлирен-метод, который позволяет создавать двумерные изображения трехмерных полей течения. Оказывается, визуализации такого типа очень просто строить и в COMSOL Multiphysics®. В этой статье мы расскажем, как это сделать.

Основы шлирен-метода

История шлирен-метода уходит в глубь веков; возможно, она даже старше письменных исторических источников. Древние путешественники, пересекавшие пустыни и моря, встречали на своём пути миражи, такие как фата-моргана или перевёрнутые корабли (эти оптические иллюзии, вероятно, и дали жизнь легендам о Летучем Голландце). Эти явления связаны с тем, что лучи света преломляются при прохождении через слои воздуха разной плотности. Причины этих явлений в той или иной степени стали понятны более тысячи лет назад, но экспериментальное применение этим эффектам нашли около 500 лет назад.

Существует множество вариантов шлирен-метода, однако его основной принцип довольно прост. Любое изменение температуры или давления в жидкости (или в твёрдом теле) приводит к локальному изменению плотности среды, а плотность в свою очередь влияет на коэффициент преломления. Для атмосферного воздуха существует формула Гладстона–Дэйла, согласно которой коэффициент преломления n связан с плотностью среды \rho :

n-1 = G\rho

Для видимой части спектра G приблизительно 0.23 см3/г.

Следует отметить, что указанная выше формула является простейшей стартовой точкой. Существуют и другие, более полные соотношения, а для газовых смесей и реагирующих потоков расчётные формулы становятся ещё более сложными. Целью экспериментального метода является построение оптического изображения вариации плотности внутри потока.

A Schlieren imaging setup graphic showing the light source and focus point, and red lines and arrows to show the flow.
Схема получения изображения шлирен-методом.

На рисунке выше показана типовая схема экспериментальной установки. Два прозрачных окна в стенках аэротрубы ограничивают область течения. Для начала предположим, что поток однороден. С одной стороны расположен источник света и некоторая оптическая система (линзы и зеркала), которая создаёт равномерное освещение. В рамках геометрической оптики свет рассматривается как пучок параллельных лучей, которые проходят через поток, а затем через вторую оптическую систему, фокусирующую свет в плоское изображение.

Illustration of gray bars at different angles with red lines throughout, and the knife edge near the center, which blocks half of the light.
Невозмущенные лучи в точке фокуса. Острая кромка частично блокирует поток света без дифракции.

Однако, важно понимать, что так называемая точка фокуса — это на самом деле не одна точка. Свет нельзя сфокусировать в точку; у сфокусированного луча всегда будет какой-то конечный диаметр. Чтобы понять этот эффект, нужно разобраться в волновой оптике.

Тем не менее, для решения нашей задачи вполне достаточно геометрической оптики, нужно только понять один ключевой момент: препятствие, помещенное в точку фокуса, перекрывает часть светового потока. Если мы поместим лезвие ножа (в экспериментах чаще лезвие бритвы) в этой точке, то сможем заблокировать половину полного светового потока, но при этом сможем получить полное изображение, хоть и в два раза меньшей яркости. Один из вариантов интерпретации этого эффекта, который вполне отвечает целям нашего анализа, состоит в том, что каждый луч имеет конечную толщину, как показано на рисунке выше.

A pale yellow oval with blue and black columns on either side of it, and annotations and red lines showing the direction of the rays.
Незначительное изменение коэффициента преломления немного изменит направление лучей, но их положение в выходной плоскости не изменится.

Теперь давайте посмотрим, что произойдёт при изменении плотности среды в потоке. Мы уже знаем, что коэффициент преломления является функцией плотности, поэтому введём в нашу схему незначительное изменение коэффициента преломления и посмотрим на результат. На рисунке выше показана принципиальная схема. Обратим внимание на следующие моменты:

  1. Изменение коэффициента преломления в плоскости xy приведёт к небольшому отклонению направления лучей, поскольку он распространяется вдоль оси z
  2. Лучи света претерпевают пренебрежимо малое смещение в плоскости xy при прохождении через экспериментальную область

Иными словами, любой луч, который входит в домен в точке с координатами (x,y), пройдёт через домен и выйдет с другой стороны в той же точке в плоскости xy, но под другим углом. Давайте подумаем, как это изменит картину в точке фокуса. Как мы видим на рисунке ниже, изменение коэффициента преломления вносит некоторое возмущение в траекторию движения лучей, а значит лезвие ножа перекроет чуть больше (или чуть меньше) света. Это проявляется в виде светлых и тёмных областей в плоскости изображения и, собственно, формирует основный принцип работы метода.

An illustration of perturbed rays with crossing gray bars and red lines at different angles, and the knife edge.
Искривлённые лучи в точке фокуса. Острие ножа в разной степени перекрывает лучи, падающие под разными углами.

Острие ножа можно повернуть так, чтобы оно было параллельно осям x или y, или его вообще можно заменить на булавочное отверстие. Каждый из этих вариантов даст новую картину распределения светлых и тёмных областей изображения. Эти светлые и темные полосы на шлирен-изображении непосредственно связаны со следующими интегралами по области течения:

Тип препятствия Уравнение
Острие параллельно оси x \int \frac{\partial n}{\partial y} \partial z
Острие параллельно оси y \int \frac{\partial n}{\partial x} \partial z
Булавочное отверстие \int \sqrt{\frac{\partial n}{\partial x}^2 +\frac{\partial n}{\partial y}^2} \partial z

Эти интегралы очень просто рассчитать с помощью COMSOL Multiphysics.

Реализация в среде COMSOL®

Прежде чем мы приступим к созданию изображений, обсудим ещё один аспект решения задач вычислительной гидродинамики: сжимаемость подвижной среды. Если вкратце, то для целей численного моделирования часто плотность жидкости принимается постоянной величиной. Это допущение абсолютно разумно для расчёта поля течения. Изменение плотности в пределах 1% скорее всего почти не повлияет на распределения скорости и давления, однако вполне заметно может изменить коэффициент преломления. Поэтому, если вы моделируете течение в рамках модели несжимаемой среды, используя, например, приближение Буссинеска, обязательно оцените пространственное распределение плотности на основе рассчитанных полей давления и температуры. Для атмосферного воздуха можно использовать уравнение состояния идеального газа, но не забудьте, что подставлять в уравнение нужно абсолютное давление, а не избыточное.

Как только вы получите выражение для вариации плотности в расчётной области, воспользуйтесь им, чтобы найти распределение коэффициента преломления, а также градиент этого коэффициента в одном или двух направлениях. Это можно сделать с помощью встроенного оператора дифференцирования. Например, если значение плотности хранится в переменной rho, рассчитать её производную по x можно с помощью оператора d(rho,x). Нам остаётся только взять интеграл от этого выражения вдоль направления поперёк потока и построить график в плоскости, параллельной направлению течения. Для этого мы воспользуемся оператором General Projection . Также мы можем даже построить проекцию на грань, лежащую за пределами области течения, что может оказаться непростой задачей, если мы хотим воспользоваться этим оператором на более мелкой сетке, чем та, которая построена на границе области течения.

Ещё нам нужно рассмотреть, что произойдёт при наличии непрозрачного препятствия, расположенного в потоке. В таких случаях нам не придётся вычислять описанные выше интегралы во всей области. С помощью инструмента Workplane Projection, доступного при наличии любого из модулей CAD-импорт, CAD-импорт и CAD-операции или LiveLink™ для CAD шестой версии COMSOL Multiphysics, можно спроецировать контур любого препятствия на оптическую выходную границу и рассчитать интегральные выражения только по незатенённым поверхностям.

A 3D model of the outline of a box with a blue paper airplane inside, and lines to show the flow around it.
Инструмент Workplane Projection позволяет спроецировать контур геометрического объекта на плоскость.

Имея все эти инструменты в нашем арсенале, мы сможем построить изображения, которые будут коррелировать с экспериментальными результатами, полученными шлирен-методом. На рисунке ниже представлена визуализация высокоскоростного потока вокруг объекта, подобного тому, который представлен в учебной модели Euler Bump. Описанная методика также может использоваться для визуализации результатов акустических моделей.

A 3D model depicting a blue paper airplane in a wind tunnel.
Изображения, построенные с помощью оператора General Projection, которые коррелируют с результатами, полученными шлирен-методом в сверхзвуковой аэродинамической трубе.

Дальнейшие шаги

Хотите узнать больше о возможностях решения задач вычислительной гидродинамики? Свяжитесь с нами!


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ