Распределения в фазовом пространстве для заряженных пучков частиц в 3D постановке

22/09/2016

В предыдущем выпуске этой серии мы объясняли два понятия, необходимых для моделирования запуска и распространения реалистычных пучков заряженных частиц. Сначала мы обсудили математические основы использования функций распределения вероятностей, а затем сфокусировались на особом типе распределения — распределении в поперечном фазовом пространстве пучка заряженных частиц в 2D постановке. А теперь давайте объединим полученные знания и узнаем, как осуществить выборку исходных положений и скоростей частиц для 3D пучка из такого распределения.

2D распределения и эллипсы в фазовом пространстве

Для начала освежим в памяти информации по фазовому пространству и эллипсам для 2D постановки, что уже было подробно описано в предыдущей статье серии блогов «Распределения в фазовом пространстве для физики пучков». Частицы в реальных неламинарных пучках заряженных частиц занимают некоторую область в фазовом пространстве, часто имеющую форму эллипса. Уравнение для этого двумерного эллипса в фазовом пространстве зависит от эмиттанса пучка ε и параметров Твисса

(1)

\gamma x^2 + 2\alpha x x' + \beta x'^2 = \varepsilon,

где x и x' — поперечное положение и угол наклона частицы соответственно. Параметры Твисса, в свою очередь, связаны условием Куранта — Снайдера

(2)

\gamma \beta -\alpha^2 = 1.

Фактические положения частиц в эллипсе могут различаться. К двум наиболее распространенным распределениям в фазовом пространстве относятся показанные ниже равномерное распределение плотности внутри эллипса и распределение Гаусса с максимальным значением в центре эллипса. Синяя кривая в каждом случае обозначает эллипс фазового пространства, описанный уравнением (1), где ε — 4-RMS поперечный эмиттанс. Обратите внимание, что в случае распределения Гаусса некоторые частицы все же находятся вне эллипса. Поскольку распределение Гаусса постепенно спадает, но не достигает нуля, всегда есть вероятность, что, независимо от размеров эллипса, некоторые частицы окажутся за пределами эллипса. При использовании 4-RMS эмиттанса для определения эллипса в уравнении (1) около 86% частиц находятся внутри него.

Сравнение равномерного распределения и распределения Гаусса.
Сравнение равномерного распределения и распределения Гаусса.

Рассмотрим более простой случай, в котором вероятность обнаружить частицу в любой точке фазового пространства постоянна в пределах эллипса и равна нулю за его пределами. Для этой задачи в результате подстановки уравнения (2) в уравнение (1) и поиска x' получаем

(3)

x' = -\frac{\alpha x}{\beta} \pm \frac{\sqrt{\varepsilon \beta -x^2}}{\beta}.

Тогда функция распределения вероятностей равна

(4)

f(x,x') = \left\{ \begin{array}{cc} C & -\frac{\alpha x}{\beta} -\frac{\sqrt{\varepsilon \beta -x^2}}{\beta},

где постоянная C зависит от размера эллипса. Вероятность g(x) того, что частица имеет данную x-координату, равна

g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,x')dx'.

Учитывая местоположения, в которых уравнение (3) может принимать действительные значения, получаем

g(x) %3D \left\{
\begin{array}{cc}
2C \frac{\sqrt{\varepsilon \beta -x^2}}{\beta} %26 -\sqrt{\varepsilon \beta} \textless x \textless \sqrt{\varepsilon \beta}\\
0 %26 \textrm{otherwise}

или, проще говоря,

(5)

g(x) \propto \frac{\sqrt{\varepsilon \beta -x^2}}{\beta}, \qquad -\sqrt{\varepsilon \beta} < x < \sqrt{\varepsilon \beta}

Предположим, что мы имеем совокупность частиц в модели, которые требуется сэмплировать с помощью функции распределения вероятностей, заданной уравнением (4). В частности, мы хотим сначала сделать выборку исходных поперечных положений частиц согласно уравнению (5), а затем назначить соответствующие углы наклона, чтобы частицы находились в пределах эллипса фазового пространства. Это можно сделать, вычислив интегральную функцию распределения, начав с уравнения (5), а затем использовав технику построения выборки через обратное преобразование (inverse random sampling). В качестве альтернативы можно с помощью уравнения (5) определить плотность частиц, которую можно задать непосредственно в услогия запуска частиц типа Inlet или Release в любом из интерфейсов для трассировки частиц. В этом случае плотность нормируется автоматически.

Настройками условия запуска частиц в интерфейсе COMSOL Multiphysics.

Снимок экрана, на котором показано, как задать плотность частиц с помощью условия Inlet.

Но, конечно, удобнее всего использовать ГУ Particle Beam (Пучок частиц) в физическом интерфейсе Charged Particle Tracing (Трассировка заряженных частиц). При использовании ГУ Particle Beam частицы автоматически распределяются по фазовому пространству, что позволяет указать местоположение центра пучка, эмиттанс и параметры Твисса.

Настройки ГУ Particle Beam (Пучок частиц).
Скриншот с демонстрацией настроек по заданию плотности распределения частиц в ГУ Particle Beam (Пучок частиц).

Моделирование пучков заряженных частиц в 3D постановке

До сих пор мы рассматривали пучки заряженных частиц только как идеальные плоские пучки, в которых можно пренебречь внеплоскостными компонентами (y) поперечного положения и скорости. Однако реальные пучки распространяются в трехмерном пространстве, при этом имея конечное распределение в обоих поперечных направлениях. Поэтому для получения полной картины пучка следует рассмотреть два ортогональных поперечных направления x и y, а также углы наклона x' = v_x/ v_z и y' = v_y/v_z.

Иллюстрация пучка частиц, распространяющегося в трехмерном пространстве.
Пучок частиц в 3D пространстве.

Моделировать запуск пучков частиц в трехмерном пространстве сложнее, чем в двухмерном, поскольку степени свободы для двух поперечных направлений в реальных пучках, как правило, взаимосвязаны. Предположим, например, что две частицы запускаются с одного и того же поперечного положения, то есть с одинаковыми координатами x и y. Скажем, у одной из этих частиц очень большой угол наклона в направлении x (x'), а у другой — очень малый угол наклона в направлении x. Частица с большим углом наклона в направлении x с большей вероятностью будет иметь малый угол наклона в направлении y, и наоборот. Таким образом, мы не можем просто сделать выборку из двух разных распределений для x' и y', потому что значение каждого из них влияет на распределение вероятностей для другого.

Сформулируем эту задачу более абстрактно: вместо того, чтобы рассматривать два поперечных направления в виде отдельных двумерных эллипсов фазового пространства, следует задавать поперечное движение частиц с помощью четырехмерных распределений в фазовом пространстве! Поскольку мы привыкли воспринимать объекты только в двух и трех измерениях, представить распределения с четырьмя или более пространственными измерениями гораздо сложнее.

Именно в таких случаях полезно ГУ Particle Beam. В нем имеются настройки для выборки начальных положений частицы и углов наклона из встроенного набора распределений в четырехмерном поперечном фазовом пространстве. К широко используемым распределениям относится распределение Капчинского — Владимирского (KV), распределение типа «waterbag», параболическое распределение и распределение Гаусса. Сначала давайте рассмотрим простейшее распределение — KV, а затем визуализируем остальные распределения из этой группы.

Математически распределение KV подразумевает, что пучки частиц равномерно распределяются по бесконечно тонкому четырехмерному гиперэллипсоиду в фазовом пространстве. Его можно записать как

\left(\frac{x}{r_x} \right)^2 +\left(\frac{r_x x' -r'_x x}{\varepsilon_x} \right)^2 +\left(\frac{y}{r_y} \right)^2 +\left(\frac{r_y y' -r'_y y}{\varepsilon_y} \right)^2 = 1,

где rx и ry — максимальные границы пучка в направлениях x и y, εx и εy — 'эмиттансы пучка, связанные с двумя поперечными направлениями, а r'x и r'y — углы наклона на краю огибающей пучка.

Поскольку представить четырехмерную функцию распределения вероятностей сложнее, чем функции низших измерений, визуализация часто выполняется косвенно. Для этого строят проекции этой функции на низшие измерения. Распределение KV обладает интересным свойством: его проекция на двумерную плоскость представляет собой эллипс равномерной плотности. Такие проекции на все шесть плоскостей показаны ниже. Проекции четырехмерного гиперэллипсоида на плоскости x-x' и y-y' наклонены, потому что для параметра Твисса α были указаны ненулевые значения в каждом поперечном направлении.

Распределение KV, спроецированное на шесть плоскостей.
Распределение KV, спроецированное на шесть плоскостей.

Сравните показанные выше распределения со следующими остальными доступными в пакете вариациями.

Распределение типа «waterbag», параболическое распределение и распределение Гаусса, спроецированные на шесть плоскостей.

Обратите внимание, что проекция на любую плоскость во всех случаях создает распределение эллиптической формы, но равномерное заполнение имеет только распределение типа KV.

Заключительные замечания по моделированию пучков заряженных частиц

Несмотря на то, что эта серия о моделировании пучков заряженных частиц подходит к концу, мы успели дать лишь поверхностное описание сложной и запутанной физики пучков. Мы рассмотрели распределения в поперечном фазовом пространстве в 3D постановке, но не затрагивали вопросы эмиттанса пучка в продольном направлении или связанный с нем феномен банчинга — образование сгустков частиц. Мы также не классифицировали явления, из-за которых эмиттанс может повышаться, понижаться или оставаться постоянным по мере распространения пучка.

Данная серия блогов даст вам общее представление о том, почему случайная или псевдослучайная выборка из функций распределения вероятностей играет важную роль в расчете физических явлений реального мира, например, при моделировании высокоэнергетических ионных и электронных пучков. Для более подробного экскурса в физику пучков советуем для начала ознакомиться с литературой из нижеуказанного списка, пп. 1–3. Более подробные технические сведения о каждом из четырехмерных распределений в поперечном фазовом пространстве, в том числе алгоритмы выборки псевдослучайных чисел из этих распределений, можно найти в источниках 4–7. Чтобы узнать подробнее о том, как эти концепции используются в программном пакете COMSOL Multiphysics® свяжитесь с нами для получения дополнительной информации.

Ознакомьтесь с другими источниками по моделированию с трассировкой частиц

Список литературных источников

  1. Humphries, Stanley. Principles of charged particle acceleration. Courier Corporation, 2013.
  2. Humphries, Stanley. Charged particle beams. Courier Corporation, 2013.
  3. Davidson, Ronald C., and Hong Qin. Physics of intense charged particle beams in high energy accelerators. Imperial college press, 2001.
  4. Lund, Steven M., Takashi Kikuchi, and Ronald C. Davidson. "Generation of initial Vlasov distributions for simulation of charged particle beams with high space-charge intensity". Physical Review Special Topics — Accelerators and Beams, vol. 12, N/A, November 19, 2009, pp. 114801 12, no. UCRL-JRNL-229998 (2007).
  5. Lund, Steven M., Takashi Kikuchi, and Ronald C. Davidson. "Generation of initial kinetic distributions for simulation of long-pulse charged particle beams with high space-charge intensity". Physical Review Special Topics — Accelerators and Beams, 12, no. 11 (2009): 114801.
  6. Batygin, Y. K. "Particle distribution generator in 4D phase space". Computational Accelerator Physics, vol. 297, no. 1, pp. 419-426. AIP Publishing, 1993.
  7. Batygin, Y. K. "Particle-in-cell code BEAMPATH for beam dynamics simulations in linear accelerators and beamlines". Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment 539, no. 3 (2005): 455-489.

Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ