Как выбрать модель турбулентности для решения задач вычислительной гидродинамики?

Walter Frei 06/07/2017
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on Google+ Share this on LinkedIn

Для моделирования турбулентных течений в пакете COMSOL Multiphysics® реализованы несколько моделей турбулентности: L-VEL, yPlus, Спаларта-Аллмараса, k-ε, k-ω, низкорейнольдсовая k-ε, SST и v2-f. Все эти модели доступны при использовании модуля «Вычислительная гидродинамика» (CFD Module), а модели L-VEL, yPlus, k-ε и низкорейнольдсовая k-ε доступны также при использовании модуля «Теплопередача» (Heat Transfer Module). В настоящей статье рассматриваются вопросы, связанные с выбором и эффективной реализацией модели турбулентности.

Первая редакция статьи была опубликована в 2013 году. Материал был обновлен после выхода COMSOL® версии 5.3, поскольку в модуль «Вычислительная гидродинамика» была добавлена новая модель турбулентности.

Описание турбулентности. Краткое введение

Рассмотрим задачу об обтекании плоской пластины потоком жидкости (см. рисунок). На поверхности пластины, начиная от передней кромки, формируется пограничный слой — область течения, в которой происходит основное изменение скорости жидкости. На передней части пластины течение в погранслое ламинарное. Профиль скорости в этой области легко рассчитать. Но начиная с некоторого расстояния от передней кромки малые хаотические возмущения в потоке усиливаются, в результате чего поток теряет устойчивость, и режим течения в погранслое меняется с ламинарного на переходный, а затем и на турбулентный.

Flow of a fluid over a flat plate Как выбрать модель турбулентности для решения задач вычислительной гидродинамики?

Переход между тремя режимами течения в погранслое определяется числом Рейнольдса, Re=\rho v L/\mu, где \rho — плотность жидкости, v — скорость, L — характерный линейный размер (в данном случае, расстояние от передней кромки пластины) и \mu — динамический коэффициент вязкости. Будем рассматривать течение ньютоновской жидкости, то есть такой жидкости, вязкость которой не зависит от скорости сдвига. Многие важные для инженерной практики жидкости и газы, в том числе вода и воздух, являются ньютоновскими. Плотность жидкости может зависеть от давления, однако будем считать, что жидкость несжимаемая, то есть число Маха для рассматриваемого потока не превышает 0.3. Параметр Weakly compressible flow (Слабо сжимаемая жидкость) в настройках гидродинамических интерфейсов COMSOL Multiphysics позволяет пренебречь зависимостью плотности среды от давления и волн сжатия.

При ламинарном режиме течения поле скорости может быть найдено из решения стационарных уравнений Навье-Стокса, которые описывают распределение скорости и давления в потоке жидкости. Можно предположить, что скорость жидкости не изменяется во времени, и получить точное описание характеристик потока. В качестве примера можно привести решение задачи Блазиуса о ламинарном течении в пограничном слое. Когда поток начинает переходить к турбулентности, в потоке появляются колебания, несмотря на то, что скорость потока на входе не меняется со временем. Предположение о том, что характеристики течения не зависят от времени, больше не применимо. В этом случае, необходимо решать нестационарную задачу, а расчетная сетка должна быть достаточно мелкой, чтобы на ней можно было разрешить (описать) самые мелкие вихри, образующиеся в потоке, то есть размер элементов сетки должен быть сопоставим с размером самых мелких вихрей. Примером подобной задачи является учебная модель обтекания горизонтального цилиндра. Отметим, что течение нестационарно, но при этом все еще сохраняется ламинарных режим течения. Для решения стационарных и нестационарных задач о ламинарном течении дополнительные модули не требуются, достаточно только базового модуля COMSOL Multiphysics.

Using a Reynolds Averaged Navier Stokes formulation Как выбрать модель турбулентности для решения задач вычислительной гидродинамики?

С ростом числа Рейнольдса характерный размер вихревых структур в потоке уменьшается, а временной масштаб пульсаций скорости и давления становится столь коротким, что численное решение уравнений Навье-Стокса для большинства практических задач практически невозможно. Для описания таких режимов течения мы можем использовать осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса (уравнения Рейнольдса, RANS), в которых мгновенные значения скорости u представлены в виде суммы пульсационной u’ и осредненной по времени U составляющих. В одно- и двухпараметрических моделях вводятся дополнительные уравнения переноса для характеристик турбулентности, одной из которых является кинетическая энергия (переменная k в k-ε и k-ω моделях турбулентности).

В алгебраических моделях используются алгебраические уравнения для турбулентной вязкости, описывающие ее зависимость от поля осредненной скорости и, в некоторых случаях, расстояния от твердых стенок. Найденные значения турбулентных переменных затем используются для расчета турбулентной (вихревой) вязкости, котороая прибавляется к молекулярной вязкости жидкости. Импульс, который мог бы переноситься малыми вихревыми структурами, наоборот, диссипирует за счет вязких эффектов. Турбулентная диссипация обычно превосходит вязкую диссипацию во всех области течения, за исключением вязкого подслоя вблизи твердых стенок. Модель турбулентности должна описывать непрерывное снижение степени турбулентности потока по мере приближения к стенке, как это делают низкорейнольдсовые модели. Либо должны быть рассчитаны новые граничные условия с помощью пристеночных функций.

Низкорейнольдсовые модели турбулентности

Название "низкорейнольдсовая модель турбулентности" может показаться противоречивым, поскольку турбулентный режим течения наблюдается только при достаточно высоких значениях числа Рейнольдса. Однако термин "низкорейнольдсовая" относится не ко всей области течения, а только к пристеночной области, где доминируют вязкие эффекты, то есть к области вязкого подслоя, показанного на рисунке выше. Низкорейнольдсовая модель турбулентности — это модель, которая позволяет корректно рассчитать асимптотическое поведение различных характеристик потока, когда расстояние от стенки стремится к нулю. Например, низкорейнольдсовая модель должна описывать зависимость кинетической энергии турбулентности от расстояния от стенки как k~y2 при y→0. Корректная асимптотика означает, что модель турбулентности может использоваться для расчета течения по всей толщине погранслоя, в том числе в вязком подслое и буферном слое.

Почти все модели, содержащие уравнение для ω, являются низкорейнольдсовыми по определению. Однако стандартная и другие распространенные формулировки k-ε модели не являются низкорейнольдсовыми. Тем не менее некоторые из них могут быть дополнены так называемыми демпфирующими функциями, которые позволяют дают корректную ассимптотику. Такие модели называются низкорейнольдсовыми k-ε моделями.

Зачастую низкорейнольдсовые модели позволяют очень точно рассчитать течение в погранслое. Для разрешения значительных градиентов вблизи стенки, однако, требуется очень плотная расчетная сетка, что, в свою очередь, приводит к повышенным требованиям к вычислительным ресурсам. По этой причине для расчета течения вблизи твердых стенок при решении инженерных задач часто используются альтернативные методы.

Пристеночные функции

В турбулентном погранслое у плоской твердой поверхности можно выделить четыре характерных области. Непосредственно на стенке скорость жидкости равна нулю, а в очень тонком слое у стенки скорость линейно зависит от расстояния от стенки. Этот слой называется вязким или ламинарным подслоем. За ним следует область, которая называется буферным слоем. В этой области начинается переход к турбулентности, а заканчивается этот слой областью развитой турбулентности, где средняя скорость течения определяется логарифмической зависимостью от расстояния от стенки. Эта часть турбулентного погранслоя называется областью логарифмического закона. При дальнейшем удалении от стенки мы переходим в область свободного течения. Вязкий и буферный слои очень тонкие. Если обозначить их суммарную толщину как \delta, то толщина области логарифмического закона составит приблизительно 100\delta.

Four regimes of tubulent flow Как выбрать модель турбулентности для решения задач вычислительной гидродинамики?

Уравнения Рейнольдса можно использовать для расчета поля скорости во всех четырех областях турбулентного погранслоя. Однако, так как толщина вязкого и буферного слоев очень мала, решить уравнения в области этих слоев может быть крайне затруднительно. С помощью использования пристеночных функций можно отказаться от решения уравнений Рейнольдса в буферной области и аналитически рассчитать скорость вблизи стенки. Таким образом, мы должны иметь аналитическое выражение для расчета скорости в вязком подслое, тогда требования к вычислительным ресурсам, необходимым для решения уравнений Рейнольдса, можно существенно снизить. Данный подход очень полезен для решения многих инженерных задач.

Implementing a wall function formulation Как выбрать модель турбулентности для решения задач вычислительной гидродинамики?

В случае, когда необходима более высокая точность решения, превосходящая точность пристеночных функций, нужно использовать модель турбулентности, которая позволяет рассчитать характеристики потока во всей области течения, как это позволяют сделать, например, низкорейнольдсовые модели турбулентности, упомянутые выше. Например, если нужно определить силу сопротивления и подъемную силу, действующие на объект, или рассчитать теплообмен между жидкостью и стенкой.

Автоматический выбор модели для пристеночной области

Автоматический выбор модели пристеночной области, реализованный в COMSOL Multiphysics версии 5.3, объединяет достоинства обоих подходов — низкорейнольдсовых моделей и пристеночных функций. Автоматический выбор модели пристеночной области адаптируется под имеющуюся расчетную сетку, обеспечивая, таким образом, и устоцчивость, и точность расчета. К примеру, для грубой погранслойной сетки при использовании автоматического выбора модели пристеночной области будет задействованы пристеночные функции. Если же сетка в пределах погранслоя достаточно плотная, автоматический выбор будет сделан в пользу низкорейнольдсовой модели для расчета поля скорости непосредственно во всей области течения вплоть до самой стенки.

Переход от низкорейнольдсовой формулировки к пристеночным функциям осуществляется непрерывно и гладко. Алгоритмы, реализованные в программном обеспечении, "склеивают" две формулировки на погранслойных элементах сетки. Рассчитывается расстояние узлов погранслойных элементов сетки от стенки (в безразмерных единицах). Затем в качестве граничного условия используется комбинированная формулировка модели турбулентности.

Все физические интерфейсы расчета турбулентных течений, реализованные в COMSOL Multiphysics, за исключением интерфейса страндартной k-ε модели, поддерживают возможность автоматического выбора модели пристеночной области. Таким образом, теперь для решения инженерных задач можно использовать низкорейнольдосовые модели, при этом их собственно низкорейнольдсовые формулировки будут реализованы только если разрешение расчетной сетки будет достаточным.

Коротко о различных моделях турбулентности

Восемь моделей турбулентности, основанные на использовании уравнений Рейнольдса, различаются подходами к описанию течения в пристеночной области, количеством и физическим смыслом дополнительных неизвестных переменных, определяющих характеристики турбулентного течения. Во всех этих моделях в уравнениях Навье-Стокса появляется дополнительное слагаемое для турбулентной вихревой вязкости, однако рассчитывается это слагаемое в разных моделях по-разному.

L-VEL и yPlus

Алгебраические модели турбулентности L-VEL и yPlus позволяют рассчитать коэффициент турбулентной вязкости в зависимости от локальной скорости жидкости и расстояния от стенки. Никаких дополнительных уравнений переноса в этих моделях решать не требуется. При этом они могут использоваться для расчета всей области течения. Из всех восьми перечисленных моделей они отличаются наибольшей устойчивостью и самой низкой требовательностью к вычислительным ресурсам. Несмотря на то, что это наименее точные модели, полученные с их помощью результаты являются хорошим приближением для внутренних течений, особенно в задачах расчета охлаждения электронного оборудования.

Модель Спаларта-Аллмараса

Эта модель относится к классу однопараметрических моделей турбулентности. Здесь появляется только одно дополнительное уравнение для расчета кинематического коэффициента вихревой вязкости. Это низкорейнольдсовая модель, которая описывает всю область течения, включая пристеночные слои. Изначально модель была предложена для решения аэродинамических задач. Ее выгодно отличают относительно хорошая устойчивость и надежность, а также не слишком высокие требования к плотности расчетной сетки. Опыт показывает, что данная модель не очень хорошо описывает сдвиговые и отрывные течения, а также затухание турбулентности. Преимуществом этой модели является ее устойчивость и хорошая сходимость.

k-ε модель турбулентности

В k-ε модели турбулентности записываются два дополнительных уравнения для расчета кинетической энергии турбулентности k и скорости диссипации кинетической энергии ε. Буферный слой не моделируется, для расчета скорости у стенки используются пристеночные функции. Благодаря быстрой сходимости и относительно низким требованиям к объему памяти k-ε модель очень популярна при решении промышленных задач. Она не очень точна при моделировании течений с положительным градиентом давления, струйных течений и течений в области с сильно искривленной геометрией. Модель хорошо подходит для решения задач внешнего обтекания тел сложной геометрической формы. Например, k-ε модель можно использовать для моделирования потока вблизи плохо обтекаемого тела.

Модели турбулентности, перечисленные ниже, отличаются более высокой степенью нелинейности по сравнению со стандартной k-ε моделью, и поэтому зачастую в расчетах на основе этих моделей бывает трудно добиться сходимости, если только не воспользоваться хорошим начальным приближением. Результаты расчета, полученные с помощью стандартной k-ε модели, могут послужить таким начальным приближением. Решите задачу, используя стандартную k-ε модель, а затем воспользуйтесь новым инструментом «Настроить новый интерфейс турбулентного течения» (Generate New Turbulence Interface), который появился в модуле «Вычислительная гидродинамика» пакета COMSOL Multiphysics версии 5.3.

k-ω модель турбулентности

Модель k-ω похожа на k-ε, только здесь решается уравнение для удельной скорости диссипации кинетической энергии ω. Эта модель относится к низкорейнольдсовым, но она также может быть использована совместно с пристеночными функциями. Она отличается более высокой степенью нелинейности, а потому хуже сходится, чем стандартная k-ε модель, а кроме того, достаточно чувствительна к начальному приближению. Использование k-ω модели дает хорошие результаты в тех задачах, где k-ε модель недостаточно точна, например, при моделировании внутренних течений, течений по сильно искривленным каналам, отрывных и струйных течений. Хорошим примером применения k-ω модели является задача о течении жидкости через колено трубопровода.

Низкорейнольдсовая k-ε модель

В отличие от стандартной k-ε модели в низкорейнольдсовой модификации этой модели пристеночные функции не используются; модель применима ко всей области течения.  Она является логическим продолжением стандартной k-ε модели и сохраняет многие ее преимущества, однако для ее реализации, как правило, требуется более плотная расчетная сетка, причем не только в пристеночной области, но везде, где низкорейнольдсовые свойства играют роль и подавляют турбулентность. Часто рекомендуется использовать стандартную k-ε модель для расчета хорошего начального приближения для решения уравнений низкорейнольдсовой модели. Альтернативой может стать использование автоматического выбора модели пристеночной области и последовательное измельчение сетки в погранслое в ключевых зонах расчетной области.

С помощью низкорейнольдсовой k-ε модели расчет силы сопротивления и подъемной силы, а также плотности теплового потока может быть выполнен с более высокой точностью, чем при использовании стандартной k-ε модели. В некоторых случаях эта модель также дает хорошие результаты моделирования отрыва и повторного присоединения потока.

SST-модель

SST-модель представляет собой комбинацию k-ε и k-ω моделей турбулентности: для расчета течения в свободном потоке используются уравнения k-ε модели, а в области вблизи стенок — уравнения k-ω модели.  Это низкорейнольдсовая модель, которая стала своего рода стандартом для инженерных приложений. Требования к плотности сетки здесь те же, что и у k-ω модели и низкорейнольдсовой k-ε модели, однако эта модель лишена некоторых недостатков исходных k-ω и k-ε моделей. В учебной модели для расчета обтекания крылового профиля NACA 0012 используется SST-модель турбулентности. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.

v2-f модель турбулентности

Около твердых стенок интенсивность флуктуаций скорости в направлении по касательной к стенке обычно намного превышает интенсивность флуктуаций в направлении по нормали к стенке. Другими словами, флуктуациям скорости свойственна анизотропия. По мере удаления от стенки интенсивность флуктуаций во всех направлениях становится одинаковой. Флуктуации скорости становятся однородными или изотропными.

Анизотропия турбулентных флуктуаций в погранслое описывается v2-f моделью турбулентности за счет введения двух дополнительных уравнений, решаемых совместно с уравнениями для кинетической энергии турбулентности (k) и скорости диссипации кинетической энергии (ε). Первое дополнительное уравнение описывает перенос турбулентных флуктуаций скорости в направлении по нормали к линиям тока. Второе уравнение учитывает нелокальные эффекты, а именно обусловленное стенкой демпфирование перераспределения кинетической энергии между нормальным и касательным направлениями.

Эту модель следует использовать для расчета внутренних течений в системах с искривленными границами, например, при моделировании циклонов-сепараторов.

Некоторые замечания о расчетной сетке

Решение любых гидродинамических задач, будь то задачи о ламинарном или турбулентном течениях, требуют значительных вычислительных ресурсов. Как правило, моделирование проводится на относительно плотных расчетных сетках и требует решения уравнений для многих переменных. Даже при использовании очень быстрого компьютера с большим объемом оперативной памяти решение подобных задач для крупных трехмерных моделей может занимать много времени — от нескольких часов до нескольких дней. Поэтому, желательно использовать как можно более простую сетку, которая, тем не менее, сохраняет все детали моделируемого течения.

Если вернуться к самому первому рисунку этой статьи, можно увидеть, что для плоской пластины (а также для большинства гидродинамических задач) интенсивность изменения скорости в поперечном (по нормали к поверхности) направлении намного превышает интенсивность изменения скорости в продольном направлении (по касательной к поверхности), особенно в области буферного слоя. Это наблюдение позволяет нам использовать погранслойную сетку. Данный тип сеток (который используется по умолчанию при активации автоматических, адаптированных к физической модели, алгоритмов построения сетки) состоит из тонких четырехугольников (в двумерном случае) или треугольных призм (в трехмерном случае) вблизи стенки. Данный тип сильно вытянутых конечных элементов хорошо подходит для разрешения изменения скорости течения в направлении по нормали к поверхности, при этом позволяет сократить количество расчетных узлов в продольном направлении.

Boundary layer mesh Как выбрать модель турбулентности для решения задач вычислительной гидродинамики?
Погранслойная сетка (выделена пурпурным цветом) вокруг крылового профиля и треугольная сетка (выделена голубым цветом) для двумерной задачи.

Tetrahedral boundary layer mesh Как выбрать модель турбулентности для решения задач вычислительной гидродинамики?
Погранслойная сетка (выделена пурпурным цветом) вокруг плохо обтекаемого тела и тетраэдральная сетка для трехмерной задачи.

Анализ результатов моделирования турбулентности

После получения результатов моделирования с помощью той или иной выбранной модели турбулентности естественно возникает желание удостовериться в том, что полученное решение верно. Конечно, как и при решении любой другой задачи, можно проводить расчет на сетках разной плотности и следить за изменением результатов. Как только решение перестанет меняться в зависимости от параметров сетки в пределах требуемой точности, можно считать, что параметры сетки заданы оптимально. Тем не менее, есть некоторые дополнительные параметры, которые следует отслеживать при моделировании турбулентности.

Если используется модель с пристеночными функциями, желательно контролировать значение безразмерного расстояния сеточных узлов от стенки (этот график добавляется в результаты автоматически). Эта величина позволяет определить, как далеко расчетная область отдалена от стенки, и значение этой величины не должно быть слишком велико. В случае, если в некоторых зонах расчетной области безразмерное расстояние от стенки превышает несколько сотен, следует увеличить плотность сетки в направлении по нормали к стенке. Вторая величина, которую нужно контролировать при использовании пристеночных функций — это расстояние от стенки, выраженное в размерных единицах. Эта величина связана с предполагаемой толщиной вязкого подслоя и должна быть достаточно малой по сравнению с характерным линейным масштабом расчетной области. В тех областях, где это условие не выполняется, сетку необходимо сделать более плотной.

wall function formulations Как выбрать модель турбулентности для решения задач вычислительной гидродинамики?
Максимальное безразмерное расстояние от стенки меньше 100, поэтому нет необходимости увеличивать плотность сетки в погранслое.

При решении задач с помощью одной из низкорейнольдсовых моделей без использования автоматического выбора модели пристеночной области контролируйте величину безразмерного расстояния от стенки до центра ячейки, график для которой также создается автоматически. Для алгебраических моделей значение этой величины должно быть порядка единицы во всей расчетной области, а для двухпараметрических моделей и v2-f модели значение не должно превышать 0.5. Необходимо увеличить плотность сетки в тех зонах расчетной области, где эти условия не выполняются.

Заключительные примечания

В этой статье обсуждались различные модели турбулентности, реализованные в пакете COMSOL Multiphysics, и были даны некоторые рекомендации по использованию этих моделей в задачах вычислительной гидродинамики. Настоящая сила пакета COMSOL® заключается в том, что с его помощью можно комбинировать моделирование течения жидкости с решением других физических задач, например, расчетом механических напряжений, возникающих в солнечной панели при сильном ветре, моделированием вынужденной конвекции в теплообменных аппаратах или расчетом массопереноса в устройствах смешения и т.п.

Если Вы заинтересовались применением пакета COMSOL Multiphysics® для решения задач вычислительной гидродинамики и мультифизического моделирования, или у Вас возникли вопросы, которые здесь не обсуждались, пожалуйста, напишите нам.


Loading Comments...

Categories


Tags