Использование разрывного метода Галёркина для моделирования линейных ультразвуковых явлений

Mads Herring Jensen 26/01/2017
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Для моделирования крупномасштабных акустических задач требуются численные методы, которые эффективно работают с памятью, и одним из таких подходов является разрывный метод Галёркина (discontinuous Galerkin). Для того, чтобы с его помощью упростить моделирование, в модуль Акустика был добавлен новый физический интерфейс: Convected Wave Equation, Time Explicit (Конвекционное волновое уравнение, временная область с явным решателем). С помощью него можно моделировать линейные ультразвуковые явления с учетом стационарного фонового потока (background flow). В данной заметке на примере ультразвукового расходомера мы покажем, как использовать этот интерфейс.

Физический интерфейс Convected Wave Equation, Time Explicit

Новый физический интерфейс Convected Wave Equation, Time Explicit является составной частью модуля Акустика. Технология, лежащая в основе этого интерфейса, основана на разрывном методе Галёркина (DG-FEM — discontinuous Galerkin finite element method) и использует явный временной решатель, который является очень эффективным в плане расхода оперативной памяти. Использование интерфейса Convected Wave Equation, Time Explicit позволит вам эффективно решать сложные нестационарные линейные акустические задачи, в которых может быть задано большое число различных длин волн излучения на фоне стационарного потока среды. Доступен также функционал absorbing layers (поглощающие слои), которые можно использовать в качестве неотражающего граничного условия.

Модель ультразвукового расходомера, открытая в интерфейсе построителя моделей COMSOL Multiphysics®.
Модель ультразвукового расходомера, в которой используется физический интерфейс Convected Wave Equation, Time Explicit. В модели также проводится предварительный гидродинамический расчет фонового потока через расходомер.

Использование производительной методики DG-FEM в комбинации с поглощающими слоями для эффективного ограничения расчётной области позволяет решать комплексные крупномасштабные (в терминах длин волн) задачи во временной области. С помощью физического интерфейса Convected Wave Equation, Time Explicit можно моделировать линейные акустические сигналы, которые распространяются на дальние по сравнению с длиной волны расстояния.

Данный функционал будет полезен для моделирования линейных ультразвуковых устройств таких, как ультразвуковые расходомеры и ультразвуковые датчики, в которых важным параметром является время прохождения сигнала. Помимо ультразвуковых задач, с помощью этого физического интерфейса можно исследовать распространение и динамику звуковых импульсов в помещениях и в салонах автомобиля.

Решение системы линеаризованных уравнений Эйлера

Управляющими уравнениями, которые лежат в основе физического интерфейса Convected Wave Equation, Time Explicit, являются линеаризованные уравнения Эйлера с учетом адиабатического приближения (см. [1] и [2]). Таким образом, решаемые уравнения сохранения массы и импульса выглядят следующим образом:

\begin{align}
& \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho \mathbf{u}_0 + \rho_0 \mathbf{u})=0 \\
& \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}_0\cdot\nabla)\mathbf{u} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}_0 + \frac{1}{\rho_0}\nabla p -\frac{\rho}{\rho_0^2}\nabla p_0 = 0 \\
& p=c_0^2 \rho
\end{align}

Акустическое давление p и колебания акустической скорости u являются зависимыми, т.е. базовыми переменными. Скорость звука обозначена как c0, а усреднённые параметры фонового потока записаны с использованием индекса 0: плотность ρ0, давление p0 и поле скоростей u0. Фоновый поток может быть стационарным с переменным градиентом скорости, меняющимся от небольших до средних значений.

Когда фоновая скорость равна нулю, уравнения фактически сводятся к классическому волновому уравнению. Обратите внимание, что в данном физическом интерфейсе не учитываются потери, и вышеуказанные уравнения записаны в консервативной форме.

Повышение эффективности за счет явного решателя

Как упоминалось ранее, физический интерфейс Convected Wave Equation, Time Explicit основан на разрывном методе Галёркина, который использует явный решатель по времени и эффективно расходует оперативную память. При использовании данного подхода с математической точки зрения нет необходимости инвертировать полную матрицу системы на каждом шаге по времени. Для сравнения, в методах, которые используют неявные решатели по времени, требуется инвертирование матрицы, на что затрачивается много памяти при решении объемных задач. В DG-FEM формулировке инвертируется только матрица массы для опорного элемента сетки (при этом сокращается размер) перед расчётом во временной области. Таким образом, этот метод является бесквадратурным в отношении матрицы массы. Также стоит отметить, что для DG-методики вычисление локального вектора потока и дивергенции потока — это трудоёмкий процесс, который эффективно выполняется при помощи базовых подпрограмм линейной алгебры 3-го уровня (BLAS level 3 operations).

Считается, что некоторые несложные задачи, которые не занимают много оперативной памяти, быстрее решать, используя неявные методы. Однако это не всегда верно. При сравнении важно смотреть на получаемую точность и уровень ошибок. При решении неявным методом есть соблазн использовать слишком большой шаг по времени, из-за которого могут возникать ошибки. С другой стороны, при использовании разрывных элементов метод Галёркина является более точным для тех же порядков полиномов (дискретизации) и одинаковой сетки.

В физических интерфейсах на основе классического метода конечных элементов таких, как Pressure Acoustics, Transient (Скалярная акустика, временная область) или Linearized Navier-Stokes, Transient (Линеаризованные уравнения Навье–Стокса, временная область), используется неявный решатель по времени. Проблема заключается в том, что потребление оперативной памяти для неявных методов быстро растёт с увеличением размера модели или частоты. Последнее связано с тем, что наименьшая длина волны в системе должна быть разрешена вполне определённым числом элементов сетки. Тем не менее, классическая конечно-элементная формулировка является более гибкой, т.к. может быть легко использована при решении мультифизических прикладных задач.

По умолчанию физический интерфейс Convected Wave Equation, Time Explicit использует дискретизацию четвертого порядка, что обеспечивает быстрое и эффективное решение волновых задач разрывным методом Галёркина. Это позволяет строить сетку с размером конечных элементов, равным примерно половине длины волны, соответствующей максимальной частоте в анализе. Таким образом, упрощается построение сетки для крупномасштабных задач.

Например, в модели ультразвукового расходомера, о которой пойдёт речь далее, содержится 7.6 миллионов степеней свободы (DOF). На её решение на стандартной рабочей машине требуется порядка 9.5 Гб оперативной памяти. Решение модели такого размера на обычном персональном компьютере при использовании неявных решателей не представляется возможным. Время решения при этом больше зависит от скорости процессора и количества доступных ядер, чем от количества оперативной памяти, т.к. исходный код поддерживает возможность распараллеливания. Разрывной метод Галёркина очень хорошо подходит для распараллеливания.

COMSOL планирует расширять использование DG-FEM технологии в модуле Акустика, так как он хорошо себя зарекомендовал для эффективного решения больших волновых задач. Мы также продолжим работу над улучшениями и более точной настройкой методики и используемых решателей.

Функционал Absorbing Layer

Как уже упоминалось выше, в физическом интерфейсе Convected Wave Equation, Time Explicit есть опция Absorbing Layer (Поглощающие слои). Данное условие похоже по функционалу на идеально согласованные слои (perfectly matched layer — PML), которые представлены во многих интерфейсах для частотной области. Разница заключается в том, что поглощающие слои комбинируют координатное растяжение, фильтрацию и простое слабоотражающее импедансное граничное условие.

Внутри выделенного слоя координатное растяжение эффективно уменьшает скорость распространения волн и обеспечивает их т.н. «выравнивание», что ориентирует волны практически по нормали к внешним границам. Фильтрация обеспечивает затухание и фильтрует высокочастотные компоненты волн, которые генерируются в следствие масштабирования. На внешней границе слоя простое условие импеданса, которое как раз эффективно в случае нормального падения волны, удаляет все оставшиеся компоненты. На анимации, созданной в учебной модели Gaussian Pulse in 2D Uniform Flow: Convected Wave Equation and absorbing Layers (Гауссиан на фоне однородного потока в 2D: конвекционное волновое уравнение и поглощающие слои), проиллюстрировано действие поглощающих слоёв.

 

Анимация распространения гауссиана в однородном фоновом потоке. Поток движется слева направо с числом Маха равным 0.5. Absorbing layers (поглощающие слои) поглощают выходящие из расчетной области волны.

Моделирование линейных ультразвуковых явлений в COMSOL Multiphysics®

В качестве примера использования физического интерфейса Convected Wave Equation, Time Explicit давайте рассмотрим модель ультразвукового времяпролётного расходомера. В ультразвуковых расходомерах есть специальная сигнальная трубка (вмонтированная в основную трубу с потоком жидкости), в которой распространяется ультразвуковой сигнал от источника к приёмнику. Чтобы измерить скорость основного потока, рассчитывается разница во времени приёма двух сигналов, которые одновременно проходят снизу вверх (upstream) и сверху вниз (downstream) относительно течения.

В нашей модели по трубе диаметром 5 мм течёт вода. На рисунке ниже изображено поле фонового потока, полученное при условии использования симметрии. Средняя скорость в канале составляет 10 м/с. Обратите внимание, что для моделирования потока потребуется модуль Вычислительная гидродинамика (CFD). Сигнальная трубка — это небольшое боковое ответвление, расположенное под углом 45°.

Чтобы узнать больше об этой модели, ознакомьтесь с доступной в Библиотеке моделей и приложений пошаговой инструкцией.

На рисунке изображены результаты моделирования осредненного фонового потока в расходомере.
Осреднённый фоновый поток внутри ультразвукового расходомера.

На анимации ниже показано распространение акустического импульса вдоль сигнальной трубки, его взаимодействие с фоновым потоком и в т.ч. явления дифракции. Сигнал представляет собой импульс с несущей частотой 2.5 МГц и огибающей по Гауссу. На входе и выходе главного канала заданы поглощающие слои. На анимации изображена только величина акустического давления на плоскости симметрии модели. Как уже упоминалось ранее, модель содержит 7.6 млн степеней свободы и требует для решения порядка 9.5 Гб оперативной памяти.

 

Распространение акустического импульса снизу вверх по сигнальной трубке в ультразвуковом расходомере.

На графике ниже показаны принятые сигналы при распространении импульса вверх (зелёный) и вниз (синий). Мы измерили разницу между временами прибытия сигналов, которая составила 49 нс, на основе чего не сложно получить расчетное значение средней скорости потока, которое составило 10.75 м/с. Не смотря на то, что реальная скорость составляет 10 м/с, разница в результатах обусловлена тем, что при расчете также необходим поправочный коэффициент профиля потока (flow profile correction factor (FPCF)), который является важным параметром для этой модели. Используя моделирование, можно легко рассчитать его значение, так как само поле потока и его профиль a priori известны на основе результатов предварительного расчёта. На основе данной модели можно оптимизировать геометрию расходомера, а также проанализировать различные сигналы.

Профили принятых сигналов при распространении импульса вверх (upstream) и вниз (downstream) в расходомере.
Профили принятых сигналов при распространении импульса вверх (upstream) и вниз (downstream) в расходомере. Разность между временами прибытия используется для расчёта средней скорости в ультразвуковом расходомере.

Рекомендации по моделированию с использованием физического интерфейса Convected Wave Equation, Time Explicit

Примечание редактора: Начиная с версии 5.3 в COMSOL Multiphysics® доступна новая функция оптимизации качества сетки, которая позволяет ускорить решение разрывным методом Галёркина. Мы рекомендуем её использовать (при наличии возможности), так как это важно для эффективности метода. Чтобы узнать больше, ознакомьтесь с информацией в Release Highlights (Обзор релиза) или прочитайте руководство пользователя по модулю Акустика.

Давайте разберём некоторые важные аспекты и настройки, которые желательно знать при использовании физического интерфейса Convected Wave Equation, Time Explicit, основанного на формулировке DG-FEM. Некоторые используемые при этом техники отличаются от тех, которые характерны для интерфейсов модуля Акустика, построенных на классическом методе конечных элементов. Обо всём этом вы можете прочитать в руководстве пользователя для модуля Акустика (Acoustics Module User's Guide) в разделе "Modeling with the Convected Wave Equation Interface" (Моделирование с использованием физического интерфейса "Конвекционное волновое уравнение").

Настройки для Поглощающих слоев

Поглощающие слои добавляются так же, как и идеально согласованные слои (PML), т.е. в дереве модели в узле Definitions (Определения). В геометрической последовательности при этом нужно явно отрисовать данную область. (Это удобно сделать с помощью опции Layers (Слои) в настройках геометрического примитива). Помимо поглощающего слоя также необходимо задать граничное условие Acoustic Impedance (Акустический Импеданс) на внешних границах данного слоя. В остальном для поглощающих слоев вы можете оставить настройки по умолчанию, т.к. они, как правило, обеспечивают хорошее решение. Однако продвинутые пользователи могут получить доступ к детальным настройкам фильтрации, активировав режим просмотра Advanced Physics Options (Расширенные физические параметры) в дереве модели.

Скриншот настроек для Absorbing Layer и иллюстрация использования ГУ Акустический импеданс в COMSOL Multiphysics®.
Настройки для Absorbing Layer и иллюстрация использования граничного условия Acoustic Impedance.

Нюансы построения сеток

Построение сетки для модели с использованием физического интерфейса Convected Wave Equation, Time Explicit немного отличается от большинства других примеров модуля Акустика. Так как по умолчанию используются полиномиальные базисные функции 4-ого порядка, то для адекватного разрешения волновых процессов можно выбрать размер конечного элемента равный λmin/2 или λmin/1.5. Обратите внимание, что внутренний шаг явного решателя по времени строго зависит от критерия Куранта—Фридрихса—Леви (CFL condition) и, следовательно, от размера элемента. Это означает, что размер наименьших конечных элементов напрямую влияет на шаг по времени, поэтому по возможности стоит избегать слишком мелких элементов. В пакете COMSOL Multiphysics® внутренний шаг по времени, который используется для решения физического интерфейса Convected Wave Equation, Time Explicit, автоматически выбирается на основе сетки и добавленных физических интерфейсов.

Рекомендации по сохранению данных для уменьшения размера модели

При решении крупномасштабных задач во временной области, в которых содержатся миллионы степеней свободы, количество данных в выходном файле может быть очень большим и занимать десятки Гб. В данном случае можно воспользоваться полезным приёмом — сохранять данные только в тех геометрических объектах, на которых действительно необходима визуализация и постобработка, например, на плоскости симметрии, вдоль прямой или в точке. В COMSOL Multiphysics это можно указать в подразделе Store fields in output (Сохранять полей на выходе), который находится в настройках исследований под разделом Values of Dependent Variables (Значения зависимых переменных). Можно просто выбрать нужные геометрические выборки (selections). Обратите внимание, что в поле Times в Study Settings задаются точки по времени (диапазоны), в которых будет сохраняться решение. Они на прямую не связаны с внутренним шагом решателя.

Скриншот настроек, используемых для сохранения данных и уменьшения размера модели.
Уменьшить размер файла можно, точно настроив времена сохранения решения в модели, при этом указывая только нужные геометрические выборки.

Постобработка результатов

При постобработке результатов модели с использованием физического интерфейса Convected Wave Equation, Time Explicit также необходимо помнить, что используется дискретизация четвертого порядка. Это означает, что внутри конечного элемента функция формы имеет большое число дополнительных степеней свободы, и следовательно, может содержать информацию о различных пространственных распределениях и особенностях. Полностью извлечь данную информацию можно при выборе высокого разрешения (Resolution) в разделе графика Quality (Качество графика). По окончанию расчета, графики, построенные по умолчанию, уже настроены с использованием значения 6 в Element refinement. При добавлении пользовательских графиков, следует вручную изменять разрешение.

На скриншоте показано, как настраивать пользовательское разрешение для оптимизации качества графиков в постобработке.
Выставление пользовательских настроек разрешения графика (опция Element refinement) приводит к качественному представлению решения в формате пространственных распределений.

На рисунке ниже показан пример вновь добавленного графика с дефолтными настройками (слева) и при использовании описанных пользовательских настроек (справа). На первый взгляд, кажется, что решение слева ошибочное и некорректное. Однако, как только мы корректно настроим опцию Quality (Качество), мы наглядно увидим адекватное волновое решение.

Визуализация акустической скорости в процессе моделирования линейных ультразвуковых явлений при неправильных настройках разрешения.
Визуализация акустической скорости в процессе моделирования линейных ультразвуковых явлений с неправильными настройками разрешения.

Визуализация акустической скорости с неправильными (слева) и правильными (справа) настройками разрешения.

Примечание редактора: С выпуском новой версии 5.3 COMSOL® производительность данной технологии значительно улучшилась. В будущих версиях программного обеспечения мы продолжим работу по улучшению этих показателей.

Дополнительные материалы по моделированию акустических явлений в COMSOL Multiphysics®

Список использованных источников

  1. A. D. Pierce, "Acoustics, An Introduction to its Physical Principles and Applications," Acoustical Society of America (1991).
  2. A. D. Pierce, "Wave equation for sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow," The Journal of the Acoustical Society of America. 87, pp. 2292 (1990).

Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта