Использование граничного условия Inflow (Входящий поток) при моделировании неизотермического потока

Nicolas Huc 15/03/2018
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Граничное условие Inflow (Входящий поток) используется при моделировании неизотермических течений, когда необходимо совместно решать уравнения движения и энергии. Если температура среды на входе в расчетную область известна, можно воспользоваться граничным условием Temperature (Температура). Однако в некоторых случаях более целесообразно использовать граничное условие Inflow (Входящий поток), которое позволяет повысить точность модели и сократить вычислительных затраты при моделировании. Мы рассмотрим, как использовать это чуть более хитро устроенное граничное условие для входного сечения расчтеной области.

Моделирование теплопередачи с помощью граничного условия Inflow (Входящий поток)

Итак, давайте обсудим важное граничное условие, которое называется Inflow (Входящий поток). Его можно использовать на внешних границах доменов с жидкостью для добавления виртуального канала вверх по течению потока. Граничное условие Inflow (Входящий поток) позволяет рассчитать тепловой поток на входной границе, как если бы мы решали полноценные уравнения конвективного теплообмена вверх по течению. Виртуальный канал — это длинный теплоизолированный канал с заданной температурой на входе, в котором реализуется профиль скорости, заданный настройках граничного условия Inflow.

Схема типичной области для граничного условия Inflow (Входящий поток).
Представление виртуальной области, соответствующей граничному условию Inflow.

Математически это граничное условие можно описать через плотность теплового потока:

(1)

-\mathbf{n} \cdot \mathbf{q} = \rho \Delta H \bf{u}\cdot \mathbf{n}

где изменение энтальпии \Delta H определяется как

(2)

\Delta H = \int_{T_{\mathrm{upstream}}}^{T}{C_p \mathrm{d}T}+\int_{p_{\mathrm{upstream}}}^{p}{\frac{1-\alpha_p T}{\rho}\mathrm{d}p}

где можно выделить два слагаемых:

{\Delta H}_T = \int_{T_{\mathrm{upstream}}}^{T}{C_p \mathrm{d}T}

и

{\Delta H}_p = \int_{p_{\mathrm{upstream}}}^{p}{\frac{1-\alpha_p T}{\rho}\mathrm{d}p}

записать как

\Delta H ={\Delta H}_T + {\Delta H}_p

В этом соотношении два слагаемых. Первое, {\Delta H}_T, зависит от разности температур, а второе, {\Delta H}_p, зависит от разности давлений.

Выражение (1) задает плотность теплового потока на входной границе (-\mathbf{n} \cdot \mathbf{q}= k\nabla T \cdot \bf{n}) как произведение массовой скорости на разность энтальпий жидкости при температуре вверх по потоку и во входном сечении.

Влияние температуры на граничное условие Inflow (Входящий поток)

Как показано в (2), изменение энтальпии в общем случае определяется изменением температуры и давления. Однако зависимость энтальпии от давления {\Delta H}_p пренебрежимо мала, если в уравнении энергии не учитывается работа сил давления.

В COMSOL Multiphysics® можно контролировать учет этого слагаемого в настройках узла мультифизической связи Nonisothermal Flow (Неизотермический поток), включив соответствующий флажок:

Снимок экрана с установленным флажком Flow Heating (Нагрев потока) в COMSOL Multiphysics®.

Еще один классический случай, когда этот член уравнения не учитывается — использование уравнения состояния идеального газа. Действительно, в этом случае \alpha_p = \frac{1}{T}.

Для начала предположим, что энтальпия не зависит от давления. (В примерах выше можно увидеть, что часто это допущение справедливо.) Тогда граничное условие выглядит следующим образом:

(3)

k\nabla T \cdot \mathbf{n} = \int_{T_{\mathrm{upstream}}}^{T}{C_p \mathrm{d} T} \: \rho\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}

Если на входе преобладает конвективный теплоперенос (большие массовые скорости), градиент температуры, а следовательно, и тепловой потока за счет теплопроводности в направлении по нормали к входной границе очень малы. В этом случае из (3) следует, что разность энтальпий близка к нулю. Поскольку величина C_p является положительной, для удовлетворения граничного условия Inflow (Входящий поток) должно быть выполнено равенство T = T_{\mathrm{upstream}}. Таким образом, если на входе преобладает конвективный поток, граничное условие Inflow (Входящий поток) почти аналогично граничному условию Дирихле, которое задает температуру во входном сечении.

Наоборот, если массовая скорость мала или если рядом со входом имеются мощные источники или стоки тепла, то тепловым потоком за счет теплопроводности пренебрегать нельзя. Более того, необходимо скорректировать температуру на входе, чтобы в соответствии с уравнением (3) обеспечить тепловой баланс между конвективным потоком, привносимым в расчетную область, и тепловым потоком, переносимым за счет теплопроводности за пределы расчетной области через входную границу.

Таким образом, можно в окрестности входного сечения учесть реальный поток тепла вверх по течению вследствие теплопроводности среды.

Сравнение граничного условия Inflow (Входящий поток) и условия Данквертса

В рамках допущения о том, что энтальпия зависит только от температуры, а теплоемкость постоянна, то (1) можно записать следующим образом:

(4)

k \nabla T \cdot \mathbf{n} = (T-T_\mathrm{upstream})C_p \rho\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}

что соответствует граничному условию Данквертса, используемому, например, в интерфейсе Transport of Diluted Species (Перенос массы в слабых растворах).

На практике существует множество моделей, в которых величина теплоемкости почти постоянна, поэтому граничное условие Inflow (Входящий поток) работает как граничное условие Данквертса со средним значением теплоемкости. Интересно, что если величина теплоемкости не является постоянной, то граничное условие Inflow (Входящий поток) автоматически учитывает входящий поток, соответствующий энтальпии, и не может быть выражено простым использованием граничного условия Данквертса.

Влияние давления на граничное условие Inflow (Входящий поток)

Рассмотрим общий случай. В (2) разность энтальпий зависит и от разности температур, и от разности давлений.

Учитывая, что граничное условие Inflow (Входящий поток) моделирует виртуальный канал, откуда среда поступает на вход расчетной области, должен быть перепад давления между входом виртуального канала и границей, на которой задано условие. Это объясняет, почему давление вверх по течению отличается от давления во входном сечении. Над средой, движущейся по каналу, совершается работа сил давления, в результате чего температура на входе виртуального канала отличается от температуры на границе, на которой задано граничное условие Inflow (Входящий поток). В (2) это описано с помощью члена, зависящего от давления. Отметим, что вязкая диссипация в виртуальном канале не учитывается.

На практике вклад давления {\Delta H}_p зачастую равен нулю (для идеального газа или в случае пренебрежения работой сил давления) или мал в том смысле, что очень малой разницы между температурой перед входом и температурой на входе достаточно, чтобы уравновесить его. Для нагладности рассмотрим два обычных случая:

  1. Воздух: В Библиотеке материалов плотность воздуха определяется законом идеального газа, таким образом, вклад давления в энтальпию {\Delta H}_p равен нулю.
  2. Вода: Порядок величины C_p составляет 1000 Дж/К/кг, а порядок \frac{1-\alpha_p T}{\rho} составляет 0,001 м3/кг. Разность давления в 1 бар (= 105 Па) и разность температур в 0,1 К дают {\Delta H}_T \sim 0.1 \mathrm{K} \times 1000 \mathrm{J/K/kg} = 100 \mathrm{J/kg} и {\Delta H}_p \sim 0.001\mathrm{m^3/kg} \times 10^5\mathrm{Pa} = 100\mathrm{J/kg} соответственно. Оба дают вклад одного порядка в \Delta H.

Сравнение граничных условий Inflow (Входящий поток) и Temperature (Температура)

Чтобы продемонстрировать, как работает граничное условие Inflow (Входящий поток) по сравнению с граничным условием Temperature (Температура), можно проанализировать профиль стационарной температуры в длинном канале в двух измерениях, который в действительности обозначает поток между двумя пластинами. До определенной точки канал с обеих сторон охлаждается конвективным тепловым потоком. Высота канала — 1 см, а длина части, на которую воздействует конвективный тепловой поток, — 10 см. Канал заполнен воздухом (его плотность определяется по уравнению идеального газа).

Средняя скорость потока на входе, расположенном на некотором расстоянии от области охлаждения, — Uin, а температура Thot = 30°C. Конвективный тепловой поток определяется как h(Tcold-T), где h = 100 Вт/м2/К и Tcold = 10°C.

Изменение температуры по большей части происходит после точки, где задан тепловой поток, поэтому при желании можно уменьшить размер вычислительной области, моделируя только часть канала до области охлаждения. На изображении ниже показаны два эскиза. На эскизе снизу показана часть канала длиной Linlet = 2 см до области охлаждения, а на эскизе сверху вход совпадает с началом участка охлаждения (Linput = 0).

Две схемы, демонстрирующие одну и ту же геометрию с разными областями, на которые воздействует тепловой поток.
Представление геометрии с отрезком до участка воздействия теплового потока (наверху) и со входом в начале участка воздействия теплового потока (внизу).

Теперь можно найти решение для модели с помощью граничного условия Temperature (Температура) или Inflow (Входящий поток) на входе канала. В модели изменяются два параметра:

  1. Скорость на входе Uin: 1 см/с и 10 см/с
  2. Длина канала до области, на которую воздействует тепловой поток, Linlet: 0; 0,2; 1, 2 см

Целью данного моделирования является определение значений Lnlet, для которых можно задать точные тепловые граничные условия с помощью граничных условий Temperature (Температура) и Inflow (Входящий поток) соответственно.

Результаты моделирования для самой высокой скорости потока на входе

Прокомментируем результаты для Uin = 10 см/с. В левой части представленного ниже рисунка изображен профиль температуры, для которого используется граничное условие Temperature
(наверху) и Inflow (внизу). Эти два графика очень похожи, и на их основе очень сложно сделать какой-либо вывод, хотя на графике справа имеется больше подробностей.

На графике справа показан профиль температуры вдоль вертикальной линии в начале зоны охлаждения. (Она совпадает с границей входа, если Linlet = 0. Далее в этой статье мы будем называть ее «опорной линией».) Сплошные линии обозначают результаты, полученные при использовании граничного условия Inflow (Входящий поток), а пунктирные — при использовании граничного условия Temperature (Температура). Разные цвета соответствуют разным значениям Linlet.

Для начала рассмотрим результаты, полученные при использовании граничного условия Temperature (Температура), обозначенные пунктирной линией. На графике видно, что при повышении значения Linlet профиль температуры вдоль опорной линии сходится с данным профилем. При Linlet = 2 см улучшений не наблюдается — результаты совпадают с полученными при Linlet = 1 см и становится ясно, что можно больше не увеличивать длину канала.

При Linlet = 0 профиль температуры сильно отличается от профиля, полученного в сошедшемся решении. Это указывает на классическую проблему, возникающую при использовании граничного условия Temperature (Температура): поскольку профиль температуры вдоль опорной линии заранее не известен, лучше всего задать приемлемую температуру — в данном случае перед входом.

Если при использовании граничного условия Inflow (Входящий поток) значение Linlet повышается, то профиль температуры вдоль опорной линии сходится с тем же профилем, как при использовании граничного условия Temperature (Температура).

Можно видеть, особенно при Linlet = 0, что решение намного ближе к сошедшемуся профилю, чем при использовании граничного условия Temperature (Температура).

График поля температуры при использовании граничного условия Inflow (Входящий поток) или Temperature (Температура).
График для сравнения температуры вдоль опорной линии при использовании граничных условий Inflow (Входящий поток) и Temperature (Температура).

Слева: поле температуры в канале при использовании граничного условия Temperature (вверху) и Inflow (внизу) при Linlet = 0 и Uin = 10 см/с. Справа: сравнение температуры вдоль опорной линии при использовании граничного условия Inflow (сплошная линия) и Temperature (пунктирная линия).

Важно помнить о том, что во многих проектах геометрия включает входы с питанием от каналов, не представленных в геометрии. В то время как в простых геометрических конструкциях, как эта, можно легко добавить часть канала перед входом, в сложных геометриях это может быть затруднительно. Даже при Linlet = 0 с граничным условием Inflow (Входящий поток) можно приемлемо прогнозировать профиль температуры на входе.

Если достаточно удлинить канал перед входом, то профиль температуры на границе входа, полученный при использовании граничного условия Inflow (Входящий поток), совпадает с профилем, полученным при использовании граничного условия Temperature (Температура). Это согласуется с результатами предшествующего анализа, а именно с утверждением о том, что при преобладании конвекции и использовании модели идеального газа граничное условие Inflow (Входящий поток) аналогично граничному условию Temperature (Температура). Любопытно, что для численной схемы эти два условия в данном случае абсолютно идентичны. (Например, количество итераций, выполняемых нелинейным решателем, одинаково для обоих условий.)

Помимо профиля температуры, следует также обратить внимание на величину плотности теплового потока. В таблице ниже приведены значения интенсивности теплового потока при разных значениях Linlet. В одном столбце содержится значение для граничного условия Inflow (Входящий поток), а в другом — значение для граничного условия Temperature (Темпераура).

Схема с табличными значениями теплового потока.
В таблице приведены значения плотности теплового потока при наивысшей скорости на входе.

При использовании граничного условия Inflow (Входящий поток) величина теплового потока почти постоянная. При использовании граничного условия Temperature (Температура) на величину теплового потока влияет значение Linlet.

Результаты моделирования для самой низкой скорости на входе

Поскольку в данном случае скорость ниже, конвективный перенос теплоты больше не преобладает. На изображении слева внизу показано поле температуры, полученное при использовании граничного условия Temperature (вверху) и при использовании граничного условия Inflow (внизу). Несмотря на то, что эти два графика похожи, при более тщательном их рассмотрении становится ясно, что в конце границы входа имеется разница между двумя профилями температуры.

На графике справа показан профиль температуры вдоль опорной линии. Как и на предыдущих графиках, сплошные линии обозначают результаты использования граничного условия Inflow (Входящий поток), пунктирные — результаты использования граничного условия Temperature (Температура), а разные цвета соответствуют разным значениям Linlet.

И снова при Linlet = 0 граничное условие Temperature (Температура) определяет постоянную температуру вдоль опорной линии. Этот профиль температуры значительно отличается от решения, полученного при самых больших значениях Linlet. Как было отмечено выше, при повышении значения Linlet температура сходится с данным профилем. Однако здесь сходимость медленнее по сравнению со случаем, где Uin = 10 см/с. При сопоставлении решений, полученных при использовании граничных условий Inflow (Входящий поток) и Temperature (Температура), можно заметить, что при любом значении Linlet решение, полученное при использовании Inflow, всегда ближе к сошедшемуся профилю.

График температуры при использовании двух разных граничных условий.
График для сравнения температуры с опорной линией при использовании двух разных граничных условий.

Слева: поле температуры в канале при использовании граничного условия Temperature(вверху) и Inflow (внизу) при Linlet = 0 и Uin = 10 см/с. Справа: сравнение температуры вдоль опорной линии при использовании граничного условия Inflow (сплошная линия) и Temperature (пунктирная линия).

В таблице ниже также показана величина теплового потока для двух граничных условий.

Таблица теплового потока для самой низкой скорости на входе.
В таблице приведены значения теплового потока при самой низкой скорости на входе.

Наблюдается тенденция, аналогичная первому случаю, за исключением того, что при использовании граничного условия Temperature (Температура) влияние Linlet на величину теплового потока намного значительнее. Если граничное условие Temperature (Температура) используется при Linlet = 0, то величина теплового потока больше почти в 2 раза по сравнению с решением, полученным для длинного начального участка. При использовании граничного условия Inflow (Входящий поток) величина теплового потока прогнозируется верно при любом значении Linlet.

Эти результаты показывают, что при малом значении Linlet (и особенно при Linlet = 0) профиль температуры и величина теплового потока более реалистичны при использовании граничного условия Inflow (Входящий поток), чем при использовании однородного распределения температуры, задаваемого граничным условием Temperature (Температура). Это можно объяснить тем, что однородный профиль температуры на входе не является реалистичным. На практике температура не регулируется непосредственно на входе — это скорее происходит в резервуаре, расположенном на определенном расстоянии.

Заключение

В то время как во многих случаях Temperature (Температура) и Inflow (Входящий поток) служат для описания похожих условий и дают похожие результаты моделирования, существует ряд задач (особенно для медленных течений и небольших размеров), в которых интенсивность переноса тепла за счет теплопроводности сопоставима с конвективным потоком, а значит граничное условие Inflow (Входящий поток) дает более реалистичный профиль температуры, чем граничное условие Temperature (Температура). Кроме того, использование граничного условия Temperature (Температура) может давать неверные значения температуры, в результате чего в расчете появляются нереалистично высокие тепловые потоки.

Поскольку применение граничного условия Inflow (Входящий поток) при решении не вызывает трудностей или дополнительных численных затрат, его предпочтительно использовать при расчете теплопередачи для задания граничного условия во входном сечении. Оно используется в большинстве примеров моделей в Библиотеке приложений.

Следующий шаг

Узнать подробнее обо всех доступных функциях для моделирования теплопередачи в COMSOL Multiphysics можно, нажав на кнопку ниже.

Условные обозначения

C_p: Теплоемкость (единица СИ: Дж/К/кг)

h: Коэффициент теплоотдачи (единица СИ: Вт/м2/К)

\mathbf{n}: Вектор нормали к границе (единица СИ: 1)

k: Коэффициент теплопроводности (Вт/К/м)

p: Давление (единица СИ: Па)

\mathbf{q}: Плотность теплового потока (единица СИ: Вт/м2)

p_{\mathrm{upstream}}: Давление перед входом (единица СИ: Па)

T: Температура (единица СИ: К)

T_{\mathrm{cold}}, T_{\mathrm{hot}}: Низкая и высокая температура (единица СИ: К)

T_{\mathrm{upstream}}: Температура перед входом (единица СИ: К)

U_{\mathrm{in}}: Скорость на входе (единица СИ: м/с)

\alpha_p: Коэффициент термического расширения (единица СИ: 1/К)

\rho: Плотность (единица СИ: кг/м3)

\mathbf{u}: Скорость (единица СИ: м/с)

\Delta H: Изменение энтальпии относительно номинальной энтальпии (единица СИ: Дж/кг)


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта