Использование идеально согласованных слоев и граничных условий рассеяния в волновых электромагнитных задачах

Walter Frei 28/01/2015
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on Google+ Share this on LinkedIn

Вполне вероятно, что при решении задач электродинамики, вы столкнетесь с необходимостью моделирования области с открытыми границами — такой границы расчетной области, через которую электромагнитные волны проходили бы без какого-либо отражения. Среда COMSOL Multiphysics предлагает для этого несколько возможных решений. Сегодня, мы рассмотрим использование граничных условий рассеяния и идеально согласованных слоев в случае ограничения областей численного моделирования и сравним их относительные достоинства.

Зачем ограничивать область моделирования?

Большой практический интерес представляет моделирование излучающих объектов, таких как, например, антенны в свободном пространстве. Эти модели можно создавать, для того чтобы изучить работу антенны на спутнике в открытом космосе или, что случается чаще, чтобы проверить спроектированную антенну в безэховой камере.

Antenna in infinite free space Использование идеально согласованных слоев и граничных условий рассеяния в волновых электромагнитных задачах
Антенна в неограниченном бесконечном свободном пространстве. Мы хотим провести моделирование лишь в небольшой области вокруг антенны.

Такие модели могут быть разработаны, используя формализм Электромагнитные Волны, Частотный анализ (Electromagnetic Waves, Frequency Domain), в модуле Радиочастоты (RF Module) или модуле Волновой Оптики (Wave Optics Module). Эти модули предоставляют схожие интерфейсы для решения уравнений Максвелла в частотной области методом конечных элементов. (Для описания ключевых различий между этими модулями, см. предыдущую блог-статью, под названием “Какой из модулей использовать для численного моделирования электромагнетизма? (Computational Electromagnetics Modeling, Which Module to Use?)“)

Ограничимся в этой статье рассмотрением только 2D задач, когда электромагнитные волны, распространяются в плоскости x-y, с вектором напряженности электрического поля поляризованного в z-направлении. Кроме этого, будем предполагать, что область моделирования представляет собой просто вакуум, так что при гармонической зависимости полей от времени уравнения Максвелла сокращаются до:

\nabla \cdot \left( \mu_r^{-1} \nabla E_z \right) -k_0^2 \epsilon_r E_z= 0

где E_z есть напряженность электрического поля, магнитная и диэлектрическая проницаемости \mu_r = \epsilon_r = 1 в вакууме, и k_0 — волновое число.

Решение данного уравнения с помощью метода конечных элементов требует наличия ограниченной области моделирования конечных размеров, с соответствующим набором граничных условий. Мы хотим использовать граничные условия таким образом, чтобы внешняя граница была прозрачна для любого излучения. Такая реализация сделает нашу усеченную область разумным приближением свободного пространства. Желательно также, чтобы обрезанная область была как можно меньше, так как ограничивая размер нашей модели, мы уменьшаем наши вычислительные затраты.

Рассмотрим теперь два доступных в программной среде COMSOL Multiphysics варианта для обрезания области моделирования: граничные условия рассеяния и идеально согласованный слой.

Граничные условия рассеяния

Одним из первых «прозрачных» граничных условий сформулированных для задач волнового типа было условие излучения Зоммерфельда, которое, для случая 2D-полей, может быть записано (представлено) в виде:

\lim_{ r \to \infty} \sqrt r \left( \frac{\partial E_z}{\partial r} + i k_0 E_z \right) = 0

где r — радиальная координата (расстояние, радиус в полярной системе координат).

Это условие является в точности неотражающим, когда граница области моделирования бесконечно удалена от источника излучения, но, конечно, моделирование бесконечно большой области не представляется возможным. Поэтому, хотя мы не можем применить в точности условие Зоммерфельда, мы можем применить его разумное приближение.

Рассмотрим теперь граничное условие вида:

\mathbf{n} \cdot (\nabla E_z) + i k_0 E_z = 0

Очевидно сходство между этим условием и условием Зоммерфельда. Это граничное условие более формально называется граничным условием рассеяния первого порядка (scattering boundary condition — SBC) и тривиальным образом реализуется в среде COMSOL Multiphysics. По сути, это не что иное, как граничное условие Робена (или граничное условие третьего рода для краевой задачи) с комплекснозначными коэффициентами.

Если вам интересно посмотреть на реализованный с нуля пример применения 2D волнового уравнения с этим граничным условием, ознакомьтесь с демонстрационной моделью дифракционных картин.

Однако имеется существенное ограничение для этого условия, которое заключается в том, что оно является неотражающим, только если излучение падает на границу точно вдоль нормали к поверхности. Любые волны, падающие неперпендикулярно на SBC-границу будут частично отражаться. Коэффициент отражения для плоской волны, падающей на SBC-границу первого порядка, при различных углах падения представлен ниже.

Reflection of a plane wave Использование идеально согласованных слоев и граничных условий рассеяния в волновых электромагнитных задачах
Отражение плоской волны при SBC-условии первого порядка в зависимости от угла падения.

Как можно заметить из представленного выше графика, по мере приближения падающей плоской волны к скользящим углам падения, волна практически полностью отражается. Уже при угле падения 60°, отражение составляет около 10%. Поэтому очевидно, что желательно было бы иметь более адекватные граничные условия.

Начиная с версии 4.4, среда COMSOL Multiphysics также включает в себя SBC-условие второго порядка:

\mathbf{n} \cdot (\nabla E_z) + i k_0 E_z -\frac{i }{2 k_0} \nabla_t^2 E_z= 0

В этом уравнении добавляется еще один член, который включает тангенциальную производную второго порядка от напряженности электрического поля вдоль границы. Это свойство также довольно просто реализуется в рамках архитектуры программного обеспечения среды COMSOL.

Сравним теперь коэффициенты отражения для SBC-условий первого и второго порядка:

Scattering boundary conditions Использование идеально согласованных слоев и граничных условий рассеяния в волновых электромагнитных задачах
Отражение плоской волны с граничными условиями рассеяния первого и второго порядка в зависимости от угла падения.

Заметно, что SBC-условие второго порядка обеспечивает более однородное по углу отражение. Теперь мы успеваем добраться до угла падения ~75°, прежде чем отражение составит 10%. Это много лучше, но все еще не достаточно хорошо, по сравнению с тем, чего хочется добиться. Переключим наше внимание на рассмотрение идеально согласованных слоев.

Идеально согласованный слой

Напомним, что мы пытаемся смоделировать ситуацию, подобную антенне, установленной в безэховой испытательной камере, — комнате с пирамидальными призмами из радиопоглощающих материалов на стенах, которые позволяют минимизировать любые отраженные сигналы. Это может служить физической аналогией для идеально согласованного слоя (perfectly matched layer — PML), который является не граничным условием, а скорее областью, пристыкованной к внешней границе модели, которая должна поглотить все исходящие волны.

Выражаясь математическим языком, PML — это просто область, обладающая анизотропными и комплекснозначными диэлектрической и магнитной проницаемостями. Пример полного вывода этих тензоров, можно найти в книге Теория и расчет электромагнитных полей (Theory and Computation of Electromagnetic Fields). Хотя PML-слои, чисто теоретически, являются неотражающими, они, тем не менее, проявляют некоторые отражающие свойства из-за ошибок при численной дискретизации задачи: сетки разбиения. Чтобы минимизировать это отражение, необходимо применять такое разбиение PML, которое учитывает анизотропию свойств материала. Соответствующие сетки разбиения PML-слоев, для 2D-круговой и 3D-сферической областей, приведены ниже. Декартовы и сферические PML-слои и их соответствующее использование обсуждаются также в документации по продукту.

Meshes Использование идеально согласованных слоев и граничных условий рассеяния в волновых электромагнитных задачах
Соответствующие сетки разбиения для 2D и 3D сферического PML-слоев.

В версии 5.0 среды COMSOL Multiphysics, выбор сетки разбиения для 3D задач может настраиваться автоматически, используя опцию интерфейса Физически-Контролируемое Разбиение (Physics-Controlled Meshing) (Разбиение, контролируемое физикой задачи), как продемонстрировано в этом видео.

Сравним теперь угловую зависимость отражения от PML-слоя с аналогичными зависимостями при SBC-условиях:

PML addition Использование идеально согласованных слоев и граничных условий рассеяния в волновых электромагнитных задачах
Отражение плоской волны с SBC-условиями первого и второго порядка, и от PML-слоя в зависимости от угла падения.

Как можно заметить, PML отражает наименьшее количество излучения на протяжении очень широкого диапазона. Возникает небольшое отражение при распространении волны почти параллельно границе, но такие случаи в практике встречаются исключительно редко. Дополнительной особенностью PML-слоя, в которую мы не будем сейчас углубляться, является то, что он поглощает не только распространяющиеся волны, но и любые затухающие поля. Так что, с физической точки зрения, PML-слой поистине можно считать материалом с практически идеальным поглощением.

Итак, какой из подходов следует использовать?

Очевидно, что PML-слой является наилучшим из подходов, описанных здесь. Однако, для реализации PML-слоя требуется значительно больше памяти по сравнению с SBC-условиями.

Поэтому, если вы находитесь в ранней стадии процесса моделирования и хотите создать модель, которая требует менее интенсивных вычислений, то SBC-условие второго порядка, является хорошим вариантом. Вы также можете использовать его в ситуациях, когда у вас есть веская причина полагать, что любые отражения при использовании SBC-условия (например, предполагаемые углы падения излучения заведомо меньше критического значения) не сильно повлияют на интересующие вас результаты.

В настоящее время, SBC-условие первого порядка является граничным условием по умолчанию из соображений совместимости с предыдущими версиями программного обеспечения, но начиная с версии 4.4 COMSOL Multiphysics и выше, следует использовать SBC-условие второго порядка. В данной статье, мы привели только плоско-волновую форму SBC-условий, однако и цилиндрически-волновая и сферически-волновая (в 3D случае) формулировки SBC-условий первого и второго порядка, также имеются. Хотя они и используют значительно меньше памяти, все же они приводят к большим отражениям по сравнению с PML-слоем.

SBC-условия и PML-слои являются подходящими способами для описания открытых границ, на которых вы не обладаете достаточной априорной информацией о структуре волнового поля. С другой стороны, если вы хотите смоделировать открытую границу, на которой поля обладают определенной, заранее известной конфигурацией (например, граница, представляющая волновод), то более подходящими будут граничные условия типа Порт и Сосредоточенный Порт (Port and Lumped Port). Мы обсудим эти условия в одной из последующих статей блога.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги