Распределения в фазовом пространстве и эмиттанс для заряженных пучков частиц в 2D постановке

19/09/2016

Ранее в серии «Распределения в фазовом пространстве для физики пучков» мы рассказали о функциях распределения вероятностей и о разных способах получить выборку на их основе в программном пакете COMSOL Multiphysics®. Знание теоретических и практических основ работы с функциями распределения вероятностей необходимы для понимания того, как ионные и электронные пучки распространяются в реальных системах. В этой заметке мы обсудим понятия фазового пространства и эмиттанса в контексте запуска ионных и электронных пучков.

Пучки ионов и электронов

Пучок ионов или электронов представляет собой группу частиц, обладающих примерно одинаковой кинетической энергией и движущихся приблизительно в одном и том же направлении. Суммарная кинетическая энергия каждой частицы, как правило, намного выше тепловой энергии при обычных температурах, что обеспечивает хорошую степень направленности пучка.

Начнем мы с рассмотрения пучка заряженных частиц в двумерной постановке (2D). Пусть положительная ось z обозначает направление распространения пучка (осевое направление), а ось x— направление, перпендикулярное направлению распространения (поперечное направление). Эти обозначения могут показаться странными, но помните о том, что в конце концов мы будем рассматривать пучки в 3D, и тогда будет удобно обозначить два поперечных направления как x и y.

Как упоминалось ранее, пучок можно охарактеризовать как группу частиц с приблизительно одинаковыми направлением и энергией: ключевое слово здесь — «приблизительно»! В реальности ни в одном пучке частицы не могут двигаться с абсолютно равной скоростью. На самом деле почти вся самая интересная математика, задействованная при излучении и распространении пучка связана с небольшими измененияхми положения и скорости его частиц.

Мы можем охарактеризовать форму пучка по огибающей пучка, которая показывает самые дальние траектории и положения частиц пучка и дает нам представление о его форме. Если у пучка есть выраженная граница (когда численная плотность частиц пучка внезапно снижается до нуля в четко определенной области), огибающая пучка может представлять собой кривую или поверхность, охватывающую траектории движения всех частиц. Однако часто бывает, что плотность частиц пучка снижается постепенно, так что они могут находиться на очень большом расстоянии друг от друга и нельзя точно сказать, где заканчивается пучок и начинается "пустое" пространство. В таком случае огибающую пучка можно определить как кривую или поверхность, содержащую достаточно большое количество частиц пучка (как правило, 95 %). Пучок считается сходящимся (converging), если его огибающая уменьшается по мере распространения пучка; и расходящимся (diverging), если огибающая пучка увеличивается; и пучком с перетяжкой (фокусом), если пучок переходит от процесса схождения к расхождению. См. иллюстрацию ниже.

Схема пучка.

Сравнение ламинарных и неламинарных пучков

На следующем графике наглядно показаны траектории частиц в простом двумерном пучке. Обратите внимание, что мы не будем на данном этапе учитывать эффекты объемного заряда и внешние силы. Подписи на осях координат указывают на осевое и поперечное направления. Мы будем рассматривать этот пучок как идеальный плоский пучок, то есть простирающийся на бесконечное расстояние во внеплоскостном направлении (y). Линии обозначают траектории электронов в пучке, а стрелки — векторы их скорости. Цветовое обозначение вдоль каждой линии указывает на изменение координаты x, или поперечного положения электрона, также называемого поперечным смещением.

График, демонстрирующий траектории движения частиц в ламинарном пучке.

Обратите внимание на то, что начало координат выбрано таким образом, чтобы координаты x измерялись от центра пучка. Обычно удобно отмерять поперечное положение частиц, начиная от точки на осевой линии или номинальной траектории. Скорость изменения поперечного положения — это поперечная скорость vx.

На предыдущем и на следующих изображениях поперечное смещение и скорость несколько преувеличены для целей наглядной визуализации. Как правило, на практике они крайне малы по сравнению со смещением и скоростью вдоль оси пучка.

Пучок, показанный выше, называется ламинарным пучком, поскольку имеет следующие свойства:

  1. Между поперечным положением и скоростью имеется взаимно однозначное соответствие. При любом поперечном положении траектории частиц луча не пересекаются. Единственное исключение составляют сходящиеся пучки, в которых траектории всех частиц пересекаются в одной точке.
  2. Поперечное положение и скорость прямо пропорциональны.

Последнее из этих свойств важно, поскольку благодаря ему исходно ламинарный пучок при распространении остается ламинарным. Обратите внимание на следующую схему сходящегося пучка, в котором поперечное положение и скорость связаны квадратичной зависимостью, а не линейной. Хотя изначально (при z = 0) ни одна из траекторий не пересекает другую, они все равно пересекутся позже. В любой из этих точек пересечения возможно множество значений поперечной скорости для одного поперечного положения, и поэтому первое свойство нарушается.

Сходящийся неламинарный пучок.

Напротив, в ламинарном пучке траектории частиц никогда не пересекаются, если только пучок не является сходящимся, для которого все траектории пересекаются в одной точке (см. ниже).

График с траекториями частиц в ламинарном пучке, пересекающимися в одной точке.

Как правило, на практике имеется распределение значений поперечной скорости в любом поперечном положении, А траектории частиц постоянно пересекаются. Таким образом, пучки в реальном мире являются неламинарными, а ламинарный пучок, который мы рассматривали ранее, — просто идеализация. Более реалистичное распределение поперечной скорости для неламинарного пучка показано ниже.

Реалистичное распределение поперечной скорости для неламинарного пучка.

Чтобы лучше понять разницу между ламинарными и неламинарными пучками, рассмотрим их распределения в фазовом пространстве. Распределения в фазовом пространстве могут быть представлены в различном формате, но здесь мы будем рассматривать частицы в виде точек на плоскости, оси которой обозначают поперечное положение и скорость. (В другом случае, две оси могли бы обозначать положение и импульс. При этом очевидно изменится размерность распределения, но его форма существенно не изменится.) Фазовые распределения в COMSOL Multiphysics можно с легкостью построить, используя тип графика Phase Portrait (Фазовый портрет).

Сначала давайте рассмотрим фазовый портрет ламинарного пучка. Этот график построен на исходной границе, с которой запускается пучок, в момент времени t = 0.

Фазовый портрет для ламинарного пучка.

Как и ожидалось, из точек формируется прямая, проходящая через начало координат. (Вспомните, что по определению поперечное положение и скорость в ламинарном пучке связаны линейной зависимостью.) Следующий же график представляет собой фазовый портрет неламинарного пучка.

Фазовый портрет для неламинарного пучка.

Точки больше не расположены на прямой, а образуют нечеткое облако в фазовом пространстве с центром в начале координат. Кажется, что точки расположены в случайном порядке, и между их положениями нет никакой очевидной связи. Чтобы получить более ясное представление о распределении в фазовом пространстве, рассмотрим тот же пучок, но с гораздо большим размером выборки — 1000 частиц.

Фазовый портрет для неламинарного пучка с выборкой из 1000 частиц.

Картина проясняется — скопление частиц принимает форму эллипса в фазовом пространстве. Поскольку плотность эллипса выше всего в центре, частицы, расположенные ближе к оси пучка, имеют больший разброс скоростей, чем частицы, находящиеся рядом с границей огибающей пучка. Такие распределения в форме эллипса очень широко распространены в физике пучков, при этом конкретные пропорции и ориентация эллипса и точное положение частиц в нем могут отличаться. Как и в случае с огибающей пучка, плотность частиц в эллипсе в фазовом пространстве может спадать резко или постепенно. В последнем случае эллипс можно задать так, чтобы он охватывал некоторую произвольную долю частиц пучка, скажем 95 %.

На практике большинство пучков заряженных частиц параксиальны, то есть компоненты поперечной скорости очень малы по сравнению с продольной скоростью. В параксиальном пределе каждую частицу можно охарактеризовать ее поперечным положением x и углом наклона x' = v_x/v_z. (Эту величину можно обоснованно называть углом, поскольку в параксиальном пределе sin(x') \approx x'.) Распределение величин x и x' для частиц пучка называется распределением в пространстве следов (trace space distribution), а эллипс, охватывающий это распределение, называется эллипсом в пространстве следов.

Эволюция и вращение эллипсов фазового пространства

Эллипс, показанный на предыдущем изображении, приблизительно симметричен относительно осей x и vx. Однако это не всегда так: по мере распространения пучка эллипс меняет свою форму — даже при отсутствии каких-либо сил — просто потому, что выражения вдоль двух осей связаны. Частицы с положительной поперечной скоростью (vx > 0) движутся в фазовом пространстве вправо (в направлении +x), поскольку по определению dx/dt=v_x. Аналогичным образом, частицы с отрицательной поперечной скоростью движутся влево. Следующая анимация демонстрирует вращение эллипса фазового пространства со временем в пучке без учета эффектов пространственного заряда.

 

Если эллипс обладает зеркальной симметрией относительно осей x и vx, можно сказать, что он вертикальный (upright). Вертикальный эллипс в фазовом пространстве соответствует перетяжке вдоль траектории пучка.

Введение понятия эмиттанса

В физике пучков часто удобнее работать в пространстве следов (плоскость x-x'), чем в плоскости x-vx или x-px. Это связано с тем, что для визуализации формы пучка куда полезнее знать угол наклона x', а не поперечную скорость или импульс. Эллипс в пространстве следов (эллипс, построенный на плоскости x-x' и охватывающий частицы в пространстве следов) имеет общую форму, описываемую соотношением

\gamma x^2 + 2\alpha x x' + \beta x'^2 = \varepsilon,

где параметры γ, β и α, называемые параметрами Твисса или параметрами Куранта—Снайдера, не являются независимыми. Вместо этого они связаны условием Куранта–Снайдера

(1)

\gamma \beta -\alpha^2 = 1.

Величина \gamma \beta -\alpha^2 также называется инвариантом Куранта—Снайдера.

В совокупности параметры γ, β, α и ε описывают форму, размер и ориентацию эллипса в пространстве следов следующим образом:

  • Параметр γ чаще всего определяется через другие параметры согласно уравнению (1). Он описывает пропорции пучка. При увеличении γ и сохранении постоянной величины ε пучок занимает меньшую область пространства (более узкий диапазон значений x), но имеет более широкий разброс скоростей (более широкий диапазон значений x').
  • Параметр α описывает наклон эллипса в пространстве следов. Для вертикально ориентированного эллипса и, соответственно, перетяжки пучка α = 0. Пучок является сходящимся, если α > 0, и расходящимся, если α .
  • Параметр β, также называемый амплитудной или бетатронной функцией, описывает пропорции пучка. При увеличении β и сохранении постоянной величины ε пучок занимает более значительную область пространства (более широкий диапазон значений x), но имеет более узкий разброс скоростей (более узкий диапазон значений x').
  • Параметр ε описывает размер эллипса в пространстве следов. Он также называется эмиттансом. Поскольку мы говорим о поперечном положении и импульсе, можно называть этот параметр более конкретно — поперечный эмиттанс.

Несмотря на то, что эмиттанс пучка определяет площадь эллипса, связь между ним и площадью эллипса задают по-разному. В соответствии с одним из типовых формализмов, эмиттанс является произведением длин большой и малой полуосей эллипса: A = 4πε. Это показано на следующей схеме, поясняющей, как параметры Твисса связаны с пропорциями и ориентацией эллипса.

Схема, показывающая, как параметры Твисса связаны с пропорциями и ориентацией эллипса.

Эмиттанс также часто умножают на 4, чтобы в результате получить A = πε. Кроме того, в некоторых источниках множитель π опускается: A = ε. Задавая величину эмиттанса пучка, не забывайте, какой формализм применяется.

Статистические интерпретации эмиттанса

Итак, мы узнали, что эмиттанс пучка соответствует площади фазового пространства, которое он охватывает. Однако помимо геометрической интерпретации, можно определить и статистическую, в которой эмиттанс описывается с точки зрения средних величин для группы частиц.

Среднеквадратичный (RMS) эмиттанс можно определить выражением

(2)

\varepsilon = \sqrt{\langle (x – \langle x \rangle)^2 \rangle \langle (x' – \langle x' \rangle)^2 \rangle – \langle ((x – \langle x \rangle)(x' – \langle x' \rangle))^2 \rangle}, \; \;\;

где выражение в угловых скобках обозначает среднее арифметическое

\langle x \rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.

Для геометрического определения эмиттанса принято умножать среднеквадратичное выражение на 4:

(3)

\varepsilon = 4 \sqrt{\langle (x – \langle x \rangle)^2 \rangle \langle (x' – \langle x' \rangle)^2 \rangle – \langle ((x – \langle x \rangle)(x' – \langle x' \rangle))^2 \rangle}. \; \;\;

В COMSOL Multiphysics мы приняли дополнительные меры, чтобы определение интенсивности было максимально однозначным: выражение (2) называется 1-RMS emittance, а выражение (3)4-RMS emittance. Если эллипс в пространстве следов расположен так, что его центр находится в начале координат плоскости x-x', то \langle x \rangle = \langle x' \rangle = 0 и уравнение (2) можно упростить до

\varepsilon_{1,\textrm{rms}} = \sqrt{\langle x^2\rangle \langle x'^2 \rangle -\langle xx'^2 \rangle},

где нижние индексы более явно указывают на 1-RMS эмиттанс. Аналогичным образом можно записать статистические определения для параметров Твисса (снова используя упрощающее допущение \langle x \rangle = \langle x' \rangle = 0):

\begin{aligned} \gamma &= \frac{\langle x'^2 \rangle}{\varepsilon_{1,\textrm{rms}}} \\ \beta &= \frac{\langle x^2 \rangle }{\varepsilon_{1,\textrm{rms}}} \\ \alpha &= -\,\frac{\langle xx' \rangle}{\varepsilon_{1,\textrm{rms}}}. \end{aligned}

Из статистических определений параметров Твисса более очевидно, что величина α положительна, если большинство частиц находится во 2 и 4 квадрантах пространства следов, то есть если пучок сходится.

Преимуществом статистической интерпретации эмиттанса пучка является отсутствие погрешности, связанной с построением эллипса вокруг произвольного распределения в фазовом пространстве и определением его площади. Недостаток этого подхода заключается в том, что при отсутствии очевидной границы пучка небольшое количество частиц, находящихся далеко от его центра, может существенно исказить результаты расчета эмиттанса и параметров Твисса. Иногда такие частицы, например в «хвостах» распределений Гаусса, намеренно исключаются из статистического определения эмиттанса пучка.

Интерпретации эмиттанса пучка

Малое значение эмиттанса пучка связано со следующим набором свойств:

  • Меньший размер пучка (сокращенный диапазон значений x)
  • Меньший разброс скоростей (сокращенный диапазон значений x')

Как правило, этот критерий по возможности уменьшают. Однако в большинстве процессов эмиттанс либо остается постоянным, либо увеличивается. Существует несколько методов для охлаждения пучка, или снижения эмиттанса, однако в этой серии статей они рассматриваются лишь поверхностно.

Зачем нужно снижать эмиттанс пучка? Помимо прочих причин, следует помнить, что фундаментальные исследования в физике частиц способствовали значительному прогрессу в разработке ускорителей частиц, особенно в задачах физики высоких энергий. Для столкновения высокоэнергетических частиц чаще скрещивают два пучка частиц, а не сталкивают пучок с неподвижной мишенью. Однако поперечное сечение столкновения двух встречных пучков намного меньше поперечного сечения взаимодействия одного пучка с неподвижной мишенью. Поэтому современные ускорители частиц нацелены на то, чтобы вместить как можно больше энергетических частиц в узкое пространство и обеспечить максимальную вероятность столкновения.

Высокая интенсивность пучка означает, что частицы либо распределены по обширной области, либо имеют большую разность скоростей, из-за которой они впоследствии будут занимать более обширное пространство. Оба варианта снижают частоту столкновений частиц во встречных пучках.

Обобщение на случай трехмерной задачи

На данном этапе мы изучили, как устроены пучки частиц, как отличить ламинарные пучки от неламинарных и как связано распределение в фазовом пространстве с понятием поперечного эмиттанса в неламинарном пучке. Мы узнали, что реальные пучки, как правило, занимают некоторую область конечного размера в фазовом пространстве или пространстве следов, а эмиттанс является количественным показателем, в некотором роде прямо пропорциональным площади в фазовом пространстве.

Более того, мы обсудили два подхода к его интерпретации: геометрический — через площадь в фазовом пространстве, и статистический — через средние арифметические значения для частиц пучка и их углов наклона. При этом мы рассматривали только идеальные плоские пучки в двумерной постановке. При увеличении количества измерений до трех нам потребуется рассматривать эмиттанс в двух ортогональных поперечных направлениях. У реальных пучков также имеется некоторое распределение скорости в осевом направлении, обуславливающий т.н. продольный эмиттанс.

Далее мы впервые рассмотрим распределения в фазовом пространстве в трехмерных пучках частиц и узнаем, как получить выборку из распределений в фазовом пространстве и воспроизвести некоторые из эллипсов в фазовом пространстве, которые мы изучили выше.

Ссылки на другие части данной серии

Список литературных источников

  1. Humphries, Stanley. Charged particle beams. Courier Corporation, 2013.
  2. Davidson, Ronald C., and Hong Qin. Physics of intense charged particle beams in high energy accelerators. Imperial college press, 2001.

Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ