Моделирование интерферометра Саньяка и кольцевого лазерного гироскопа методами геометрической оптики

Christopher Boucher 20/04/2018
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Система пространственной ориентации, которая измеряет ориентацию и вращение объекта в трехмерном пространстве, — ключевой компонент систем навигации летательных и космических аппаратов. В области точного измерения скорости вращения кольцевые лазерные гироскопы и волоконно-оптические кольцевые гироскопы в последнее время стали эффективной альтернативой радиционным механическим гироскопам. Работа этих устройств основана на оптическом явлении, известном как эффект Саньяка. В этой статье мы продемонстрируем возможность численного моделирования этого эффекта в стандартном интерферометре Саньяка с помощью технологий геометрической оптики.

Кружится голова или вся комната?

Одна из основных задач любой системы навигации — отслеживать положение и ориентацию объекта в пространстве, а также скорости изменения этих величин. При этом может требоваться высочайшая точность измерений (чувствительность), особенно для космических полетов. Например, спутники связи могут быть чувствительны к угловым скоростям вращения в одну тысячную градуса в час.

Хотя такие требования к точности могут выглядеть пугающими, принципиальная задача системы ориентации формулируется просто: как определить, насколько быстро и вокруг какой оси вращается система?

В принципе, эта задача ничем не отличается от задачи, которую решает наблюдатель в любой вращающейся системе отсчета, например, гость вращающегося ресторана, представленного на фотографии ниже.

Фотография самого старого вращающегося ресторана в Индии.
Фотография вращающегося ресторана в отеле Ambassador, самого старого вращающегося ресторана в Индии. Автор изображения — AryaSnow, собственная работа. Доступно по лицензии CC BY-SA 4.0 на Викискладе.

Предположим, что вы зашли в такой вращающийся ресторан и хотите определить скорость его вращения Ω в радианах в секунду.

Схематичное изображение человека во вращающемся ресторане.

Для этого проще всего выглянуть наружу. Выберите неподвижный предмет — дом или дерево — и следите за тем, как со временем меняется его положение в вашем поле зрения.

Схематичное изображение человека, наблюдающего неподвижный предмет из вращающегося ресторана.

На схеме выше показано положение дерева в поле зрения наблюдателя (например, в окне) в начальный момент времени t1 и в более поздний момент t2. Пусть угол между двумя направлениями составляет θ (в радианах). Если расстояние до дерева очень велико по сравнению с размерами ресторана, угловую скорость можно оценить как

\Omega \approx \frac{\theta}{t_2-t_1}

Аналогичная ситуация в космосе

Космические полеты гораздо сложнее разобранного выше примера с рестораном, так что нужно учесть несколько принципиальных ограничений. Не очень понятно, какие предметы в космосе можно назвать неподвижными. Например, если использовать для спутника на геостационарной орбите датчик солнечной ориентации, требуется также учитывать относительное перемещение, поскольку Земля движется по орбите вокруг Солнца. Точность звездного датчика, с другой стороны, гораздо выше, потому что все остальные звезды, кроме Солнца, можно считать для многих задач неподвижными и потому что звезда больше похожа на точечный источник света, а не на источник с конечными угловыми размерами.

Из-за высоких требований точности к системам ориентации и управления требуется учитывать конечный размер наблюдаемых объектов. Если вы наводитесь на Солнце, важно знать, на какую именно точку Солнца направлен датчик. Чтобы определить скорость произвольного трехмерного вращения, требуются по меньшей мере два объекта, потому что не всегда очевидно, как ориентирована ось вращения.

Закроем поле зрения

Теперь мысленно вернемся в ресторан и представим, что теперь все окна в нем закрыты. Не выглядывая наружу, мы не можем получить информацию о нашей вращающейся системе отсчета, следя за неподвижными объектами снаружи.

Схематичное изображение человека во вращающемся ресторане без окон.

Тем не менее, угловую скорость вращающейся системы отсчета можно определить, проведя в ней несколько экспериментов. Например, можно положить мяч на пол и посмотреть, покатится ли он под действием центробежной силы. (Для этого требуется знать, где находится ось вращения, а в космическом полете это не всегда очевидно!) Другой подход — воспользоваться механическим гироскопом.

Третий подход, о котором мы расскажем в следующем разделе, — использование уникальных свойств световых лучей, а именно того факта, что во всех системах отсчета скорость света в вакууме одинакова. Когда свет распространяется во вращающейся системе отсчета, возникает так называемый эффект Саньяка. На основе этого эффекта построена работа кольцевого лазерного гироскопа. Эти гироскопы пришли на замену традиционным механическим гироскопам с вращающимися массами. В кольцевых лазерных гироскопах нет вращающихся частей, что значительно облегчает процесс их обслуживания и эксплуатации.

Объяснение эффекта Саньяка

Чтобы наглядно представить себе эффект Саньяка, давайте рассмотрим два встречных световых луча — то есть два луча, распространяющихся в противоположных направлениях, — которые движутся по кольцу. Само кольцо вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью Ω. В системе СИ угловую скорость измеряют в радианах в секунду, но для систем инерциальной навигации чаще используют градусы в час.

 

В начальный момент времени два луча испускаются из точки P0 на кольце. Лучи распространяются в обоих направлениях по кольцу со скоростью света, а точка испускания вращается вместе с системой отсчета. Когда луч, идущий по часовой стрелке, вернется в начальную точку, он окажется в новом положении P1, пройдя немного меньше полного оборота. Когда луч, идущий против часовой стрелки, вернется в начальную точку, он окажется в другом положении P2, пройдя больше одного полного оборота.

Разумеется, на иллюстрации разница расстояний преувеличена. На самом деле расстояние от P1 и P2 до P0 (и между ними) может быть в 10 миллиардов раз меньше! Несмотря на это, настолько малые разности расстояний и времени распространения луча можно обнаружить, поскольку им соответствует сдвиг фазы, и два луча образуют картину интерференции. Если мы обозначим разность расстояний, пройденных лучами, как ΔL, то

(1)

\Delta L = \frac{4 \Omega A}{c_0}

где A — площадь кольца, а c0 = 299 792 458 м/с — скорость света в вакууме.

Оказывается, (1) верно не только для кольцевых путей, но и для траекторий другой формы. Разность оптических путей зависит только от площади, ограниченной замкнутой кривой, но не от ее формы. Более общий вывод (1) основан на общей теории относительности. По сути, эффект Саньяка — это релятивистское явление, но классический вывод дает тот же результат с точностью до первого порядка. Более строгий подход к теории см. в [1] и [2].

Моделирование эффекта Саньяка с помощью функционала модуля Геометрическая Оптика

Теперь давайте разберем модель простейшего интерферометра Саньяка. Он работает на том же принципе, что и кольцевой лазерный гироскоп, но его проще исследовать, поскольку не требуется учитывать распространение лучей в генерирующей среде. (Кроме усиления интенсивности, генерирующая среда может внести много других усложнений, таких как эффекты дисперсии, которые мы можем проигнорировать для наглядности в тестовой модели.) Тем не менее, интерферометр Саньяка в представленной геометрии дает такую же разность оптических путей и разность фаз, как и кольцевой лазерный гироскоп с тем же расположением зеркал, так что на этой модели мы можем многому научиться.

Простой интерферометр Саньяка состоит из светоделителя, двух зеркал и экрана, поглощающего исходящие лучи. Он схематично изображен ниже.

Геометрия интерферометра Саньяка: экран, светоделитель и зеркала.

Несколько параметров геометрии этой модели приведены в таблице ниже.

Название Выражение Значение Описание
λ0 Н/П 632,8 нм Длина волны в вакууме
R Н/П 10 см Радиус кольца
b b=R\sqrt{3} 17,3 см Сторона треугольника
P P = 3b 52,0 см Периметр треугольника
A A = b^2 \sqrt{3}/4 130 см2 Площадь треугольника

Иногда интерферометр имеет не треугольную, а квадратную форму, где зеркала размещены в трех вершинах квадрата, а светоделитель — в четвертой вершине. Лучи распространяются по системе в направлениях, указанных стрелками. Так как все устройство вращается против часовой стрелки, лучи, движущиеся против часовой стрелки, проходят немного большее расстояние до экрана, чем лучи, движущиеся по часовой стрелке.

Чтобы лучше себе представить это явление, изучите две анимированные иллюстрации ниже. (Не забудьте, что вращение здесь преувеличено примерно в десять миллиардов раз!)

 

 

На левой анимации наблюдатель находится в инерциальной (неускоренной) системе отсчета. Лучи в ней распространяются по прямым линиям, но достигают зеркал в разные моменты времени. На правой анимированной иллюстрации наблюдатель находится в космическом аппарате и, таким образом, в неинерциальной системе отсчета. (Строго говоря, даже в этой вращающейся системе отсчета встречные лучи движутся с одинаковой скоростью — скорость света одинакова во всех системах отсчета!)

Для геометрических параметров, указанных выше, расчет по (1) дает разность оптических путей встречных лучей 8 × 10-16 м или 0,8 фемтометра. Эту величину, примерно равную радиусу протона, нелегко измерить! Интерферометры Саньяка и кольцевые лазерные гироскопы обычно измеряют не оптический путь напрямую, а разность частот или частоту биения Δν, которая равна

(2)

\frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{\Delta L}{L}

где ν — частота световой волны в герцах, а L — длина оптического пути для светового луча, обходящего треугольник по периметру.

Обратите внимание, что длина оптического пути L не обязательно равна длине периметра, поскольку на пути может оказаться генерирующая среда с показателем преломления n ≠ 1. В этом примере мы предположим, что в пространстве между зеркалами и светоделителем поддерживается вакуум. Частота биений по порядку величины равна 1 Гц, и ее гораздо проще измерить, чем расстояния порядка радиуса протона.

В этой модели используется интерфейс Geometrical Optics (Геометрическая оптика) для трассировки лучей в интерферометре Саньяка. Два зеркала представляются специализированным граничным условием Mirror (Зеркало) для имитации зеркального отражения. Для светоделителя используется граничное условие Material Discontinuity (Граница раздела) с заданным пользователем коэффициентом отражения 0,5. Таким образом, два встречных луча имеют одинаковые интенсивности.

Для вращения устройства используется опция Rotating Domain (Вращающаяся область), как показано ниже.

Снимок экрана графического интерфейса COMSOL Multiphysics с настройками опции Rotating Domain (Вращающаяся область).

Полученный график показывает, как два луча распространяются в обоих направлениях через систему зеркал. Так как зеркала двигаются медленно в сравнении со скоростью света, на этом графике две траектории неотличимы. Если бы мы увеличили график в 10 миллиардов раз, мы бы смогли различить небольшой сдвиг между двумя треугольниками.

Трассировка лучей внутри интерферометра Саньяка.

На следующем графике показана зависимость частоты биений от угловой скорости интерферометра. Как и следует из (1) и (2), эта зависимость линейная. В левом нижнем углу графика заметны некоторые численные артефакты (ошибки численных расчетов). Они возникают из-за конечной численной точности, что подробно объяснено в документации к модели.

Одномерный график зависимости частоты биений в интерферометре Саньяка от частоты вращения системы.

Применение систем пространственной ориентации в летательных и космических аппаратах

Описанный выше интерферометр Саньяка и другие устройства, например, кольцевой лазерный гироскоп и волоконно-оптический гироскоп, являются примерами инерциальных навигационных систем, которые определяют положение и ориентацию объекта, исходя из известного начального положения и интегрируя поступательную и угловую скорости по времени. На практике инерциальные навигационные системы обычно сочетают с измерением абсолютного положения и ориентации относительно другого космического объекта. Эти абсолютные измерения можно выполнять с помощью датчика направления на Землю, на Солнце или звезду, радиочастотных маяков в известных точках земной поверхности, измерений магнитного поля Земли или сочетаний этих методов.

Неточность инерциальной навигационной системы со временем накапливается из-за погрешностей измерения поступательной и угловой скоростей. Периодически выполняя абсолютные измерения одним из описанных выше методов, эту неточность снижают до более приемлемого уровня. График неточности в зависимости от времени может выглядеть примерно так.

Схематический график неточности инерциальной системы навигации в зависимости от времени.

Заключение

Мы продемонстрировали возможность точного расчета эффекта Саньяка в простом интерферометре с использованием методик геометрической оптики. Полученная частота биений согласуется с более строгими выводами из общей теории относительности в случае, если скорости всех подвижных частей много меньше скорости света. Разность оптических путей в интерферометре Саньяка или в кольцевом лазерном интерферометре зависит только от площади, ограниченной встречными лучами, но не от формы траектории.

Дальнейшие шаги

Нажмите кнопку ниже, чтобы изучить модель интерферометра Саньяка. Перейдя в Галерею приложений, вы можете войти в учетную запись COMSOL Access и скачать MPH-файл модели (требуется действующая программная лицензия) и документацию к модели.

Литература

  1. Post, Evert J. "Sagnac effect", Reviews of Modern Physics, 39, no. 2, p. 475, 1967.
  2. Chow, W.W. et al. "The ring laser gyro", Reviews of Modern Physics, 57, no. 1, p. 61, 1985.

Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта