Распространённые ошибки при термоэлектрических расчётах

17/04/2018

При моделировании различных электротехнических приборов важную роль играет правильный расчёт электромагнитного нагрева материалов, электропроводность и теплопроводность которых нелинейно зависят от температуры. При моделировании таких нелинейностей даже у опытных инженеров могут возникать некоторые трудности и неожиданные результаты расчетов при комплексных сочетаниях нелинейных свойств материалов, граничных условий и геометрии. Давайте на простом примере разберём, почему это происходит.

Закон Ома и резистивный нагрев

Одним из первых физических законов, с которым сталкиваемся и который используем мы как инженеры, является закон Ома: Ток, протекающий через устройство равен приложенному напряжению (разности потенциалов), делённому на электрическое сопротивление или I = V/Re, где Re — электрическое сопротивление, которое является функцией от геометрии и электропроводности материала.

Далее мы узнаём о рассеиваемой мощности, которая равна произведению приложенного напряжения и тока, или Q = IV, что можно также записать, как Q = I2Re или Q = V2/Re. Немного позже мы сталкиваемся с такими свойствами, как теплопроводность и эквивалентное термическое сопротивление устройства, Rt, которые позволяют нам рассчитать повышение температуры устройства (относительно условий окружающей среды) по формуле ΔT = QRt.

Теперь мы можем определить абсолютное значение температуры устройства по формуле T = T_ {ambient} + QR_t. С этого момента мы и начнём наше обсуждение. Рассмотрим полностью дискретную модель. Да, пример в данной статье настолько прост, что нам даже не придётся использовать программное обеспечение COMSOL Multiphysics® для этой части. Итак, у нас есть модель с сосредоточенными параметрами, электрическое сопротивление которого равно Re = 1 Ω, а тепловое сопротивление — Rt = 1 K/W. Мы можем управлять этим устройством либо постоянным напряжением и рассчитывать температуру по формуле T = T_{ambient} + (V^2 / R_e) R_t, либо постоянным током и рассчитывать максимальную температуру, как T = T_ {ambient} + I^2 R_e R_t.

Температуру окружающей среды примем равной 300 K или 27°C, что является примерной комнатной температурой. Теперь давайте рассчитаем температуру нашего устройства, как функцию от напряжения (от 0 до 10 В) и тока (от 0 до 10 А), как показано на рисунке ниже. Неудивительно, что мы видим квадратичную зависимость.

На графиках показана зависимость температуры от приложенного напряжения и протекающего тока.
Зависимость температуры устройства от приложенного напряжения (слева) и протекающего тока (справа) при постоянных свойствах материала.

Можно предположить, что возможно использовать кривую для расчёта более широкого диапазона рабочих параметров. Поставим задачу нагреть устройство до критической температуры, при которой материал начнёт плавиться и испаряться. Предположим, что он начнёт испаряться при температуре 700 K (427°C). Основываясь на графиках выше и проведя простые математические вычисления можно рассчитать, что максимальное напряжение будет равно 20 В, а ток — 20 А, однако это совершенно неправильно!

Учет нелинейных свойств материала для сосредоточенной модели

На данном этапе вы можете заметить, что допущена ошибка: Электрическое сопротивление непостоянно и зависит от температуры. Для большинства металлов электрическая проводимость уменьшается с увеличением температуры а, следовательно, сопротивление увеличивается. Итак, давайте рассмотрим зависимость сопротивления от температуры:

R_e = \rho_0(1+\alpha_e(T-T^e_0))

Эта формула также известна, как linearized resistivity model (линеаризованная модель резистивности), где ρ0 — референсное сопротивление при расчётной температуре T^e_0, αe — температурный коэффициент электрического сопротивления.

Примемρ0 = 1 Ω, T^e_0 = 300 K, и αe = 1/200 K. Теперь при 300 К сопротивление устройства равно 1 Ω, при 500 K — 2 Ω и так далее. Уравнения для сосредоточенного параметра температуры, как функции от напряжения и тока:

T = T_{ambient} + (V^2 /\rho_0(1+\alpha_e(T-T^e_0))) R_t

и

T = T_ {ambient} + I^2 \rho_0(1+\alpha_e(T-T^e_0)) R_t

Эти уравнения уже немного сложнее (первое — квадратичное уравнение относительно T), но их ещё можно решить вручную. Графики зависимости температуры от приложенного напряжения и тока показаны ниже.

На графиках показана зависимость температуры и сопротивления для термоэлектрического расчёта.
Зависимости температуры устройства от приложенного напряжения (слева) и протекающего тока (справа) для случая зависимости электрического сопротивления от температуры.

Для варианта с напряжением мы видим, что при увеличении температуры, сопротивление также возрастает. Так как в этом случае сопротивление в уравнении для температуры находится в знаменателе, с его увеличением прирост температуры будет уменьшаться: мы видим, что график температуры лежит ниже, чем для случая с постоянным удельным сопротивлением. Если рассматривать вариант с постоянным током, то зависящее от температуры сопротивление будет в числителе.

По мере увеличения тока резистивный нагрев будет, наоборот, больше, чем в первом случае. На данном этапе мы опять-таки можем вычислить максимальное рабочее напряжение и ток, однако, вы, вероятно, уже видите вторую ошибку, которую мы допустили: необходимо также учитывать температурную зависимость теплового сопротивления. Для металлов выражение для теплопроводности будет аналогичным. Запишем нелинейное выражение, которое похоже на то, что мы уже использовали ранее:

R_t = r_0(1+\alpha_t(T-T^t_0))

Теперь наше полное уравнение для расчёта температуры примет следующий вид:

T = T_{ambient} + V^2 r_0(1+\alpha_t(T-T^t_0))/\rho_0(1+\alpha_e(T-T^e_0))

и

T = T_ {ambient} + I^2 \rho_0(1+\alpha_e(T-T^e_0))/r_0(1+\alpha_t(T-T^t_0))

Хотя эти уравнения несильно отличается от предыдущих, их уже решить довольно сложно. Использование программного обеспечения в данном случае выглядит намного более привлекательным и удобным! После решения этих уравнений (при r0 = 1 K/W, αt = 1/400 K и T^t_0 = 300 K), можно построить зависимости температуры устройства, как показано ниже.

На двух графиках показаны зависимости температуры устройства от приложенного напряжения  и протекающего тока для случая зависимости электрического сопротивления от температуры.
Зависимости температуры устройства от приложенного напряжения (слева) и протекающего тока (справа) для случая зависимости электрического и термического сопротивлений от температуры.

Заметим, что для варианта с током температура возрастает асимптотически. Поскольку электрическое и тепловое сопротивление увеличиваются с повышением температуры, температура устройства возрастает очень резко по мере увеличения тока. При повышении температуры до бесконечности, задача становится нерешаемой. На самом деле, это полностью ожидаемо. Так работает предохранитель в вашем автомобиле. Если решать данную задачу в COMSOL Multiphysics, то можно использовать исследование во временной области (введя термальную массу как функцию от от плотности материала и теплоемкости), с помощью которого можно рассчитать время, в течение которого произойдет отказ устройства.

Для варианта с напряжением всё намного проще. Здесь мы также видим вполне предсказуемое поведение системы. С увеличением сопротивления температура растёт быстрее, чем в предыдущем случае. Однако заметьте, что относительно самого первого случая с постоянным сопротивлением, температура всё же ниже. Иногда это может запутать, но просто отметьте для себя, что одна из нелинейностей приводит к уменьшению температуры, а другая — к увеличению. В целом, если составлять более комплексную модель (например, которую можно сделать и рассчитать в COMSOL Multiphysics), то сложно предугадать, какая из нелинейностей будет преобладать.

Какую ещё ошибку можно допустить на этом этапе? В данном случае мы использовали положительный температурный коэффициент теплового сопротивления. Это справедливо для большинства металлов, однако для изоляторов, к примеру для стекла, этот коэффициент будет противоположным. Обычно термическое сопротивление всего устройства в основном зависит как раз от изоляторов, а не от электропроводящих доменов. Кроме того, при расчёте термического сопротивления устройства необходимо учитывать естественное охлаждение. То есть термического сопротивление также будет зависеть от эффектов свободной конвекции (которая возрастает с разницей температур) и излучения (которое пропорционально четвёртой степени разницы температур). Теперь давайте закончим рассмотрение нашей относительно простой задачи и изменим знак температурного коэффициента, αt = 1/400 K, а затем также сравним два варианта — с питающим напряжением (от 0 до 100 В) и протекающим током (от 0 до 100 А).

На графике в COMSOL Multiphysics® показана зависимость температуры при различных условиях.
Зависимости температуры устройства от приложенного напряжения (розовым) и протекающего тока (голубым) при отрицательном температурном коэффициенте термического сопротивления.

Мы видим, что результаты теперь совершенно другие. Обратите внимание, что в обоих случаях при низких значениях сопротивления кривые возрастают квадратично, а при увеличении сопротивления они уже имеют менее резкий характер, так как термическое сопротивление уменьшается. Тангенс угла наклона всегда положителен, но его величина постепенно уменьшается. В случае с током, кривая начинает асимптотически приближаться к значению T = 700 K, а в варианте с напряжением это значение меньше.

Это достаточно важный результат, и он позволяет обратить внимание на ещё одну распространённую ошибку. Нелинейные модели материалов, которые мы здесь используем для электрического и термического сопротивлений, являются приближёнными. Они становятся неэффективными при значениях температур около 700 К. Если мы знаем, что устройство будет работать как раз в этом режиме, то нужно найти более сложную материальную модель. Несмотря на то, что существующие модели позволяли получить какой-то результат, всегда стоит проверять адекватность расчёта на действующей рабочей температуре. Конечно, если наши условия эксплуатации далеки от таких температур, можно воспользоваться линеаризованной моделью резистивности (одной из встроенных материальных моделей в COMSOL Multiphysics). Тогда наша модель будет корректной.

Подводя некоторые итоги, мы видим, что температура имеет очень сложную зависимость от питающего напряжения и тока. При рассмотрении нелинейных материалов температура может быть выше или ниже, чем при постоянных свойствах, угол наклона температурной кривой может быть как довольно резким, так и плавным, в зависимости от условий работы.

Запутали ли вас результаты в последнем варианте ещё больше? Что, если мы вернёмся к выражению для сопротивления и изменим один из коэффициентов? У некоторых материалов отрицательный знак температурных коэффициентов для электрического и термического сопротивлений. Что, если бы мы использовали более комплексные нелинейности? Вы все также будете пытаться предсказать ожидаемую температуру на основании сосредоточенной модели, или вы бы скорее положились на полноценный детальный расчёт?

Выводы о распространённых ошибках при электротермических расчётах

Как насчёт случая реального устройства? В нём будет несколько материалов, различные зависимости электро- и теплопроводностей как функции температуры, а также и сложная геометрия. Какой решатель при моделировании вы бы выбрали: стационарный или временной, чтобы узнать, сколько времени потребуется для повышения температуры? Скорее всего, в модели также будут нелинейные граничные условия такие, как условие излучения и свободная конвекция, которые неправильно будет аппроксимировать только одним приближённым тепловым сопротивлением. Что же в таком случае можно ожидать? Да практически всё! И как же рассчитывать такие сложные задачи? Конечно же с помощью COMSOL Multiphysics!

Следующий шаг

Узнайте, как COMSOL Multiphysics может помочь вам в мультифизическом моделировании при решении поставленных задач. Не стесняйтесь написать нам и задать все интересующие вопросы!


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ