Menu

Оценка неопределённости

Качественные и количественные методы анализа неопределённости

Модуль «Оценка неопределённости» предназначен для анализа факторов неопределённости в задачах моделирования. Инструменты модуля позволяют понять, как вариации входных данных влияют на целевые переменные модели. В модуле реализован универсальный интерфейс для предварительного отбора параметров, анализа чувствительности, распространения неопределённости и анализа надёжности.

С помощью инструментов модуля «Оценка неопределённости» можно проверить обоснованность предположений, на основе которых построена модель, упростить модель, определить главные влияющие факторы, проанализировать распределение вероятности искомых величин и оценить надёжность конструкции. Уверенность в корректности модели и более глубокое понимание степени влияния различных факторов на основные параметры помогают снизить затраты на проектирование, разработку и производство.

Модуль «Оценка неопределённости» можно использовать с любым другим модулем COMSOL для анализа неопределённостей при моделировании электромагнитных, механических, акустических, гидродинамических, тепловых и химических процессов. Инструменты модуля можно комбинировать с модулями «CAD-импорт», «CAD-импорт и CAD-операции» и другими модулями интеграции группы LiveLink™ для CAD.

Связаться с COMSOL
Графическая оболочка среды COMSOL Multiphysics, в которой отображаются некоторые результаты оценки неопределённости, а именно диаграмма индексов Соболя, график оценки плотности ядра и таблица доверительных интервалов.
Увеличенное изображение окна настройки входных параметров и целевых переменных в модели COMSOL Multiphysics.

Входные параметры и целевые переменные

Для количественной оценки неопределённости нужно выбрать ряд целевых переменных, которые являются функциями входных параметров модели COMSOL Multiphysics® и определяются через её решение.

Например, в задачах прочностного анализа целевыми переменными могут быть максимальное перемещение, напряжение или угол отклонения. В задачах теплопередачи или вычислительной гидродинамики в качестве таких величин можно выбрать максимальную температуру, суммарные тепловые потери или полный массовый расход жидкости. При моделировании электромагнитных процессов целевые переменные могут быть представлены сопротивлением, ёмкостью или индуктивностью. Поскольку инструменты модуля «Оценка неопределённости» применимы к любым моделям физических процессов, реализованным в COMSOL Multiphysics®, а также к любым математическим соотношениям, включающим рассчитанные полевые величины, выбор целевых переменных практически ничем не ограничен.

Любую неопределённость в исходных данных, например, в параметрах физической модели, геометрических размерах, свойствах материалов или параметрах дискретизации, можно рассматривать как входной параметр модели, а любую величину, рассчитанную в результате решения задачи, можно использовать для определения целевой переменной.

Предварительный отбор

Предварительный глобальный отбор параметров Screening, MOAT — это реализация упрощённого метода, который позволяет качественно оценить степень влияния каждого входного параметра модели на целевую переменную. В основе данного типа исследования лежит одноступенчатый метод Морриса (MOAT), требующий относительно небольшого количества повторных решений модели COMSOL. Таким образом, этот метод идеально подходит для задач с большим числом входных параметров, когда применение более затратных в вычислительном плане методов оценки неопределённости становится невозможным.

В рамках метода для каждого входного параметра рассчитывается среднее по Моррису и стандартное отклонение. По этим данным строится диаграмма разброса по Моррису. Ранжирование полученных средних значений и стандартных отклонений даёт оценку относительной степени влияния каждого входного параметра модели. Высокое среднее значение означает, что влияние данного параметра на целевую переменную велико. Высокое значение стандартного отклонения означает, что данный параметр влияет на целевую переменную, и что он сильно связан с другими входными параметрами, либо его влияние нелинейно, либо и то, и другое.

Графическая оболочка среды COMSOL Multiphysics, в которой отображается дерево модели и выделенный в нём узел Uncertainty Quantification, а также соответствующее окно настройки и графическое окно, где построена диаграмма разброса по Моррису.
Диаграмма индексов Соболя для целевой переменной, где x1 показан с помощью голубых столбцов, x2 — зелёных, x3 — красных и x4 — зелёно-голубых.

Анализ чувствительности

Анализ чувствительности Sensitivity Analysis позволяет количественно оценить чувствительность целевых переменных к вариациям входных параметров модели. Для проведения данного типа анализа доступно два метода: метод индексов чувствительности Соболя и метод корреляций.

В рамках метода индексов Соболя анализируется полное распределение входных параметров, а вариация каждой целевой переменной представляется в виде суммы вкладов всех входных параметров и их взаимных комбинаций.

Для каждого входного параметра рассчитываются индексы Соболя. Индекс чувствительности первого порядка показывает, как вариация целевой переменной связана с вариацией каждого входного параметра по отдельности. Полный индекс чувствительности характеризует связь вариации целевой переменной с вариацией всех входных параметров и их взаимных комбинаций. Индексы Соболя для каждой целевой переменной и все параметры используются для построения специализированной диаграммы Соболя (график Sobol), упорядоченной по полному индексу чувствительности. Целевая переменная имеет наивысшую чувствительность к входному параметру с максимальным полным индексом Соболя. Разность между полным индексом чувствительности и индексом первого порядка показывает степень влияния взаимосвязи данного входного параметра с другими параметрами модели.

В отличие от метода предварительного отбора анализ чувствительности используется для количественной оценки распределения неопределённости целевых переменных по различным входным параметрам. Этот метод более требователен к вычислительным ресурсам, поскольку для точного расчёта индексов Соболя нужны качественные и высокоточные модели.

Метод корреляций позволяет найти линейную монотонную связь между каждым входным параметром и целевыми переменными. Для выполнения анализа чувствительности этим методом рассчитываются корреляции четырёх типов: двумерные, ранжированные двумерные, частные и ранжированные частные.

Распространение неопределённости

Исследование типа Uncertainty Propagation предназначено для анализа распространения неопределённости входных параметров на каждую целевую переменную с помощью расчёта функции распределения вероятности. В большинстве задач уравнения, описывающие исследуемый процесс и связывающие между собой входные параметры и целевые переменные, невозможно решить аналитически.

По этой причине для приближенного определения функций распределения вероятности применяется метод Монте-Карло. Как и в методе индексов Соболя, расчётная модель необходима, чтобы кардинально снизить вычислительные затраты при реализации метода Монте-Карло. Для каждой целевой переменной выполняется ядерная оценка плотности, которая отображается в виде графика как аппроксимация функции плотности вероятности. Затем на основе результатов такого анализа для каждой целевой переменной строится таблица, содержащая значения среднего; стандартного отклонения; минимума; максимума; а также доверительные интервалы для доверительной вероятности 90, 95 и 99%.

Одномерный график оценки плотности ядра, на котором по оси y построены значения KDE, а по оси х — прогноз.
Одномерный график для двух целевых переменных. Затенённая область соответствует значениям параметров, отвечающим критерию надёжности.

Анализ надёжности

В отличие от других типов оценки общей неопределённости целевых переменных, метод анализа надёжности Reliability analysis, EGRA позволяет ответить на более практический вопрос: какова вероятность отказа системы или конструкции при номинальных условиях и при неопределённости некоторых входных параметров? Под отказом может подразумеваться как полное разрушение, так и изменение критериев, определяющих качество системы.

Традиционный подход оценки надёжности при моделировании заключается в использовании критериев запаса прочности и анализа модели в наихудших условиях эксплуатации. При выборе надлежащего метода анализа можно избежать недооценки или переоценки надёжности за счёт определения фактической вероятности. Для грубой оценки можно использовать таблицу доверительных интервалов, полученную методом распространения неопределённости для каждой целевой переменной. Однако анализ надёжности позволяет определить и более сложные критерии, основанные на комбинации целевых переменных и соответствующих пороговых значений. Метод эффективного глобального анализа надёжности (EGRA) позволяет оптимально использовать вычислительные ресурсы для анализа критических состояний, разделяющих аварийные и штатные режимы работы.

Суррогатные модели и поверхности отклика

В основе анализа чувствительности методами индексов Соболя, распространения неопределённости и анализа надёжности, лежит использование метода Монте-Карло. Зачастую, для достижения высокой точности требуется провести большой объём вычислений. При моделировании реальных процессов полноценное решение задачи в COMSOL Multiphysics® требует значительных вычислительных ресурсов, а оценка неопределённости подразумевает учёт множества параметров. В этой ситуации применение метода Монте-Карло может оказаться нецелесообразным с вычислительной точки зрения, поскольку потребуется многократно решать задачу, описываемую расчётной моделью COMSOL Multiphysics®. Ключевой особенностью модуля «Оценка неопределённости» является возможность обучения и использования так называемой суррогатной модели, или метамодели, позволяющей сэкономить вычислительные ресурсы при оценке неопределённости в конкретной задаче.

Суррогатная модель — это компактная математическая модель, которая описывает целевые переменные в некоторой области, определяемой входными параметрами. Такая модель полностью независима от основной модели COMSOL Multiphysics® и может, при надлежащем обучении, использоваться вместо неё для расчёта целевых переменных при иных значениях входных параметров, отличных от тех, для которых была решена основная модель COMSOL Multiphysics®. Процесс построения суррогатной модели обычно является адаптивным. Суррогатная модель может аппроксимировать исходную модель с высокой степенью точности. Задаваемые пользователем допуски позволяют повысить точность суррогатных моделей. Более высокий уровень точности требует дополнительных вычислений основной модели COMSOL Multiphysics®.

После построения суррогатной модели можно провести независимую проверку её достоверности, а также быстро рассчитать поверхность отклика для всего пространства входных параметров. Для визуализации поверхности отклика можно построить график зависимости целевой переменной от двух входных параметров одновременно.

График поверхности отклика, построенный с использованием цветовой палитры Rainbow.
Шесть графиков, в трёх из которых используется палитра Rainbow.

Обратная оценка неопределённости

Обратная оценка неопределённости используется, когда функция распределения для некоторых входных параметров, называемых калибровочными параметрами, не известна. С помощью обратной оценки можно получить представление о статистических свойствах таких калибровочных параметров на основе экспериментальных данных. Чтобы воспользоваться обратной оценкой неопределённости, необходимо получить предварительное распределение вероятностей для каждого калибровочного параметра.

Как правило, для величин и параметров, представляющих интерес для исследователя, имеются некоторые экспериментальные данные. Также существуют входные калибровочные параметры, которые невозможно измерить непосредственно. Для примера, рассмотрим эксперимент, в котором требуется откалибровать модуль Юнга материала механической детали. Для этого нужно провести эксперимент по измерению растягивающего напряжения в зависимости от заданного перемещения материала. Затем следует выполнить обратную оценку неопределённости с использованием экспериментальных данных и предварительных знаний о модуле Юнга для калибровки распределения вероятностей, которое будет наилучшим образом воспроизводить измеренные в ходе эксперимента значения растягивающего напряжения. Обратная оценка можно проводить для широкого спектра физических моделей, в том числе связанных с механикой конструкций, гидродинамикой, акустикой, теплопередачей, электромагнетизмом и химическими технологиями.

Вычисление апостериорных распределений вероятностей калибровочных параметров осуществляется с использованием суррогатных моделей и метода Монте-Карло для марковских цепей (MCMC). Выполнив расчёт, можно визуализировать совместные и предельные распределения вероятностей входных калибровочных параметров. Кроме того, по результатам оценки формируется таблица доверительных интервалов, содержащая среднее значение, стандартное отклонение, минимальное и максимальное значения, а также нижнее и верхнее граничные значения, соответствующие доверительным уровням 90%, 95% и 99% для каждого входного калибровочного параметра.

Каждая компания имеет уникальные требования к моделированию.

Свяжитесь с нами, чтобы точно определить, подойдет ли программный пакет COMSOL Multiphysics® для решения ваших инженерных или научных задач. Обсудив основные аспекты с одним из наших менеджеров, вы получите личные рекомендации и подробные примеры, которые помогут вам сделать верный выбор и подобрать подходящую конфигурацию продуктов и тип лицензии.

Просто нажмите кнопку "Связаться с COMSOL", укажите свои контактные данные, сформулируйте вопросы и отправьте нам эту заявку. Наша цель — ответить вам в течение одного рабочего дня!

Следующий шаг

Запрос информации о программе

Связаться с COMSOL