Зачем нужны лунки на мячах для гольфа?

01/10/2021

Известно, что лунки имеют определяющее влияние на аэродинамические свойства мяча для гольфа — они снижают аэродинамическое сопротивление мяча за счёт турбулизации потока. Однако разве такое объяснение звучит логично? В общем случае аэродинамические свойства объектов с гладкой поверхностью лучше, чем если поверхность неровная. В этой статье блога мы подробно рассмотрим этот кажущийся парадокс, а также узнаем, как применить эти знания для моделирования движения мяча для гольфа с помощью COMSOL Multiphysics и как найти оптимальное направление удара по мячу. Прочтите статью, и не промахнётесь мимо лунки…

От наблюдения к математической модели

Когда я был ребёнком, мы с семьей иногда, в дождливый день, гуляли по расположенному неподалёку полю для гольфа; в дождь обычно не было желающих играть в гольф. У нас была своя собственная игра, суть которой состояла в поиске мячей, потерянных невезучими игроками в гольф. Выигрывал тот, кто находил больше мячей. Чем больше было дождливых дней, тем богаче становилась наша коллекция мячей для гольфа! Никто из нас не был знаком с правилами гольфа, поэтому о предназначении лунок на поверхности мяча мы могли только догадываться. Мы предположили, что для появления лунок была какая-то причина. Возможно, они были сделаны для красоты или для увеличения скорости полёта мяча.

Фотография кучи белых мячей для гольфа с лунками и потёртыми этикетками.
А вы никогда не задумывались, зачем нужны лунки на поверхности мяча для гольфа?

Время бежит, и теперь я тот самый невезучий игрок в гольф, который теряет мячи на поле. Кажется, жизненный круг замкнулся. Однако теперь я могу попытаться ответить на старый вопрос с позиции инженера: так зачем же нужны эти лунки? Можно ли смоделировать полёт мяча для гольфа с помощью COMSOL Multiphysics? Можно ли найти оптимальное направление удара, чтобы терять меньше мячей и, в конце концов, уложиться в пар? Предыдущая публикация в блоге уже помогла мне улучшить мой свинг, но для решения новой задачи мне потребовалась дополнительная информация, поэтому я обратился к учебникам…

Кризис сопротивления

Веками учёные изучали обтекание тел различной формы потоками жидкости или газа. Например, вихревые дорожки, которые формируются при обтекании цилиндров. При обтекании сферических тел подобных крупных периодических структур не образуется, тем не менее характеристики течения точно так же можно связать с числом Рейнольдса. При обтекании сферы, имеющей диаметр d, потоком жидкости с плотностью \rho, динамической вязкостью \mu и скоростью U, число Рейнольдса определяется следующим соотношением:

(1)

Re = \dfrac{\rho \cdot d \cdot U}{\mu}.

При малых значениях числа Рейнольдса в потоке доминируют вязкие силы, и такой режим течения называется ламинарным. Если значение числа Рейнольдса велико, то доминирующими силами в потоке становятся силы инерции, а режим течения называется турбулентным. Как правило, чтобы оценить силу сопротивления D, которая создаётся обтекаемым объектом, используют безразмерный коэффициент сопротивления C_D, который определяется как

(2)

C_D = \dfrac{D}{\frac{1}{2}\rho U^2 A},

где A = \dfrac{1}{4}\pi d^2 — площадь поперечного сечения шара.

Когда-то учёные Гюстав Эйфель и Людвиг Прандтль почти одновременно пришли к выводу, что коэффициент сопротивления не является постоянной величиной, а наоборот, очень сильно меняется даже в узком диапазоне значений числа Рейнольдса. Явление резкого изменения коэффициента сопротивления получило название кризиса сопротивления. Этот эффект проявляется не только при полёте мяча для гольфа, но и при движении других спортивных снарядов, например футбольного мяча и мяча для игры в регби. Отличаются только критические значения числа Рейнольдса, как видно на графике ниже.

Одномерные графики зависимости коэффициента сопротивления гладкого мяча (показано красной линией) и мяча для гольфа с лунками (показано синим цветом).
Графики зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса для гладкого мяча и мяча для гольфа. Наличие лунок приводит к тому, что кризис сопротивления наблюдается при меньших значениях числа Рейнольдса, однако изменение коэффициента сопротивления оказывается не столь значительным, как при обтекании гладкого мяча. Также обратите внимание, что значение коэффициента сопротивления мяча для гольфа меньше, чем гладкого мяча, только в некотором ограниченном диапазоне чисел Рейнольдса.

При характерном значении скорости полёта мяча для гольфа около 260 км/ч и при диаметре мяча, установленном официальными правилами игры, равном d = 42.67 мм, получаем, что число Рейнольдса равно 2 \cdot 10^5. Как видно из приведенного выше графика, это значение попадает в оптимальный интервал чисел Рейнольдса, в котором коэффициент сопротивления примерно в два раза ниже значения для гладкого шара. Именно по этой причине поверхность мяча для гольфа делается рифлёной. В диапазоне чисел Рейнольдса, соответствующем характерным скоростям полёта мяча для гольфа, коэффициент сопротивления будет ниже, а значит дистанция полёта мяча увеличится.

Вероятно, это объяснение покажется не полным. Мы видим, что лунки снижают сопротивление формы мяча, но пока осталась не раскрытой причина, по которой ещё и кризис сопротивления в этих условиях происходит при меньших скоростях полёта мяча. Чтобы объяснить этот эффект, нужно внимательнее рассмотреть область течения вблизи поверхности мяча.

Причина кризиса сопротивления

Для начала вспомним, что силу сопротивления определяют два фактора:

  1. сопротивление давлению, также называемое сопротивлением формы, которое создаётся неоднородным распределением давления в потоке вблизи поверхности тела;
  2. сопротивление трения, которое обусловлено касательными напряжениями в потоке вблизи поверхности тела.

Для тел тупой формы, например для гладкого шара, в рассматриваемом диапазоне числе Рейнольдса определяющую роль играет сопротивление давления. То есть полное сопротивление будет определяться распределением давления по поверхности сферы.

Не вдаваясь в детали теории турбулентности, отметим, что в лобовой части сферы формируется ламинарный пограничный слой (перенос массы и импульса между разными слоями течения в погранслое практически отсутствует). Дальше в зависимости от режима течения возможны два сценария.

  1. При малых числах Рейнольдса отрыв погранслоя вследствие положительного градиента давления происходит в точке, соответствующей примерно 82°, то есть выше по течению, чем ламинарно-турбулентный переход. В результате за сферой формируется большой аэродинамический след.
  2. При больших числах Рейнольдса область перехода к турбулентному режиму лежит ниже 82°. При турбулентном режиме перенос импульса из внешней части погранслоя интенсифицируется за счёт турбулентных пульсаций. В результате градиент скорости вблизи стенки увеличивается, а отрыв погранслоя происходит в точке около 120°. Погранслой как будто сильнее «прилипает» к поверхности.

Сравнение турбулентных потоков в кормовой части рифленого и гладкого мячей. Число Рейнольдса равно примерно 10^5.

Схематическое изображение аэродинамического следа, формирующегося за мячом с гладкой поверхностью и мячом с лунками.
Форма турбулентного следа, формирующегося в кормовой части мяча с рифленой (верхняя часть изображения) в результате отрыва турбулентного погранслоя и гладкой поверхностью (нижняя часть) в результате отрыва ламинарного погранслоя. Можно видеть, что точка отрыва погранслоя на рифленой поверхности расположена дальше от лобовой точки, чем на гладкой поверхности, и размер следа меньше.

Из-за интенсивной диссипации энергии в турбулентном следе давление в нём значительно уменьшается. Таким образом, сопротивление давления, которое является определяющим, зависит прежде всего от размера области следа. Теперь график зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса стал понятнее. Для мяча для гольфа:

  • Переход от ламинарного пограничного слоя к турбулентному происходит при меньших числах Рейнольдса из-за небольших вихрей, образующихся в лунках. В результате размер следа и, следовательно, сила сопротивления уменьшаются.
  • Кризис сопротивления выражен не так сильно по сравнению с гладким мячом. При аналогичном размере следа поверхность с лунками создает большее сопротивление в передней части.

Расчёт аэродинамических сил, действующих на мяч

Теперь нам понятно, в чём основная причина, по которой поверхность мячей для гольфа делают рифлёной. Напомню, что поскольку в этом случае сопротивление формы ниже, мяч полетит дальше. Чтобы узнать, какую максимальную дистанцию может преодолеть мяч, рассчитаем траекторию его полёта. Начальные условия и действующие на мяч силы изображены на следующем рисунке. Архимедова сила не учитывается, поскольку плотность мяча почти в тысячу раз больше плотности воздуха.

Схема начального направления сил, действующих на мяч.
Начальные условия и силы, действующие на мяч в полёте.

В качестве начальных условий можно использовать результат предыдущего анализа , в котором моделировался удар по мячу айроном №7 со скоростью 145 км/ч:

  • начальная скорость мяча — 187 км/ч;
  • начальная частота вращения — 6113 об/мин;
  • начальный угол полёта — 17,4°.

Запишем второй закон Ньютона для шарика массой m, движущегося с ускорением \overrightarrow{a} под действием силы тяжести \overrightarrow{F_g}:

(3)

m \overrightarrow{a} = \overrightarrow{D} + \overrightarrow{L} + \overrightarrow{F_g}.

Модуль силы сопротивления D можно выразить по формуле (2):

(4)

D=\dfrac{1}{2} \rho C_D AU^2.

Аналогично, подъёмная сила L, обусловленная эффектом Магнуса, определяется коэффициентом подъёмной силы C_L, который зависит от угловой скорости вращения мяча \omega:

(5)

L=\dfrac{1}{2} \rho C_L AU^2

Подробное исследование зависимости коэффициента подъёмной силы от скорости вращения мяча для гольфа было выполнено Бирманом и Харви в 1976 году [1]. Учёные также показали, что коэффициент сопротивления тоже зависит от скорости вращения (кривые на первом графике построены для некоторый фиксированной угловой скорости). В общем случае можно ввести безразмерный коэффициент вращения S, равный отношению линейной скорости вращения и скорости потока:

(6)

S = \dfrac{\omega d}{2U}.

Хотя результаты Бирмана и Харви были получены для уже устаревших вариантов мячей для гольфа, которые могут отличаться от современных, тем не менее они перекрывают самый широкий диапазон чисел Рейнольдса и коэффициентов вращения из представленных в доступной литературе. Таким образом, данные, которые вы увидите в этой статье, не следует воспринимать, как точные результаты для современных мячей. Показанные ниже кривые получены аппроксимацией данных кубическим полиномом с помощью модели из библиотеки приложений Using COMSOL Models Together with Curve Fitting. Исходные данные взяты с рис. 9, опубликованного в [1], оцифровка графика выполнена в приложении Curve Digitizer:

Одномерный график зависимости коэффициента сопротивления синим цветом и коэффициента подъёмной силы зеленым цветом от коэффициента вращения мяча для гольфа.
Зависимость коэффициентов сопротивления и подъёмной силы от коэффициента вращения.

Коэффициент сопротивления мяча с гладкой поверхностью рассчитан по стандартным формулам (см. первый рисунок), а коэффициент подъёмной силы принят равным коэффициенту вращающегося мяча (на самом деле этот коэффициент меньше).

Наконец, поскольку из-за трения вращение будет замедляться, изменение скорости вращения можно описать экспоненциальной функцией, предложенной в работе Смитса и Смита [2].

(7)

\omega = \omega _0 e^{-\frac{cU}{d}t},

где c=10^{-4} — эмпирическая константа.

Принимая во внимание, что сила сопротивления направлена против движения мяча перпендикулярно подъёмной силе, можем записать следующую систему уравнений в проекции на оси x и y:

(8)

\left\{
\begin{array}
{@{}l@{}}
\ddot{x} = -\dfrac{\rho AU}{2m}\left(C_D\dot{x} + C_L\dot{y}\right)
\\
\\
\ddot{y} = \dfrac{\rho AU}{2m}\left(C_L\dot{x}-C_D\dot{y}\right)-g
\end{array}\right.

где U = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}.

Мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может показаться довольно сложной, поскольку все переменные связаны друг с другом. Тем не менее, настроить и решить эту задачу с помощью COMSOL Multiphysics не представляет больших трудностей.

Настройка модели полёта мяча для гольфа в COMSOL Multiphysics®

Простейший вариант настройки модели для описанной задачи состоит в использовании нульмерного (0D) компонента и интерфейса Events, с помощью которого можно описать систему уравнений (8) в настройках узла Global Equations и решить эту систему, остановив расчёт в момент касания мячом земли, то есть при выполнении условия y = 0.


Снимок экрана окна настройки переменных в COMSOL Multiphysics в модели полёта мяча для гольфа.

Задаём переменные для исследования.

Первый шаг настройки модели — описание переменных, которые потребуются для решения задачи. Переменные задаются с помощью математических функций и глобальных параметров. В частности, параметр smooth позволяет указать тип мяча:

  • мяч для гольфа с лунками (smooth=0)
  • гладкий мяч (smooth=1)

Переменные xt и yt — это производные координат по времени, которые рассчитываются в интерфейсе Events.


Снимок экрана окна настройки глобальных уравнений в модели полёта мяча для гольфа с перечисленными уравнениями x и y.

Система глобальных уравнений, описывающая изменение координат мяча.

Второй шаг настройки — описание системы уравнений (8) и постановка начальных условий. Поскольку все параметры и переменные задачи уже заданы, этот шаг довольно прост.

Снимок экрана окна настройки узла Discrete States в COMSOL Multiphysics.
Узел Discrete State позволяет настроить проверку условия приземления мяча.

Подобно тому, как это было показано в одной из наших публикаций, мы используем переменную дискретного состояния Discrete State, с помощью которой удобно моделировать условия переключения состояний. В данном случае переменная описывает глобальное состояние мяча: на земле или нет. В начальный момент времени мяч находится в воздухе, поэтому переменная landed=0.

Снимок экрана окна настройки узла Indicator States.

Снимок экрана окна настройки узла Implicit Event, добавленного в дерево модели полёта мяча для гольфа.
В настройках узла Indicator States просто проверяется условие на текущую высоту. Значение переменной, заданной в узле Discrete State , переключается, как только будет выполнено заданное условие, то есть когда мяч коснется земли.

Значение переменной, заданной в узле Discrete State изменяется только в момент касания земли мячом. Момент приземления мяча мы не знаем, но мы можем сформулировать условие наступления этого события математически — у-координата принимает отрицательное значение. В этом смысл настройки узла Implicit Event: событие наступает тогда, когда выполняется условие, заданное в настройках узла Indicator State.


Снимок экрана дерева модели полёта мяча для гольфа слева и окна настройки условий остановки справа с раскрытыми разделами Stop Expressions, Stop Events и Output at Stop.

В последовательность узлов настройки исследования добавлено условие остановки Stop.

Последний этап настройки — добавление узла Study. Чтобы последовательно решить задачу для гладкого и рифлёного мячей, можно использовать параметрическое исследование Parametric Sweep, а траекторию полёта мяча можно рассчитать с помощью нестационарного решателя. Кроме того, необходимо внести изменения в последовательность узлов настройки нестационарного решателя, чтобы при активации события расчёт остановился.

Результаты моделирования

Теперь модель настроена и можно запускать расчёт!

 

Анимация траектории полёта мяча с гладкой и рифлёной поверхностью после удара айроном №7. Сопротивление мяча с лунками (цвет на шкале соответствует коэффициенту сопротивления) оказывается меньше, чем гладкого мяча. Отметим, что при движении мяча по верхней траектории наблюдается кризис сопротивления там, где скорость полёта, а значит и число Рейнольдса, уменьшается.

Обратите внимание, что если бы мы пренебрегли подъёмной силой и силой сопротивления, то мяч двигался бы по параболе, но если эти силы учитываются, как в данной модели, то траектория не параболическая. Сначала мяч движется почти по прямой, а после достижения максимальной высоты резко снижается. Как показывают результаты моделирования, мяч с лунками пролетает на 25% дальше (30 метров), чем гладкий мяч. Другими словами, грин теперь стал намного ближе, и без каких-либо дополнительных усилий!

Объясняется это тем, что по описанной выше причине общее воздействие силы сопротивления на рифлёный мяч для гольфа намного меньше, чем на мяч с гладкой поверхностью. Когда мяч достигает максимальной высоты, его потенциальная энергия, пропорциональная высоте, также достигает максимума. Увеличение потенциальной энергии происходит за счёт уменьшения кинетической энергии, то есть мяч движется медленнее. Соответственно, число Рейнольдса уменьшается (что эквивалентно увеличению коэффициента вращения), и в результате увеличивается коэффициент сопротивления.

Отметим, что рассчитанная дистанция полёта мяча составляет примерно 150 м, и это намного больше, чем дистанция полёта при ударе среднестатистического игрока в гольф (около 128 м), но при этом соответствует нижнему пределу стандартного удара профессионального участника турниров PGA. Полученный результат вполне реалистичен, если принять во внимание, что при моделировании использовались устаревшие данные о коэффициенте сопротивления и коэффициенте подъёмной силы.

Определение оптимального начального угла

Теперь назначение лунок на поверхности мяча для гольфа стало понятно: лунки позволяют увеличить дистанцию полёта мяча. Однако, найденное объяснение ничего не говорит о том, как именно нужно бить по мячу. Под каким углом нужно отправить мяч в полёт при заданных скорости удара и угле атаки, чтобы мяч пролетел нужное мне расстояние? Первый вариант решения — проведение параметрического или даже оптимизационного исследования, чтобы найти оптимальное значение. Ниже показан график зависимости дистанции полёта мяча от начального угла при заданных значениях угла атаки и коэффициента вращения.

Одномерный график, отображающий результаты параметрического исследования траектории полёта мяча для гольфа.
Результаты параметрического исследования при значении угла атаки -4,3° и начальной частотой вращения 6113 об/мин после удара айроном №7. Похоже, что максимальная дистанция достигается при начальном угле около 20°.

Судя по графику, наилучший угол атаки составляет примерно 20°. Однако профессиональные игроки в гольф, которые, казалось бы, должны в среднем бить по мячу под оптимальным углом, наносят удары в среднем под углом 16°. В чём тут дело? А дело в том, что наше предположение о постоянной скорости вращения неверно: чтобы мяч отправился в полёт под бóльшим начальным углом, поверхность клюшки в момент удара должна быть расположена "более горизонтально". Как и при срезающем ударе в теннисе, вследствие более высокого трения мяч для гольфа вращается быстрее, но летит медленнее.


На рисунках показана клюшка для гольфа и мяч, а также малый (слева) и большой (справа) лофт, начальный угол и угол атаки.

Сравнение двух лофтов при одинаковом угле атаки. Углы отсчитываются от горизонтальной плоскости. Начальный угол полёта мяча увеличивается при более сильном лофте. Поскольку разность между углом лофта и углом атаки, так называемый спиновый лофт, увеличивается, частота вращения мяча также возрастает.

Установить связь между начальным углом полёта, частотой вращения и скоростью полёта мяча не просто. Её невозможно найти непосредственно по результатам экспериментов или моделирования. Однако в данном случае, поскольку у нас есть готовая модель мяча для гольфа Impact Analysis of a Golf Ball, мы можем ей воспользоваться, чтобы настроить параметрическое исследование!

Одномерный график, показывающий скорость вращения зеленым цветом и скорость мяча синим цветом для параметризованной модели мяча для гольфа.
Результаты параметрического исследования, выполненного на основе учебной модели. Чтобы получить более плавную кривую, точки данных интерполируются кубическими сплайнами. Как мы и предполагали, частота вращения увеличивается при увеличении начального угла, а скорость, наоборот, уменьшается.

Но к этим результатам стоит отнестись скептически. Нужно провести более подробное исследование, выполнить анализ сеточной сходимости, провести сравнение с кривыми, полученными для других клюшек, и так далее. Тем не менее, качественно результаты соответствуют действительности.

Одномерный график, показывающий дистанцию полёта мяча для гольфа в зависимости от начального угла.
Дистанция полёта мяча после удара айроном №7 в зависимости от начального угла полёта при угле атаки -4.3° и переменной частоте вращения. Кривая сдвинулась в сторону меньших значений начального угла запуска, что лучше соответствует действительности.

Теперь параметрическое исследование можно повторить с корректными значениями частоты вращения и скорости. Обратите внимание, что кривая сдвинулась влево. Другими словами, похоже, что уменьшение начального угла (а значит и лофта) способствует снижению частоты вращения и увеличению кинетической энергии поступательного движения мяча. Кривая не центрирована вокруг 16°, как может показаться. Вместе с тем, стоит помнить, что для получения этого результата использовалось множество гипотез, например, о зависимости коэффициентов сопротивления, подъёмной силы и частоты вращения, которые сильно влияют на конечные результаты. Для получения более точных результатов требуются дополнительные сведения о характеристиках современных мячей для гольфа и более детальный анализ удара по мячу.

Вывод

В данной статье блога мы ответили на, казалось бы, простой вопрос о назначении лунок на поверхности мячей для гольфа, который связан с особенностями турбулентного пограничного слоя при обтекании сферы в определенном диапазоне значений числа Рейнольдса. Наше небольшое исследование хорошо иллюстрирует классический инженерный подход. Наблюдение за привычным объектом привело нас к более глубокому пониманию сложного физического явления, которое, в свою очередь, позволило нам смоделировать это явление и проверить наши гипотезы с помощью COMSOL Multiphysics с учётом некоторых допущений. Наконец, мы нашли оптимальный начальный угол полёта мяча и получили полезные для реальной жизни сведения. Читатели, которые играют в гольф и которые, вероятно, задавались теми же вопросами, что и я, могут извлечь для себя следующий урок: чтобы понизить частоту вращения мяча, старайтесь уменьшить лофт, сохраняя при этом угол атаки. Правда, я точно не знаю, как именно добиться этого на фервее, хотя в теории всё кажется просто и понятно. Поэтому практический вывод, который можно сделать из этой публикации, следующий: обращаться нужно к профессиональному тренеру по гольфу, а не к инженеру-расчётчику!

Материалы для самостоятельной работы

Попробуйте рассчитать траекторию полёта мяча для гольфа в COMSOL Multiphysics. Нажмите кнопку ниже, чтобы скачать файл модели, описанной в этой публикации блога:

Список литературы

  1. P. Bearman and J.K. Harvey, "Golf ball aerodynamics", Aeronautical Quarterly, vol. 27, no., pp. 112–122, 1976.
  2. A.J. Smits and D.R. Smith, "A new aerodynamic model of a golf ball in flight", Science and Golf II, Taylor & Francis, pp. 433–442, 2002.

Использованные термины

  1. Пар — количество ударов, за которое игрок должен пройти лунку по регламенту.
  2. Свинг — основное движение удара всеми клюшками. Свинг состоит из отведения клюшки (замаха), движения вниз (маха), непосредственно удара и завершения.
  3. Айрон — лёгкая клюшка с лопатообразной головкой для прицельного посылания мяча на более короткие дистанции. Угол наклона плоскости удара от 15° до 45°. Клюшки различаются по номерам. Больший номер позволяет послать мяч под большим углом к горизонту на меньшую дистанцию. Дистанция удара от 70 до 150 метров.
  4. Грин — часть гольф-поля округлой формы с самой короткой выстриженной травой, где находится сама лунка.
  5. Лофт — удар, посылающий мяч вверх.
  6. Фервей — основная игровая зона поля для гольфа.

Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ