Использование алгебраического многосеточного метода (Algebraic Multigrid Method, AMG) для крупномасштабных гидродинамических моделей

Ed Fontes 26/03/2018
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Алгебраический многосеточный решатель обеспечивает надежные вычисления при гидродинамическом моделировании. Алгебраический многосеточный метод доступен в программном пакете COMSOL Multiphysics®, начиная с версии 5.3a, и требует только одной расчетной сетки в отличие от метода геометрического многосеточного метода (GMG), для использования которого необходима по крайней мере одна дополнительная более грубая сетка. Таким образом, устраняются трудности создания грубых сеток для сложной геометрии с мелкими деталями, для которых построение сетки проблематично без использования мелкой сетки.

Гидродинамическая задача, математическая и численная модели

Течение среды можно точно описать законами сохранения импульса, массы и энергии. Самым точным способом описания этих законов являются дифференциальные уравнения в частных производных (PDE). Система уравнений, описывающая эти законы, является нелинейной. На практике такие уравнения обычно невозможно решить аналитическим способом. Поэтому для их решения выполняется дискретизация в пространстве и времени для аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных алгебраическими уравнениями, которые поддаются решению. Можно сказать, что математическая модель аппроксимируется с помощью численной модели.

Геометрия модели центробежного насоса и приближенная численная модель
«Реальное» описание геометрии (слева) аппроксимируется с помощью дискретного описания, при этом балансы импульса и массы выполняются на каждом элементе.

Для задач, относящихся к пространству и времени, в COMSOL Multiphysics используется метод линий, в котором дискретизация в пространстве осуществляется методом конечных элементов, а дискретизация по времени — некоторым стандартным методом для обыкновенных дифференциальных уравнений, например с помощью формулы дифференцирования назад (BDF) или обобщенного α-метода.

Уравнения движения среды нелинейны, следовательно, уравнения дискретизированной численной модели также нелинейны. В нестационарных задачах система нелинейных уравнений решается на каждом временном шаге. В задачах со стационарным потоком уравнения численной модели образуют систему нелинейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить только один раз.

Для решения систем нелинейных уравнений в стационарных и нестационарных задачах используется демпфированный метод Ньютона, при котором система решается как полностью сопряженная. Этот метод основан на линеаризации нелинейных уравнений и решении линейных уравнений в последовательности итераций, которые также известны как итерации Ньютона, до получения требуемой точности.

В чем смысл использования итерационных методов для систем линейных уравнений?

В нашем случае имеются сотни тысяч или миллионы уравнений и неизвестных, и это количество прямо пропорционально числу узлов в сетке конечных элементов, с помощью которой были получены алгебраические уравнения. Решение системы линейных уравнений на каждой итерации метода Ньютона слишком затратно при использовании прямого решателя. Однако эти линейные уравнения можно решить с помощью итерационного решателя, расходуя при этом намного меньше памяти.

Модель течения внутри центробежного насоса, построенная в COMSOL Multiphysics с помощью AMG-решателя.
Даже для этой относительно простой модели потока в центробежном насосе требуется 350 000 уравнений и неизвестных. Благодаря AMG-методу эти уравнения можно решить на настольном компьютере.

Для задач о течении среды в COMSOL Multiphysics используется метод обобщенных минимальных невязок (GMRES) — итерационный метод решения очень больших систем линейных уравнений. Систему линейных уравнений можно изменить так, чтобы метод GMRES работал намного эффективнее.

Многосеточные методы

Многосеточные методы представляют собой оптимальную технологию для изменения или предобуславливания системы уравнений для таких итерационных методов, как GMRES.

GMG-метод работает в отношении системы линейных уравнений для набора различных сеток — от плотной до грубой. Он передает возможные решения — итерации — между разными системами линейных уравнений, соответствующими грубым и плотным сеткам. Основная идея состоит в том, что прямой метод работает только для самой грубой сетки, и эта информация используется для ускоренного поиска решения для более плотных сеток. Задача на грубой сетке должна быть достаточно малой, чтобы не оказывать влияния на производительность метода.

В каждой итерации GMRES GMG-метод может переходить от более плотной сетки, на которой рассчитывается правая часть системы уравнений, к более грубой сетке с отображением приближенных решений на с плотной на более грубую сетку. Этот процесс называется предварительным сглаживанием. Решение уравнений корректируется на уровне самой грубой сетки с помощью прямого решателя. Затем это решение снова отображается на более плотные уровни сетки, что называется последующим сглаживанием.

Процесс движения вверх и вниз по уровням сетки (цикл смены уровней) может повторяться в каждой итерации GMRES. При достижении предела погрешности в итерациях GMRES у нас уже имеется достаточно хорошее решение для системы линейных уравнений.

Зачем использовать AMG-метод?

GMG-метод чрезвычайно эффективен при решении гидродинамических задач. Однако у него есть существенное ограничение. Для сложных геометрических моделей может быть трудно или почти невозможно создать грубую сетку, дающую достаточно малую систему уравнений.

Модель центробежного насоса крупным планом с изображением сетки и линий тока.
Вокруг тонких лопастей центробежного насоса присутствуют мелкомасштабные элементы жидкости. Это означает, что даже при очень грубой сетке образуется слишком много элементов и, следовательно, слишком много уравнений, чтобы их можно было решить с помощью прямого решателя.

AMG-метод не требует использования разных уровней сетки. Процесс перехода к более грубой сетке при использовании AMG-метода зависит только от структуры системы линейных уравнений или, точнее, от матрицы, представляющей левую часть системы уравнений. Посредством этого метода элементы матрицы объединяются и формируют новую матрицу меньшего размера. Процесс объединения элементов может повторяться, в результате чего получаются матрицы меньших размеров. Затем им присваиваются различные уровни в зависимости от количества выполненных объединений. Для матриц, построенных на разных уровнях, используется тот же принцип многосеточного цикла с предварительным сглаживанием, последующим сглаживанием и решением на уровне самой грубой сетки, что и в GMG-методе.

Снимок экрана с пояснениями настроек для AMG-решателя в COMSOL Multiphysics.
Ниже показаны настройки итерационного решателя (GMRES) в сочетании с AMG-методом для моделирования обтекания тела Ахмеда. Обратите внимание на то, что метод используется для решения уравнений импульса и неразрывности (u, v, w, p) и для переменных модели турбулентности (k, ε) раздельным решателем на двух отдельных шагах.

Что насчет производительности?

Для контроля эффективности разных настроек решателей в COMSOL Multiphysics каждый день проводится несколько тысяч испытаний. Одним из тестовых примеров использования итеративных решателей для моделирования потока текучей среды является так называемая модель тела Ахмеда. Другой пример — так называемый ламинарный статический смеситель. Результаты измерений показывают, что на компьютере с одноядерным процессором при 6,3 миллионах степеней свободы AMG-метод позволяет решить задачу на 13% быстрее, чем GMG-метод.

Эталонная модель, используемая для проверки производительности итерационного решателя в COMSOL Multiphysics.
Тело Ахмеда представляет собой эталонную модель для анализа турбулентного потока и контрольную модель для моделей турбулентности в целом.

Отметим, что данные результаты отражают способ реализации этих методов в программном пакете COMSOL Multiphysics, а не качество методов в принципе. На компьютере с четырехъядерным процессором эта разница падает примерно до 6%. На компьютере с 32-ядерным процессором оба метода выполняются одинаково быстро. Причиной этому является то, что GMG-решатель лучше распараллелен, чем AMG-решатель. Уже в первый год использования новый AMG-метод продемонстрировал превосходную устойчивость и отличную производительность, сравнимую с наилучшим случаем применения GMG-метода.

Дальнейшие шаги

Чтобы узнать подробнее об основных возможностях COMSOL Multiphysics для численного моделирования, нажмите на кнопку ниже.

Узнайте больше об использовании многосеточных методов в блоге COMSOL:


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Геометрическая оптика Модуль Композитные материалы Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Течение в трубопроводах Модуль Химические реакции Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению модуле Теплопередача модуль Вычислительная гидродинамика физика спорта