Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®

Ed Fontes 15/05/2018
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on Google+ Share this on LinkedIn

В COMSOL Multiphysics® реализованы четыре метода моделирования свободных поверхностей жидкости: метод функции уровня, метод фазового поля, метод подвижной сетки и метод стационарной свободной поверхности. В первой части этой серии статей мы обсудим методы функции уровня и фазового поля, основанные на уравнениях для полевой переменной и применимые практически к любому типу свободной поверхности жидкости. Во второй части мы сравним результаты из этой публикации с полученными при использовании интерфейса Moving Mesh (Подвижная сетка) для решения задач о свободных поверхностях.

Что такое метод функции уровня и метод фазового поля?

Оба метода — функции уровня и фазового поля — используют уравнения для полевой переменной, изоповерхность которой описывает свободную поверхность жидкости. Свободная поверхность жидкости соответствует границе раздела жидкой и газовой фаз и рассчитывается на фиксированной сетке.

На рисунке ниже показана поверхность двух капель в канале, взятая из модели дробления капель, содержащейся в Библиотеке приложений модуля расширения Микрогидродинамика. На этом рисунке видно, что хотя поверхность капли очень четкая, грани элементов сетки, окружающих каплю, не совпадают с ее поверхностью.

droplet breakup model Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
Поверхность капли не совпадает с поверхностью элементов при использовании как метода функции уровня, так и метода фазового поля.

Функции уровня и фазового поля зависят от вектора скорости, который вычисляется с помощью уравнений Навье-Стокса. Для обоих методов (функции уровня и фазового поля) это выглядит следующим образом:

(1)

[\frac{{\partial \phi }}\partial t + \nabla \phi \cdot u = F]

Обратите внимание на то, что величина Φ используется в уравнениях обоих методов. Методы различаются правой частью уравнения F. В исходном методе функции уровня F = 0, в результате чего получается уравнение чистого конвективного переноса. Однако численное решение с F = 0 неустойчиво и в большинстве случаев непрактично. Поэтому в F добавляются члены с производными Φ более высокого порядка, предназначенные для сохранения компактности границы раздела.

В методе фазового поля F обозначает член уравнения, который должен минимизировать свободную энергию в системе. Кроме того, в этот член уравнения вводятся производные Φ более высокого порядка. На практике исходный член уравнения фазового поля включает в себя члены четвертого порядка. Это означает, что в практических целях уравнение зачастую разбивается на два уравнения, в которых вспомогательная зависимая переменная определяется как функция вторых производных Φ. Именно этот подход реализован в COMSOL Multiphysics.

Оба метода позволяют учесть дополнительный источниковый член в уравнениях Навье-Стокса, обусловленный поверхностным натяжением на свободной поверхности жидкости. В методе функции уровня для описания поверхностного натяжения используется кривизна изоповерхности, представляющей свободную границу. В методе фазового поля вклад поверхностного напряжения в уравнения Навье-Стокса рассчитывается на основе химического потенциала, что позволяет определить поверхностное натяжение и градиент функции фазового поля вблизи границы раздела.

Свойства двухфазной среды меняются непрерывно при переходе через определенное значение функции уровня или фазового поля, то есть при переходе через значение, соответствующее свободной поверхности.

На свободной поверхности функция уровня Φ изменяется в пределах от 0 до 1, а в объеме каждой из фаз имеет постоянное значение, равное 0 или 1. Например, значение функции уровня может быть равно 0 для жидкой фазы и 1 для газовой. Свободная граница жидкости, то есть граница раздела между жидкой и газовой фазами, соответствует значению функции уровня Φ = 0,5. Таким образом, плотность среды зависит от функции уровня следующим образом:

(2)

[\rho = {\rho _1} + \phi \left( \rho _2} - {\rho _1 \right)]

Аналогично, динамическая вязкость:

(3)

[\mu = {\mu _1} + \phi \left( \mu _2} - {\mu _1 \right)]

Из двух уравнений выше видно, что при Φ = 0 получаются свойства текучей среды 1 (например, жидкости), а при Φ = 1 получаются свойства текучей среды 2 (например, газа). Таким образом, непрерывность изменения свойств среды пре переходе через межфазную границу соответствует непрерывности функции уровня.

Функция фазового поля Φ изменяется в пределах от -1 до 1, при этом свободная поверхность жидкости определяется как изоповерхность для Φ = 0. Вязкость и плотность вычисляются аналогично методу функции уровня, но с помощью другого выражения, поскольку значения функции фазового поля изменяются в диапазоне от -1 до 1.

Настройки интерфейсов Level Set (Функция уровня) и Phase Field (Фазовое поле)

Интерфейсы Level Set (Функция уровня) и Phase Field (Фазовое поле) содержат некоторое количество параметров, которые необходимо настроить для эффективного применения методов. Значения этих параметров зависят от моделируемой системы и численной дискретизации уравнений. Линейные размеры расчетной области (длина, ширина и глубина), свойства среды, краевой угол смачивания, начальные и рабочие условия, характерный размер элементов сетки — все это влияет на настройки модели.

Интерфейс Level Set (Функция уровня)

Начнем с настроек для метода функции уровня. Параметр реинициализации γ, который задается в пользовательском интерфейсе, позволяет обеспечить постепенную концентрацию градиента функции уровня около свободной поверхности; например, в задаче, рассмотренной ниже, — в окрестности границы раздела вода-воздух. Этот параметр не задает толщину поверхности, но обеспечивает условия, при которых изменение функции уровня происходит в пределах этой толщины. Если эта величина слишком мала, то изменение функции уровня может оказаться в объеме одной из фаз, в результате чего граница раздела жидкость-газ появится из ниоткуда. Слишком большие значения параметра реинициализации могут привести к тому, что решатель будет использовать очень маленький временной шаг, а вычисления займут много времени.

level set interface settings Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
Окно настроек интерфейса Level Set (Функция уровня).

Параметр толщины границы раздела, обозначенный в пользовательском интерфейсе как ε, более прост для понимания. Он просто контролирует толщину области, в которой происходят изменения функции уровня. При большой толщине форма свободной поверхности «размывается». Задачу становится проще решить, однако теряется точность формы. При небольшой величине ε получается компактное представление поверхности, которое, однако, требует соответствующего разрешения сетки. Нет смысла задавать значение, которое намного меньше размера элемента сетки, поскольку в таком случае граница раздела становится неровной, а некорректно рассчитанные силы поверхностного натяжения могут привести к появлению фиктивных скоростей. Величину ε следует задать приблизительно равной размеру самых крупных элементов вблизи поверхности.

Интерфейс Phase Field (Фазовое поле)

Глядя на метод фазового поля, можно заметить, что значение параметра толщины границы раздела ε почти идентично значению в методе функции уровня (см. выше); ту же логику можно применить и в отношении выбора данной величины.

phase field interface settings Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
Настройки интерфейса Phase Field (Фазовое поле).

Параметр настройки подвижности для метода фазового поля χ в пользовательском интерфейсе некоторым образом определяет диффузию переменной, для которой решается уравнение фазового поля. Это значение должно быть достаточно велико, чтобы уравнение фазового поля было устойчивым, и достаточно мало, чтобы граница раздела была четкой. Подходящее значение прямо пропорционально скорости на поверхности и обратно пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения.

(4)

[\chi \propto \frac{{\left| {\mathbf{u}} \right|}}\sigma]

Это означает, что при получении надлежащего значения χ для определенного набора рабочих условий можно использовать указанное выше отношение, чтобы задать величину χ для нового набора условий.

Моделирование свободной поверхности жидкости

На рисунках ниже показан пример задачи, на котором мы проанализируем методы функции уровня и фазового поля для моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics.

Твердый стержень наполовину погружен в воду в канале малого размера. Стержень движется вперед и назад в направлении по касательной к поверхности воды для создания небольшой волны. Размеры канала и стержня достаточно малы, поэтому поток остается ламинарным.

free liquid surface model geometry Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
Геометрия и условия задачи.

Обратите внимание на то, что для задания движения небольшого стержня с прямоугольным сечением вперед и назад на поверхности используется функция подвижной сетки. Однако в методах функции уровня и фазового поля сетка не движется вместе с поверхностью жидкости.

Ниже приведено несколько замечаний по построению модели в COMSOL Multiphysics:

  • Добавляем силу тяжести в качестве источника в уравнениях импульса
  • Добавляем уровень отсчета давления
  • Для сопоставления результатов выбираем условия скольжения Навье для твердых стенок и используем длину участка скольжения, равную длине элемента

Результаты моделирования с использованием методов функции уровня и фазового поля

Результаты для поля потока и форма водной поверхности показаны ниже для следующих временных интервалов: 0,07 с; 0,57 с; 1,0 с. Линии тока и форма водной поверхности хорошо согласуются при использовании обоих методов на соответствующих временных интервалах. Есть небольшие отличия в максимальной скорости и высоте водной поверхности, которые можно объяснить тем, что в этих методах поверхностное натяжение рассчитывается по-разному.

Есть также некоторые отличия в линиях тока на больших временах, например, в зонах рециркуляции при t = 1,0 с. Метод фазового поля обычно дает немного более спокойную поверхность. Если используется метод функции уровня, сила поверхностного натяжения вычисляется по кривизне поверхности, которая получается из градиента функции уровня. Такой способ дает более "ломаное" распределение поверхностной силы, чем более гладкое распределение, получаемое при использовании метода фазового поля.

level set method 007 seconds Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
phase field method 007 seconds Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
level set method 057 seconds Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
phase field method 057 seconds Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
level set method 1 second Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
phase field method 1 second Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®

Результаты применения методов функции уровня (слева) и фазового поля (справа) в моменты времени 0,07 с (сверху), 0,57 с (в центре) и 1,0 с (внизу).

Можно также визуализировать весь набор результатов моделирования в виде анимации для периода от 0 до 2 с. Можно увидеть, что движение стержня с прямоугольным сечением вызывает активное перемешивание, но свободная поверхность при этом никогда не разрывается.

 

Анимация, созданная по результатам решения задачи с помощью метода фазового поля.

При использовании методов функции уровня и фазового поля также вычисляется поле потока в воздушной области над свободной поверхностью жидкости. Видно, что движение стержня с прямоугольным сечением приводит к возникновению выраженной структуры поля потока, не прерывающейся на границе раздела фаз.

free surface phase field method Два метода моделирования свободных поверхностей в COMSOL Multiphysics®
Поле потока в водной и воздушной областях, вычисленное с помощью метода фазового поля, в момент времени t = 0,57 с.

При усилении перемешивания на поверхности она может разрываться и затем соединяться, как показано на анимации ниже. Возможность моделировать такие явления также является одним из преимуществ применения методов фазового поля и функции уровня. С помощью любого из этих методов относительно легко учитывать изменения топологии свободной поверхности.

 

При использовании стержня с прямоугольным сечением перемешивание увеличивается как по частоте, так и по амплитуде до тех пор, пока небольшая волна не разрывается и не образует карманы захваченного воздуха в водной фазе.

Несмотря на то что методы функции уровня и фазового поля похожи, расчет поверхностного натяжения оказывает значительное влияние на устойчивость этих методов, по крайней мере в COMSOL Multiphysics. Для задач, в которых велико влияние поверхностного натяжения, метод фазового поля более эффективен и требует меньше расчетного времени, чем метод функции уровня. Причиной этого различия является то, что при использовании метода функции уровня вычисление кривизны поверхности заставляет зависящий от времени решатель использовать намного более мелкие временные шаги, чем при использовании метода фазового поля.

В нашем примере шаг по времени при использовании метода фазового поля в среднем в пять раз больше, поэтому вычисления занимают примерно в пять раз меньше времени, чем при применении метода функции уровня. Таким образом, при решении задач о ламинарных течениях на малых пространственных масштабах, в которых поверхностное натяжение играет важную роль (например, в микрогидродинамике), как правило, предпочтительнее использовать метод фазового поля.

Адаптивное измельчение сетки и свободные поверхности

В двумерной задаче, которую мы рассмотрели в этой публикации, во всей области, где выполняется расчет свободной поверхности с помощью методов функции уровня или фазового поля, используется достаточно плотная сетка. Однако в трехмерных задачах не всегда можно использовать такой уровень разрешения сетки. Как вариант, можно использовать функцию адаптивного измельчения сетки, которая автоматически создает более плотную сетку в соответствии с заданным критерием.

Например, в анимации ниже продемонстрирована адаптация сетки в области наибольших значений градиента скорости (слева) и градиента функции фазового поля (справа). На графике показаны и газовая (воздух), и жидкая (вода) фазы. Следует отметить, что с помощью адаптации сетки на основе градиента скорости можно построить достаточно плотную сетку для газовой фазы, но не для жидкости. В нашем случае больший интерес представляет жидкая фаза, поэтому нужно изменить критерий для адаптивного измельчения сетки, используя функцию фазового поля в качестве масштаба.

 

 

Адаптивное измельчение сетки: в качестве критерия использовались градиент скорости (слева) и градиент функции фазового поля (справа).

Подвижная сетка и свободные поверхности

В этой статье блога рассматриваются два метода моделирования свободных поверхностей на основе расчета полевой переменной: метод фазового поля и метод функции уровня. Во второй части блога мы сравним описанные здесь методы и метод подвижной сетки. Следите за публикациями!

Обновлено: Вторя часть этой статьи доступна здесь.

Дальнейшие шаги

Чтобы узнать подробнее о специальных возможностях модуля Вычислительная гидродинамика COMSOL Multiphysics, нажмите на кнопку ниже.

Дополнительная информация

Примечание редактора: 5/25/2018 этот пост был обновлен, MPH-файл модели приведенной в качестве примера в этой статье был добавлен в Галерею приложений.


Темы публикаций

Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги