Предельная скорость, коэффициенты лобового сопротивления и прогнозы для Чемпионата мира по футболу FIFA™

Ed Fontes 01/06/2018
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Каждые четыре года наступает время, когда интересующиеся футболом люди (их несколько миллионов) начинают говорить о Чемпионате FIFA™. И мы в COMSOL — не исключение. В перерывах на кофе и на обед мы обсуждаем разные команды, игроков, подготовку и мельчайшие детали, которые могут повлиять на игру. Главным героем в этой игре является мяч. Обсуждая тему мяча, мы соединяем нашу страсть к футболу и к физике в одном исследовании!

Практика и еще раз практика (с подходящим мячом)

Коэффициент лобового сопротивления футбольного мяча зависит от его скорости, которая играет существенную роль в точности поперечных передач, длинных пасов, ударов с дальней дистанции, угловых и штрафных ударов. В современном футболе стандартные положения часто являются решающими для забивания голов. Крайне важно, чтобы атакующие могли дать сверхточный пас, а защитники могли предсказать его траекторию после подачи. Если траектория мяча непривычна для игроков, это обязательно скажется на исходе соревнования.

На Чемпионате мира по футболу FIFA™ спонсором некоторых команд является Adidas — официальный производитель футбольного мяча, в то время как другие команды спонсируются Nike, Puma и другими брендами. Если команды будут тренироваться не с мячом Adidas® Telstar® (официальным мячом Чемпионата мира по футболу FIFA™ 2018), а с каким-нибудь другим мячом с иными характеристиками, во время игры они попадут в невыгодное положение, если их мяч ведет себя непривычно. Команды, которые спонсирует Nike, к примеру Франции, Бразилии и Англии, скорее всего, во время тренировки используют мяч Nike® Ordem V, в то время как команды Испании, Германии и Аргентины, вероятно, будут тренироваться с мячом Adidas® Telstar®, произведенным их спонсором. Трудность выбора между официальным мячом и мячом спонсора в этом году особенно остра, потому что трех из лучших команд спонсирует Adidas и других трех — Nike!

Эти шесть команд, а также сборная Италии были победителями на последних 16 Чемпионатах мира по футболу FIFA™. В этом списке не указана команда, победившая на Чемпионате мира по футболу FIFA™ в Бразилии в далеком 1950 году, — героическая сборная Уругвая, которая одержала победу над сборной Бразилии на матче, известном под названием «Мараканасо», на глазах у 200 000 болельщиков на стадионе «Маракана» в Рио.

В действительности «большая шестерка» на этом чемпионате плюс сборные Уругвая и Италии представляют собой мировых чемпионов в истории Чемпионата мира по футболу FIFA™ с 1930 года. Италия, с 1982 года выигравшая кубок дважды и спонсируемая маркой Puma, не прошла на Чемпионат мира FIFA™ 2018 в России. Их выбила из плей-офф трудолюбивая и дисциплинированная шведская команда (со спонсором в лице Adidas). Сборная Уругвая, спонсором которой также была Puma, достигла Чемпионата 2018 года со звездными игроками почти на каждой позиции. И все же эта команда вряд ли сможет тягаться с большой шестеркой и ее золотыми игроками. Сборная Бельгии — это еще одна команда-аутсайдер с большим количеством звездных участником, спонсируемая маркой Adidas. Опыт показывает, что шанс выиграть главный трофей есть только у немногих команд, и, вероятнее всего, это одна из следующих шести сборных!

Изображение с шестью командами, участвующими в Чемпионате мира по футболу 2018, и два разных футбольных мяча.
Основные претенденты: Германия, Аргентина и Испания — их спонсор Adidas, поэтому во время тренировки они используют официальный мяч чемпионата Adidas® Telstar®. Бразилия, Англия и Франция — спонсор команд Nike. С каким же мячом они собираются практиковаться — с Nike® Ordem V или же с Adidas® Telstar®, который будет использоваться во время матчей? (Интересное замечание. На старом кубке мира — на кубке Жюля Риме, который использовался с 1930 по 1970 годы, — изображена Ника, греческая богиня победы.)

Можно рассчитать возможное влияние мяча на основных участников Чемпионата мира по футболу FIFA™, сопоставив коэффициенты лобового сопротивления мячей Adidas® Telstar® и Nike® Ordem V. Однако есть одно ограничение: коэффициенты лобового сопротивления измеряются с помощью аэродинамических труб в специальном оборудовании, с помощью которых можно определить силы, воздействующие на мяч. Мы в COMSOL разрабатываем программы, и у нас нет аэродинамической трубы. Кроме того, мы сильно сомневаемся, что нам удастся быстро разработать методику измерений в аэродинамической трубе. Есть ли более простой способ получить хотя бы примерные коэффициенты лобового сопротивления?

Скорее всего, вы видели ролики на YouTube, в которых люди пытались сделать так, чтобы футбольный мяч поднимался в воздух, с помощью воздуходувки для уборки опавших листьев. Можно ли вместо аэродинамической трубы использовать такую воздуходувку для измерения и сравнения коэффициентов сопротивления для обоих мячей?

Теоретическая основа эксперимента с футбольными мячами

Чтобы узнать, есть ли на самом деле у команд, тренирующихся с мячом Adidas® Telstar®, определенное преимущество на Чемпионате мира по футболу FIFA™, мы приняли следующие допущения для нашего эксперимента:

  1. Если мы можем удерживать в воздухе любой мяч с помощью воздуходувки, значит, относительная скорость окружающего мяч воздуха равна предельной скорости мячей. Предельная скорость — это скорость, достигаемая мячами при броске с большой высоты и свободном падении в тот момент, когда ускорение движения становится равным нулю.
  2. Предельная скорость связана с коэффициентом лобового сопротивления мяча. Чем выше коэффициент лобового сопротивления, тем ниже предельная скорость.
  3. Технически поток воздуха из воздуходувки представляет собой турбулентную струю. Скорость в центре турбулентной струи снижается с увеличением расстояния до ее выпуска — в данном случае, трубы воздуходувки.
  4. Сочетая допущения 2 и 3, можно заключить, что мяч с более высоким коэффициентом лобового сопротивления будет держаться на большем расстоянии от трубы воздуходувки, чем мяч с низким коэффициентом лобового сопротивления.

Соотношение для определения предельной скорости и коэффициента лобового сопротивления при данной скорости формируется на основе равновесия сил. Поскольку мяч весит примерно в 80 раз больше соответствующего ему объема воздуха, действием выталкивающих сил, вероятно, можно пренебречь. При данном допущении достигается равновесие между двумя силами, показанными на рисунке ниже (слева).

Иллюстрация футбольного мяча, на который воздействуют силы лобового сопротивления и тяжести.
Сила лобового сопротивления F_d, направленная вверх, уравновешивается силой тяжести F_g, направленной вниз.

Здесь F_d — сила лобового сопротивления, C_d — коэффициент лобового сопротивления, A — площадь поперечного сечения мяча, \rho_ {air} — плотность воздуха, u_0 — предельная скорость мяча, F_g — сила тяжести, m_b — масса мяча и g — гравитационная постоянная.

Площадь поперечного сечения, масса мяча и плотность воздуха постоянные величины вне зависимости от выбранного для измерений мяча. Изменяются только значения C_d и u_0, поскольку чем выше коэффициент лобового сопротивления, тем ниже предельная скорость.

При зависании мяча над воздуходувкой силы сопротивления и тяжести равны по величине, но направлены в противоположные стороны (см. рисунок ниже). Таким образом, мы имеем следующее уравнение:

[\frac{1}{2}{C_d}A{\rho _{air}}{u_0}^2 = {m_b}g]

из которого следует выражение для предельной скорости:

[{u_0} = \sqrt {\frac{{2{m_b}g}}{{{C_d}A{\rho _{air} }}}} ]

Из этой формулы становится очевидно, что при изменении значения C_d от 0,2 до 0,15 предельная скорость изменяется приблизительно на 15%.

Для сравнения: значение C_d для мяча традиционного типа с 32 панелями составляет около 0,2 в режиме отрыва турбулентного пограничного слоя, а для мяча Adidas® Jabulani, использовавшегося на Чемпионате мира по футболу в ЮАР, приблизительно 0,15. Считается, что мяч Jabulani довольно необычно ведет себя в воздухе, что вызывало у игроков некоторые трудности (сложнее всего было адаптироваться вратарям). Если коэффициент лобового сопротивления мяча Adidas® Telstar® на 0,05 ниже, чем мяча Nike® Ordem V, должна получиться разница предельных скоростей порядка 15%. Такая разница могла бы очень сильно повлиять на команды, тренирующиеся с мячом Nike® Ordem V во время Чемпионата мира по футболу FIFA™.

Подготовка к эксперименту с футбольными мячами

Основная идея эксперимента — установить воздуходувку вертикально и поместить мяч прямо над струей воздуха. Мы готовились к экспериментам, выполняя моделирование в программном пакете COMSOL Multiphysics®, чтобы спрогнозировать положение мяча при реальной скорости, обеспечиваемой воздуходувкой, как показано на рисунках ниже.

Параллельная иллюстрация экспериментов с двумя футбольными мячами Чемпионата мира по футболу, парящими в воздухе над воздуходувкой.
Основной целью эксперимента было вычисление примерного расстояния между воздуходувкой и двумя разными мячами. Значительны ли различия между мячами Adidas® Telstar® и Nike® Ordem V?

При использовании воздуходувки успех экспериментов был сомнителен.

  • Какая точка будет соответствовать измеренному коэффициенту лобового сопротивления на кривой его зависимости от скорости мяча?
  • Попадет ли предельная скорость в режим отрыва ламинарного или турбулентного пограничного слоя?
  • Насколько большой должна быть разность коэффициентов лобового сопротивления, чтобы мы могли измерить разницу расстояния мячей от трубы воздуходувки?

На следующем рисунке показан график зависимости коэффициента лобового сопротивления от скорости для мячей двух разных типов. Область кривизны сопротивления для футбольного мяча соответствует скорости между 10 и 20 м/с. Используя формулу выше, можно определить, что предельная скорость примерно равна 35 м/с, что соответствует режиму отрыва турбулентного пограничного слоя (см. рисунок ниже). Это также соответствует наивысшей скорости для самых сложных ударов с дальней дистанции и штрафных ударов в футболе, однако до снижения скорости до примерно 15–20 м/с (когда может возникнуть переход в режим отрыва ламинарного пограничного слоя) коэффициент лобового сопротивления меняется незначительно. Таким образом, путем измерения в одной точке можно получить показательное значение лобового сопротивления мяча в течение всего режима отрыва турбулентного пограничного слоя. Нижняя часть этого режима соответствует ударам с дальней дистанции, длинным передачам, штрафным и угловым ударам.

График зависимости коэффициента лобового сопротивления от скорости для трех разных футбольных мячей.
Схема зависимости коэффициента лобового сопротивления от скорости. Коэффициент лобового сопротивления почти не изменяется в режиме отрыва турбулентного пограничного слоя. Зеленая кривая подходит для обозначения мяча Adidas® Jabulani, синяя — для мяча Adidas® Teamgeist II, который использовался на Чемпионате Европы по футболу (Лига чемпионов УЕФА) 2008, а красная — традиционного 32-панельного мяча, например первой версии Adidas® Telstar®, использовавшегося на Чемпионате мира по футболу FIFA™ 1970 в Мексике.

На основе опубликованных измерений коэффициента лобового сопротивления можно сделать вывод о том, что большинство ударов с дальней дистанции и со стандартного положения при атаке находятся в пределах режима отрыва турбулентного пограничного слоя, для которого коэффициент лобового сопротивления является представительным при предельной скорости. Первое из сомнений отпадает: даже одной точки на кривой достаточно для получения ценных данных.

Однако предположим, что нам удалось достать достаточно мощную воздуходувку, чтобы мяч держался на высоте около полуметра от ее трубы. Насколько велика будет разница расстояний между двумя мячами при коэффициенте лобового сопротивления 0,05 на предельной скорости? Допустим, что при самом низком коэффициенте сопротивления предельная скорость мяча равна 40 м/с (значение C_d составляет около 0,15). Мы знаем, что скорость турбулентной струи снижается обратно пропорционально расстоянию до трубы воздуходувки. С помощью этого соотношения можно рассчитать изменение высоты, которая должна быть примерно на 7–8 см больше для мяча с более высоким коэффициентом сопротивления. Поэтому мяч с низким значением C_d и мяч с высоким значением C_d должны быть расположены на расстоянии 0,50 м и 0,58 м от трубы соответственно. И мы уже сможем измерить эту разницу!

Теперь нам известно, что, если быть очень точными, при наличии достаточной разности коэффициентов лобового сопротивления мячей Adidas® Telstar® и Nike® Ordem V можно измерить разницу их положения над воздуходувкой.

В этом эксперименте необходимо соблюсти некоторые важные условия:

  • Накачайте мяч Adidas® до официального давления для Чемпионата мира по футболу FIFA™ (8,5–15,6 фунтов на кв. дюйм) с помощью насоса для футбольных мячей с высокой точностью.
  • Накачайте мяч Nike® Ordem V, чтобы он весил столько же (хотя бы примерно), сколько мяч Adidas® Telstar®. Давление должно быть примерно равным. Что еще важнее, оба мяча имеют одинаковый вес.
  • Измерьте диаметры двух мячей. Они должны быть примерно равны, поскольку мячи являются официальными, но нам необходимо знать разницу и учитывать ее при расчетах коэффициента лобового сопротивления.
  • Поместите воздуходувку в одно положение и под одним углом, не меняя их в течение всего эксперимента — используйте уровень, чтобы удостовериться в том, что труба воздуходувки установлена точно под углом 90° к земле (параллельно вектору силы тяжести). Это очень важно.
  • Воздуходувку не следует придерживать, поскольку это может нарушить воздушный поток вокруг мяча.
  • В предложенной конфигурации (показанной ниже) нам необходимо удостовериться в том, что длина отрезка торцевой трубы хотя бы в десять раз больше ее диаметра, чтобы сократить влияние изгиба на форму потока на выпуске.
  • Поместите камеру и откалибруйте измерение расстояний, чтобы с помощью системы камеры определить расстояние от трубы воздуходувки до мяча.
  • Экран должен находиться на достаточном расстоянии от мяча, чтобы не нарушать струю.
  • Поместите камеру на треногу под углом 90° к экрану и не меняйте ее положение относительно экрана и воздуходувки.
  • Поместите мяч над трубой воздуходувки так, чтобы он не вращался (он не должен вращаться в течение всего эксперимента).
  • Повторите каждый эксперимент 10 раз для получения среднего расстояния. Значения могут меняться в зависимости от того, на какую часть мяча направлена труба воздуходувки.
  • Обязательно делайте записи, чтобы можно было легко вернуться к данным и проверить наличие каких-либо вызывающих сомнения результатов.

Изображение конфигурации эксперимента для сравнения того, насколько по-разному ведут себя мячи.
Схема эксперимента. Экран следует размещать на достаточном расстоянии от мяча, чтобы не нарушать воздушную струю из воздуходувки. Изображение «Камера на треноге». Автор — GDJ, опубликовано с openclipart.

Прогнозирование результатов Чемпионата мира по футболу FIFA™

Гипотетически, если мы в состоянии измерить разницу высоты для мячей Adidas® Telstar® и Nike® Ordem V, тогда получается, что командам Англии, Бразилии и Франции (у которых спонсор Nike®) придется нелегко, если они во время Чемпионата мира по футболу FIFA™ не будут практиковаться с мячом Adidas® Telstar®. Кроме того, это весьма обнадеживающий факт для команд Германии, Испании и Аргентины (у которых спонсор Adidas®). Действительно, имея возможность измерить эту разницу, мы бы поставили все свои сбережения на победу команд Германии, Испании и Аргентины.

Обратите внимание на то, что, даже если разность коэффициентов лобового сопротивления оказалась невелика, область кривизны сопротивления, в которой пограничный слой переходит от турбулентного к ламинарному (когда мяч замедляется в силу сопротивления), также очень важна, когда мяч подвергается влиянию закрутки (эффект Магнуса) или начинает «рыскать» (эффект наклбола или пляжного мяча), хотя закрутки фактически нет. Если кривизна сопротивления для мяча Adidas® Telstar® возникает раньше, чем у мяча Nike® Ordem V (то есть уже на высоких скоростях, например, как у мяча Adidas® Jabulani по сравнению с обычным футбольным мячом), это может оказать еще более существенное влияние, чем коэффициент лобового сопротивления. Хотя, скорее всего, близкие по значению коэффициенты лобового сопротивления в турбулентном режиме также обеспечивают примерно равные скорости в режиме кривизны сопротивления. Нам необходимо придумать простой способ для измерения коэффициента лобового сопротивления, который, однако, потребуется для последующего эксперимента.

До новых встреч…

Может быть, организаторы команд Англии, Бразилии и Франции прочли нашу статью и поэтому решили использовать мяч Adidas® Telstar® для тренировки перед Чемпионатом мира по футболу FIFA™? Мы видели новостные сообщения о том, что эти команды теперь практикуются с мячом Adidas® Telstar®, так что рисковать они не собираются.

Тем временем подготовка к нашим экспериментам идет полным ходом. Мы купили мячи Nike® Ordem V и Adidas® Telstar® и постараемся взять напрокат самую мощную воздуходувку, которую только сможем найти. Оставайтесь с нами, и скоро мы опубликуем результаты экспериментов — не исключено, что по ним можно будет определить победителя Чемпионата мира по футболу FIFA™. Вперед, Швеция! Вперед, Уругвай!

Примечание редактора 06.06.2018. Следующая статья в этой серии под названием «Важно ли, каким мячом тренируются участники Чемпионата мира по футболу FIFA World Cup™?» уже доступна.

Adidas является зарегистрированным товарным знаком концерна adidas AG. Telstar является зарегистрированным товарным знаком концерна adidas International Marketing B.V. Корпорация COMSOL AB, равно как и ее дочерние компании и продукция, не связаны с владельцами этих торговых марок, не рекомендовались, не финансировались и не поддерживались концерном adidas AG или adidas International Marketing B.V.

PUMA является зарегистрированным товарным знаком компании PUMA AG. Корпорация COMSOL AB, равно как и ее дочерние компании и продукция, не связаны с владельцами этих торговых марок, не рекомендовались, не финансировались и не поддерживались компанией PUMA AG.

Nike является зарегистрированным товарным знаком корпорации Nike, Inc. Корпорация COMSOL AB, равно как и ее дочерние компании и продукция, не связаны с владельцами этих торговых марок, не рекомендовались, не финансировались и не поддерживались корпорацией Nike, Inc.

«УЕФА» и все знаки, относящиеся к соревнованиям Лиги чемпионов УЕФА, являются товарным знаком и/или представляют собой интеллектуальную собственность УЕФА. Корпорация COMSOL AB, равно как и ее дочерние компании и продукция, не связаны с владельцами этих торговых марок, не рекомендовались, не финансировались и не поддерживались УЕФА.

Чемпионат мира по футболу (FIFA World Cup), Чемпионат мира по футболу 2018 являются товарным знаком FIFA. Корпорация COMSOL AB, равно как и ее дочерние компании и продукция, не связаны с владельцами этих торговых марок, не рекомендовались, не финансировались и не поддерживались Чемпионатом мира по футболу FIFA.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Геометрическая оптика Модуль Композитные материалы Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Течение в трубопроводах Модуль Химические реакции Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению модуле Теплопередача модуль Вычислительная гидродинамика физика спорта