Задание граничных условий в вариационных задачах

07/09/2018

В первой статье этой серии мы рассказали о вариационных задачах и показали, как их решать с помощью программного пакета COMSOL Multiphysics®. Там мы использовали простые встроенные граничные условия. Сегодня мы обсудим более общие случаи граничных условий и ограничений. Мы также покажем, как задать эти граничные условия и ограничения в программном пакете COMSOL Multiphysics, на примере той же самой вариационной задачи о мыльной пленке из первой статьи — и примерно с таким же уровнем математики.

Классификация ограничений

Ограничения можно разделять на классы по-разному. Мы обратим внимание на те группы ограничений, которые сильнее всего влияют на численные расчеты.

В зависимости от того, на какой геометрический объект они действуют, ограничения делятся на точечные (изолированные), распределенные и глобальные. Например, с одной стороны, граничные условия в одномерной задаче — это точечные ограничения. С другой стороны, условие, которое должно выполняться для любой точки в множестве, — это распределенное ограничение. Глобальные ограничения задают некоторую норму решения (обычно в виде интеграла). Например, задание длины подвесного кабеля или площади поверхности мыльной пленки — это глобальное ограничение.

Распределенные ограничения еще называют поточечными ограничениями. Мы хотим четко разделить распределенные ограничения и ограничения, которые мы называем точечными. Точечное ограничение выполняется в одной точке или в конечном множестве изолированных точек. Такое множество точек имеет нулевую длину, площадь и объем. Распределенные ограничения, в отличие от точечных, выполняются для каждой точки геометрического объекта: например, для каждой точки ребра, поверхности или области трехмерного объекта.

Другая классификация ограничений — разделение на равенства и неравенства. Ограничение-неравенство часто встречается в моделях контакта в механике конструкций. Зазор между объектами, находящимися в сборке, должен быть неотрицательным. В моделях химических реакций нижние границы для концентраций химических веществ тоже дают ограничения-неравенства.

Эти две классификации накладываются друг на друга. Например, в модели могут быть и распределенные ограничения-неравенства, и распределенные ограничения-равенства. Ограничения-неравенства сложнее с точки зрения математики, так что мы сначала обратим внимание на ограничения-равенства, а о неравенствах расскажем в следующих статьях.

Беглое знакомство с теорией ограничений-равенств

Вычислительную задачу

\textrm{minimize} \qquad f(\bf{x}), \qquad \textrm{subject to}\quad g(\mathbf{x})=0

решают, находя стационарные точки целевой функции Лагранжа

\mathcal{L}(x,\lambda) = f(\bf{x}) + \lambda g(\bf{x})

по координате \bf{x} и по множителю Лагранжа \lambda.

Та же идея с необходимыми поправками применяется и в вариационном исчислении. Рассмотрим задачу

\textrm{Find the function } u(x) \textrm{, that minimizes } E[u(x)] = \int_a^b F(x,u,u^{\prime})dx,
\textrm{subject to } g(x,u,u^{\prime})=0 \textrm{ for all } x.

Здесь распределенное ограничение g(x,u,u^{\prime}) = 0 должно выполняться во всех точках области, а не только в одной точке. Поэтому у каждой точки области будет свой множитель Лагранжа: \lambda обозначает не одно число, а функцию. Соответственно, функционал Лагранжа будет равен

(1)

E[u(x),\lambda(x)] = \int_a^b [F(x,u,u')+\lambda(x)g(x,u,u')]dx.

Так мы преобразовали вариационную задачу одной переменной u(x) с ограничениями в вариационную задачу двух переменных u(x) и \lambda(x) без ограничений. Рассмотрим критерии оптимальности. Важно отметить, что вариации функции решения и вариации функции множителя Лагранжа независимы. Критерии оптимальности первого порядка:

\frac{d}{d\epsilon_1}E[u+\epsilon_1 \hat u,\lambda+\epsilon_2 \hat{\lambda}]\bigg|_{(\epsilon_1=0,\epsilon_2=0)} = 0, \quad \frac{d}{d\epsilon_2}E[u+\epsilon_1 \hat u,\lambda+\epsilon_2 \hat{\lambda}]\bigg|_{(\epsilon_1=0,\epsilon_2=0)} = 0.

Через функции F и g мы можем записать

\int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial F}{\partial u'}\hat{u'} + \lambda(x)(\frac{\partial g}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial g}{\partial u'}\hat{u'})\right]dx=0,
\int_a^b \left[\hat{\lambda}(x)g(x,u,u')\right]dx=0.

Эти уравнения можно вводить в интерфейс Weak Form PDE (Дифференциальное уравнение в частных производных в слабой форме). Мы скоро к этому вернемся, но сначала давайте выведем соответствующие условия для глобальных (интегральных) и точечных (изолированных) ограничений.

При наличии глобального ограничения

\int_a^bg(x,u,u^{\prime})dx=G,

функционал Лагранжа принимает вид

E[u(x),\lambda] = \int_a^b F(x,u,u^{\prime})dx+\lambda\left[\int_a^b g(x,u,u^{\prime})dx-G\right],

где \lambda обозначает одно число, а не функцию.

Условия оптимальности первого порядка принимают вид

\int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial F}{\partial u'}\hat{u'}\right]dx + \lambda\int_a^b \left[\frac{\partial g}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial g}{\partial u'}\hat{u'}\right]dx=0,
\hat{\lambda}\left[\int_a^b g(x,u,u')dx-G\right]=0.

Наконец, используя свойства дельта-функции Дирака, точечное ограничение g(x,u,u^{\prime}) = 0 \textrm{ при } x = x_0 можно переписать в виде глобального ограничения

\int g(x,u,u^{\prime})\delta(x-x_0)dx=0.

Таким же образом можно использовать дельта-функции Дирака, чтобы задать ограничения на ребрах в двумерных и трехмерных задачах и поверхностях в трехмерных задачах.

Подставляя полученный результат в формулировку задачи с глобальными ограничениями, мы приходим к следующим условиям оптимальности первого порядка:

(2)

\int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial F}{\partial u'}\hat{u'}\right]dx + \lambda\left[\frac{\partial g}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial g}{\partial u'}\hat{u'}\right]_{x=x_0}=0,

(3)

\hat{\lambda}g(x_0,u,u^{\prime})=0.

Если в задаче есть несколько изолированных точечных ограничений, у каждой точки будет свой множитель Лагранжа. Множитель Лагранжа тогда будет не функцией, а конечным набором скаляров, соответствующим каждой изолированной точке. Если распределенное ограничение накладывается не на всю область, а на ее часть, можно определить множитель Лагранжа только для этой части. Далее в статье рассматривается случай множителя Лагранжа в виде функции.

Задание ограничений в COMSOL Multiphysics®

Давайте посмотрим, как задавать ограничения в COMSOL Multiphysics. Рассмотрим ту же задачу о мыльной пленке, что и в предыдущей статье, с такими граничными условиями:

u(a) = 2, \quad u^{\prime}(b)=0.

Первое граничное условие мы могли бы задать и с помощью узла Dirichlet Boundary Condition (Граничное условие Дирихле), но в целях обучения используем более общий подход к ограничениям. Два граничных условия выше можно переписать как

g(a,u,u^{\prime})=u-2 =0, \quad g(b,u,u^{\prime})=u^{\prime} =0.

Рассчитаем частные производные от функций, задающих ограничения, по переменным u и u^{\prime}.

\textrm{В точке } x=a, \frac{\partial g}{\partial u}=1, \frac{\partial g}{\partial u^{\prime}}=0,
\textrm{В точке } x=b, \frac{\partial g}{\partial u}=0, \frac{\partial g}{\partial u^{\prime}}=1

Наконец, добавим их в виде двух слагаемых в слабую форму в соответствующих точках. Слагаемое с функцией F остается неизменным.

Снимок экрана с настройками интерфейса Weak Contribution (Слагаемое в слабой форме) в графическом интерфейсе программного пакета COMSOL.
Снимок экрана с настройками интерфейса Auxiliary Dependent Variable (Вспомогательная зависимая переменная) в графическом интерфейсе программного пакета COMSOL.
Снимок экрана с настройками второго интерфейса Weak Contribution (Слагаемое в слабой форме) в графическом интерфейсе программного пакета COMSOL.
Задание точечных ограничений через слагаемые в слабой форме.

Обратите внимание, что точечное слагаемое, соответствующее уравнению 3, и второе слагаемое из уравнения 2 были объединены в узел Weak Contribution 1 (Слагаемое в слабой форме 1). Логика этого шага такова: вариации \hat{u} и \hat{\lambda}_a независимы, поэтому нет разницы, задавать сумму слагаемых с этими вариациями равной нулю или задавать каждое слагаемое с этими вариациями равным нулю.

График решения с учетом ограничений в COMSOL Multiphysics.
Решение с радиусом 2 на левом конце и с нулевым уклоном на правом конце.

В теоретической части статьи мы обсудили разные типы ограничений. В таблице ниже приведены рекомендованные варианты задания ограничений и неизвестных переменных (множителей Лагранжа) в программном пакете в зависимости от типа ограничения.

Тип ограничения Примеры Слагаемое с вариацией \hat{u} Слагаемое с вариацией \hat{\lambda} Где задавать \lambda
Распределенное ограничение
  • Ограничения на свойства материала
  • Нижние или верхние границы решений
  • Граничные условия в двумерных и трехмерных задачах
Слагаемое в слабой форме Слагаемое в слабой форме
  • Вспомогательная зависимая переменная
  • Свойства слагаемого в слабой форме
Глобальное (интегральное) ограничение
  • Длина ребра
  • Вес объекта
  • Среднее смещение поверхности или средняя температура поверхности
Слагаемое в слабой форме Узел Global Equations (Глобальные уравнения) Узел Global Equations (Глобальные уравнения)
Изолированное точечное ограничение
  • Граничные условия в одномерных задачах
  • Ограничения во внутренней изолированной точке
Слагаемое в слабой форме Слагаемое в слабой форме
  • Вспомогательная зависимая переменная
  • Свойства слагаемого в слабой форме

Задание потоков и сил

До сих пор мы говорили о задании ограничений. Для этого мы вводили новые неизвестные — множители Лагранжа. Во многих физических задачах роль множителей Лагранжа играют силы реакции или потоки, требуемые для соблюдения ограничения. Если вам известно не ограничение, а приложенная сила или поток, как задать их в программном пакете?

Возвращайтесь к функционалу, который вы хотите минимизировать, и добавляйте к нему силы и потоки. Например, для учета граничных нагрузок в задачах механики конструкций в функционал добавляют виртуальную работу, обусловленную нагрузками. В интерфейс COMSOL Multiphysics нужно будет ввести примерно такое же выражение, какое мы вводили для учета ограничений. Известное значение силы или потока заменяет множитель Лагранжа, поэтому нам не нужны вспомогательные переменные. В итоге слагаемое с вариацией множителя Лагранжа исчезает.

Более подробно этот метод изложен в предыдущей статье о добавлении точечных нагрузок в слагаемые в слабой форме.

Добавление ограничений к точкам, не входящим в последовательность построения геометрии

Иногда мы хотим добавить ограничения на точку в области моделирования, которая не определена в последовательности геометрических построений явно и не задана пересечением кривых. Мы не можем просто выбрать эту точку и связать с ней точечное слагаемое в слабой форме, как мы делали в предыдущем примере. Однако мы можем добавить глобальное слагаемое в слабой форме и использовать точечный программный датчик, чтобы связать решение и вариацию.

Представьте себе подвесной кабель, закрепленный на двух концах. Вариационная задача для кабеля с равномерным распределением веса на единицу длины решается так же, как осесимметричная задача о мыльной пленке. Мы используем ту же модель COMSOL. Кроме этого, мы хотим задать высоту центральной точки u равной 1,95, не добавляя эту точку к последовательности построения геометрии. Во-первых, добавим к области точечный программный датчик для высоты u. Назовем этот датчик ppb1. Слагаемое в слабой форме, соответствующее уравнению 1, равно lam_c*test(comp1.ppb1), где lam_c — новый множитель Лагранжа. Это слагаемое мы вводим в глобальный узел Weak Contribution (Слагаемое в слабой форме), как показано на снимке экрана ниже. В отличие от слагаемых в слабой форме, заданных для явно определенных геометрических объектов, этот узел не позволяет создавать вспомогательные переменные. Однако мы можем добавить узел Global Equation (Глобальное уравнение), в котором мы зададим множитель Лагранжа и ограничение.

Снимок экрана с настройками третьего интерфейса Weak Contribution (Слагаемое в слабой форме) в графическом интерфейсе программного пакета COMSOL.

Пример ограничения в точке, не входящей в последовательность построения геометрии, в COMSOL Multiphysics.
Добавление ограничения на точку, не входящую в последовательность построения геометрии.

На графиках ниже показано решение с учетом нового ограничения. Узлы сетки отмечены кружками. На графике слева показан случай, когда центральной точке не соответствует ни один из узлов сетки. Из-за этого ограничение соблюдается лишь приблизительно. На графике справа использована более точная сетка, при построении которой добавлен узел в центральной точке. В этом случае ограничение соблюдено точно.

График решения в случае, когда центральной точке не соответствует ни один из узлов сетки.
График решения с сеткой, при построении которой добавлен узел в центральной точке.

Проверка внутренних ограничений на точках, не входящих в последовательность построения геометрии. Соотношение сторон на графиках не сохранено.

Таким же образом можно добавлять точечные нагрузки и источники в задачах механики конструкций, теплопередачи и переноса химических веществ. Как мы упомянули раньше, математически такие нагрузки соответствуют множителям Лагранжа. Если нам известно значение множителя Лагранжа, мы не добавляем узел Global Equation (Глобальное уравнение). Вместо этого мы добавляем слагаемое в слабой форме, а вместо lam_c в примере выше вводим значение приложенной механической, тепловой, химической или любой другой нагрузки.

Следите за публикациями!

В этой серии статей мы рассказали о том, как решать вариационные задачи с помощью интерфейса Weak Form PDE (Дифференциальное уравнение в частных производных в слабой форме) и учитывать ограничения-равенства.

Ограничения усложняют численные решения. Чаще всего они приводят к задачам с седловыми точками, а добавление множителя Лагранжа приводит к тому, что матрица жесткости перестает быть положительно определенной. Нелинейные ограничения также несут риск появления вырожденных матриц в ходе нелинейных итераций. Особенно опасны глобальные и распределенные ограничения.

В следующих статьях серии мы покажем численные методы, позволяющие обойти эти сложности. Мы обсудим, как применять эти методы для ограничений-равенств, а после перейдем к ограничениям-неравенствам.

Изучите другие статьи в серии статей о вариационных задачах и граничных условиях


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ