Моделирование тонких диэлектрических плёнок в оптических расчетах

Christopher Boucher 06/05/2015
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Тонкие диэлектрические плёнки являются универсальным способом управления распространением света. Они могут использоваться, к примеру, в качестве просветляющего покрытия для уменьшения рассеяния света. Также их можно использовать в качестве отражателей с малыми потерями или в качестве фильтров для передачи излучения определённого диапазона частот. В данной заметке мы рассмотрим несколько встроенных в модуль Ray Optics (Геометрическая оптика) инструментов, предназначенных для моделирования оптических систем с диэлектрическими плёнками.

Базовые понятия о тонких плёнках и пропускающей способности

Поскольку оптика тонких диэлектрических плёнок основана на таких понятиях, как отражение и преломление (в т.ч. многократное) от различных поверхностей, мы начнём с описания базовых уравнений для отражения и преломления на одной границе между двумя средами, которая называется в интерфейсе COMSOL material discontinuity (граница раздела). Отражение и преломление света на границе определяется уравнениями Френеля:

(1)

\begin{aligned} t_s &= \frac{2n_1 \cos\theta_i}{n_1 \cos\theta_i+n_2 \cos\theta_t} \\ t_p &= \frac{2n_1 \cos\theta_i}{n_2 \cos\theta_i+n_1 \cos\theta_t} \\ r_s &= \frac{n_1 \cos\theta_i-n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i+n_2 \cos\theta_t} \\ r_p &= \frac{n_2 \cos\theta_i-n_1 \cos\theta_t}{n_2 \cos\theta_i+n_1 \cos\theta_t} \end{aligned}

где n_1 и n_2 — показатели преломления смежных сред с падающим и отражённым лучами, соответственно, \theta_i — угол падения, \theta_t — угол отражения. Ниже изображён поясняющий рисунок.

На рисунке изображена поясняющая диаграмма с обозначением углов падения и отражения в рассматриваемой оптической системе.

Величины r и t — коэффициенты отражения и пропускания, соответственно. Индексы s и p показывают поляризацию падающего луча. Если вектор напряжённости электрического поля направлен по нормали к плоскости падения (которая содержит как падающий луч, так и нормаль к поверхности), то луч называется s-поляризованным. Если же вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения, то луч называется p-поляризованным.

Для простоты в дальнейшем отбросим индексы s- и p- для указания поляризации. Предположим, что используются корректные (для конкретной задачи) коэффициенты отражения и пропускания.

Если интенсивность падающего луча составляет I_0, то отражённый и преломлённый лучи будут иметь интенсивность:

(2)

\begin{aligned} I_r &= R I_0 \\ I_t &= T I_0 \\ R &= \left|r\right|^2 \\ T &= \frac{n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i}\left|t\right|^2 \end{aligned}

Величины R и T называются отражающей (reflectance) и пропускающей способностью (transmittance) соответственно. Подставляя в формулу (2) коэффициенты Френеля из уравнения (1), мы видим, что энергия сохраняется, I_r+I_t=I_0.

Теперь давайте рассмотрим, что произойдёт, если лучи отражаются и преломляются от двух параллельных границ, разнесенных на небольшое расстояние. Эти две границы будут поверхностями тонкой диэлектрической плёнки, которая разделяет две среды. Под «тонкой» мы обычно подразумеваем, что толщина плёнки сравнима с длиной электромагнитной волны. Предположим, что толщина плёнки намного меньше, чем длина когерентности излучения. Другими словами, в масштабе длины, сравнимой с толщиной плёнки, мы можем рассматривать электромагнитные волны, как идеальные синусоидальные кривые. Наша задача — рассчитать интенсивность излучения, которое распространяется в обе стороны от тонкой плёнки.

Как показано на рисунке ниже, мы полагаем, что одиночный луч попадает в узкую область с коэффициентом преломления n_2, которая находится между двумя средами с показателями преломления n_1 и n_3. Пусть r_{12} — коэффициент отражения между областями 1 и 2, а r_{23} — между областями 2 и 3.

На рисунке изображено прохождение луча через узкую область с заданным показателем преломления.

После попадания внутрь тонкой плёнки луч начнёт переотражаться между двумя её границами. При каждом достижении границы раздела двух сред, часть луча отражается, а часть, преломляясь, проходит дальше, таким образом интенсивность вдоль пленки уменьшается. Амплитуды многочисленных лучей в доменах прилегающих к пленке, вносят определенный вклад в результирующие отраженное и прошедшее поля. Вследствие разного оптического пути эти лучи могут интерферировать (как конструктивно, так и деструктивно) друг с другом внутри доментов. То есть суммарная величина отражённого и прошедшего полей может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от разности фаз между лучами.

Из-за интерференции, интенсивность отражённого и преломлённого излучения зависит от отношения длины волны, \lambda_0, к толщине плёнки, d, а не только от свойств среды и угла падения. Согласно монографии Optical Properties of Thin Solid Films (1991) (Оптические свойства тонких твёрдых плёнок), написанной O. S. Heavens, эквивалентные коэффициенты отражения находятся из формул:

(3)

r_{\textrm{eq}} = \frac{r_{12}+r_{23}e^{-2i\delta}}{1+r_{12}r_{23}e^{-2i\delta}}

где \delta — это разность фаз при прохождении пленки, которая в свою очередь определяется, как:

(4)

\delta = \frac{2\pi n_2 d \cos\theta_2}{\lambda_0}

где \theta_2 — это острый угол между углом падения луча и нормалью к поверхности отражения. Если несколько тонких слоёв расположены последовательно, то можно рекурсивно использовать формулу (3), чтобы рассчитать итоговые коэффициенты пропускания и отражения для структуры. Существует ещё несколько методов расчёта этих коэффициентов в многослойной плёнке. Некоторые из них описаны в монографияхOptical Properties of Thin Solid Films (Оптические свойства тонких твёрдых плёнок) O. S. Heavens (1991) и Principles of Optics (Законы оптики) M. Born и E. Wolf (1999).

Просветляющие покрытия

Из-за интерференции электромагнитных волн по обеим сторонам тонкой плёнки, её коэффициент пропускания может быть значительно больше или меньше, чем тот же коэффициент на границе между двумя средами. Это зависит от свойств сред, толщины плёнки, длины волны и угла падения. Мы можем использовать это полезное свойство для управления количеством пропускаемого или отражённого света.

В просветляющих покрытиях диэлектрические плёнки используются для уменьшения отражающей способности границы раздела. Такие покрытия могут состоять из одного или нескольких слоёв. Они используются для значительного уменьшения нежелательного излучения, так называемого рессеянного "паразитного" света (stray light) в оптической системе. Предположим, например, что свет распространяется в комнате и фокусируется стеклянной линзой с показателем преломления 1.45. Полагая, что угол падения будет около 0, коэффициент отражения от поверхности линзы можно рассчитать по следующей формуле:

(5)

R\approx\left(\frac{1-1.45}{1+1.45}\right)^2\approx 0.034

То есть более 3% излучения сразу отражается и рассеивается, уменьшая количество света, которое может быть сфокусировано линзой. Обычно стоит задача максимально уменьшить количество рассеиваемого света.

На рисунке изображено прохождение и рассеяние света на линзе.

Например, если коэффициенты отражения с обоих сторон плёнки равны, то есть r_{12}=r_{23}, и разность фаз проходящих через плёнку лучей, \delta = \pi/2, то, применяя формулу (3), получаем – r_{\textrm{eq}}=0. Следовательно, рассеиваемое излучение равно 0. Для лучей, падающих перпендикулярно к поверхности, можно получить желаемую разность фаз путём изменения толщины слоя по формуле d=\lambda_0/(4n_2), т.е. при толщине одного слоя равной четверти длины волны. Чтобы выполнялось равенство r_{12}=r_{23}, нужно, чтобы показатель преломления плёнки был средним геометрическим показателей преломления с каждой стороны, n_2=\sqrt{n_1 n_3}.

У однослойного покрытия, о котором мы только что говорили, коэффициент отражения будет равен нулю только на определённой частоте и при определённом угле падения. Кроме того, не всегда возможно достать материал с требуемым показателем преломления материала, соответствующем условию среднегеометрического значения. Решением данной проблемы является использование многослойной плёнки, которая будет иметь постоянный низкий коэффициент отражения в широком диапазоне частот. Также это обеспечит большую гибкость при выборе материалов.

Модуль Ray Optics (Геометрическая оптика) позволяет задавать и рассчитывать однослойные и многослойные плёнки на поверхностях. В т.ч. доступна опция по заданию однослойного просветляющего покрытия на границе. В настройках вы можете задавать необходимую пропускающую или отражающую способность в зависимости от показателя преломления, длины электромагнитной волны и угла падения. Также доступен прямой способ задания однослойных или многослойных плёнок с определенными показателями преломления и толщиной каждого слоя.

На графике ниже сравниваются коэффициенты отражения двух просветляющих покрытий. Первое имеет два слоя толщиной 1/4 длины волны каждый, второе — три слоя толщиной 1/4 длины волны, 1/2 длины волны и 1/4 длины волны, соответственно. По графику видно, что отражающая способность менее 0.5% у первого покрытия в диапазоне 100 нм, а у второго (четверть-половина-четверть длины волны) этот диапазон составляет более 250 нм.

На рисунке показано сравнение отражающей способности двух тонких плёнок.

Для более подробной информации о настройке моделей с диэлектрическими плёнками, ознакомьтесь с учебным примером Anti-reflective Coating, Multilayer (Просветляющее многослойное покрытие).

Высокоотржающие покрытия

Тонкие диэлектрические плёнки могут также использоваться для увеличения отражающей способности, создавая зеркала со значительно меньшими потерями, чем блестящие металлические поверхности. Такие пленочные устройства называются высокоотражающими покрытиями или распределёнными брэгговскими отражателями (distributed Bragg reflectors). Они состоят из набора слоёв с чередующимися высоким n_H и низким n_L показателями преломления, как показано ниже.

На рисунке показаны тонкие чередующиеся слои распределённого брэгговского отражателя.

Толщины слоёв определяются уравнением

(6)

n_H t_H = n_L t_L = \frac{\lambda_0}{4}

Распределенные брэгговские отражатели характеризуются фотонной полосой запирания (непрозрачности) \Delta \lambda_0, т.е. определённым диапазоном частот, в котором отражающая способность почти равна 1:

(7)

\Delta \lambda_0 = \frac{4\lambda_0}{\pi}\arcsin\left(\frac{n_H-n_L}{n_H+n_L}\right)

Чем больше слоёв, тем ближе она к единице в полосе запирания.

На рисунке изображена зависимость отражающей способности в полосе запирания.

Чтобы узнать больше соответствующих настройках, ознакомьтесь с учебным примером Distributed Bragg Reflector (Распределённый брэгговский отражатель).

Этот пример также доступен в формате приложения. С помощью приложения "Фильтр на основе брэгговского отражателя" вы сможете рассчитывать отражающую способность распределённого отражателя в широком диапазоне частот. Приложение строит график зависимости отражающей способности от длины волны в вакууме, а также рассчитывает ширину полосы запирания, определяемую как область, в которой отражающая способность превышает заданное пороговое значение.

На рисунке показан интерфейс приложения и результаты расчета фильтра на основе распределенного брэгговского отражателя.

Как мы определили ранее, типичная толщина каждого слоя распределенного брэгговского отражателя равна \lambda_0/4. Если между ними вставить слой толщиной \lambda_0/2, то становится возможным передавать излучение определённой частоты в пределах полосы запирания, как показано ниже.

На рисунке показано, как построить график пропускания в рассматриваемом приложении COMSOL Multiphysics.

Этот тип фильтра будет полезен для передачи излучения из спектрально узкого источника, в то же время отклоняя паразитные сигналы от других источников. Вы можете скачать приложение "Фильтр на основе брэгговского отражателя" по ссылке.

Дополнительная информация


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Трассировка частиц Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта