Моделирование металлических объектов в волновых электромагнитных задачах

Walter Frei 14/05/2015
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Металлы — это материалы, которые обладают высокой проводимостью и отражают падающее электромагнитное излучение — световые, микро- и радио- волны — с очень высокой эффективностью. При использовании модуля Радиочастоты или модуля Волновая Оптика для численного решения задач электродинамики в частотной области, существует несколько приемов для моделирования металлических объектов. В данной статье, мы рассмотрим Переходное граничное условие (Transition boundary condition), а также Импедансное граничное условие (Impedance boundary condition) и условие типа Идеальный Электрический Проводник (Perfect Electric Conductor — PEC), и разберем, когда и как следует применять каждое из них.

Что такое металл с точки зрения электромагнетизма?

При ближайшем рассмотрении вопроса о том, что такое металл, естественно сделать это с точки зрения уравнений Максвелла, которые являются основой электродинамики. Рассмотрим частотно-зависимую форму уравнений Максвелла:

\nabla \times \left( \mu_r^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right) – {-\frac{\omega^2}{c_0^2}} \left( \epsilon_r -\frac{i \sigma}{\omega \epsilon_0} \right) \mathbf{E}= 0

Приведенное выше уравнение решается с помощью интерфейса Electromagnetic Waves, Frequency Domain (Электромагнитные Волны, Частотная Область), доступном в модулях Радиочастоты и Волновая Оптика. В результате решения находится распределение вектора напряженности электрического поля, \mathbf{E}, на рабочей частоте \omega = 2 \pi f. Другие обозначения описывают свойства материала: \mu_r является относительной магнитной проницаемостью, \epsilon_r — это относительная диэлектрическая проницаемость, и \sigma электрическая проводимость.

В рамках нашего обсуждения, мы будем говорить, что металлом является любой материал с потерями, который также обладает сравнительно небольшой глубиной скин-слоя. Материалом с потерями будем называть любой материал, который имеет комплексно-значную диэлектрическую или магнитную проницаемости, или обладает ненулевой проводимостью. Таким образом, материал с потерями привносит в основное уравнение члены с чисто мнимой частью. Это приводит к возникновению электрических токов внутри материала, и характеризуется глубиной скин-слоя — мерой толщины материала, в которой эти токи протекают.

Для любой ненулевой рабочей частоты, индукционные эффекты направляют к границе любой ток, протекающий в материале с потерями. Глубина скин-слоя — это толщина материала, в которой находится приблизительно 63% протекающих токов. Она определяется следующим выражением:

\delta=\left[ \operatorname{Re} \left( \sqrt{i \omega \mu_0 \mu_r (\sigma + i \omega \epsilon_0 \epsilon_r)} \right) \right] ^{-1}

где и \mu_r и \epsilon_r могут быть комплексно-значными величинами.

На сверхвысоких частотах, приближающихся к оптическому диапазону, мы находимся вблизи частот плазмонного резонанса материала, и металлы, фактически, представляются с помощью комплексной диэлектрической проницаемости. Однако, при моделировании металлов ниже этих частот, можно сказать, что диэлектрическая проницаемость равна единице, магнитная проницаемость является вещественной величиной, а электропроводность очень велика. Так что приведенное выше выражение сводится к:

\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega \mu_0 \mu_r \sigma }}

Прежде чем вы задумаетесь о том, чтобы начать моделирование в среде COMSOL Multiphysics, вы должны вычислить или выполнить хотя бы грубую оценку глубины скин-слоя для всех материалов, которые участвуют в моделировании. Глубина скин-слоя, вместе со знанием характерных размеров частей объекта, будет определять, возможно ли использование импедансного граничного условия (Impedance boundary condition) или следует применять Переходное граничное условие (Transition boundary condition).

Импедансное граничное условие (Impedance boundary condition)

Итак, теперь когда мы имеем оценку глубины скин-слоя, мы хотим сравнить ее с характерным размером, L_c, объекта моделирования. Существуют различные способы определения L_c. В зависимости от ситуации, характерный размер можно определить, как отношение объема к площади поверхности, или как толщину самой тонкой части объекта моделирования.

Давайте рассмотрим объект, для которого L_c \gg \delta. То есть, объект намного больше глубины скин-слоя. Хотя и есть токи, протекающие внутри объекта, но скин-эффект не позволяет им проникнуть вглубь, выталкивая их на поверхность. Итак, с точки зрения моделирования, мы можем рассматривать токи, как текущие по поверхности. В этой ситуации целесообразно использовать Импедансное граничное условие (Impedance boundary condition), которое трактует любой материал, находящийся «за» границей, как неограниченную среду. С точки зрения электромагнитной волны, это верно, так как условие L_c \gg \delta означает, что волны не могут проникнуть через объект.

Пример металлического объекта с очень малой глубиной скин-слоя.
Применение импедансного граничного условия (Impedance boundary condition) является обоснованным, если глубина скин-слоя гораздо меньше размеров объекта.

С импедансного граничного условия (Impedance boundary condition — IBC), можно избежать численного решения уравнений Максвелла внутри любых металлических областей моделирования, предполагая, что протекание токов сосредоточено исключительно на поверхности. Таким образом, можно не выполнять разбиения внутренних областей и сэкономить значительные вычислительные ресурсы. Кроме этого, IBC-условия вычисляют потери, обусловленные конечной проводимостью. Пример соответствующего использования IBC и сравнения численного решения с аналитическими результатами, приведен в учебной модели Вычисление Q-факторов и резонансных частот объемных полых резонаторов.

Точность решения с IBC-условиями возрастает при L_c / \delta \rightarrow \infty; хотя становится достаточно точным уже при L_c / \delta \gt > 10 для гладких объектов типа сферы. Объекты с острыми вершинами или резкими гранями, такие как клинья, будут страдать от некоторой неточности решения вблизи изломов поверхности, но, как правило, это локальный эффект и, вместе с тем, неотъемлемая проблема, возникающая всегда, когда в модели присутствуют острые края, что обсуждалось в предыдущем нашем топике.

А что, если теперь мы имеем дело с объектом, у которого один из размеров намного меньше, чем другие, например в случае тонкой пленки материала типа алюминиевой фольги? В этом случае, глубина скин-слоя в одном направлении может быть реально сравнимой с толщиной, так что электромагнитные поля будут частично проникать через материал. IBC-условия здесь не подходят. Вместо этого нужно будет использовать Переходные граничные условия.

Переходное граничное условие (Transition boundary condition)

Переходные граничные условия (Transition boundary condition — TBC) применяются для слоя проводящего материала, толщина которого относительно мала по сравнению с характерными размерами и радиусом кривизны моделируемых объектов. TBC-условия можно использовать, даже если толщина материала во много раз превышает глубину скин-слоя.

TBC-условия принимают, в качестве входных данных, параметры материала и толщину пленки, вычисляя значения импеданса и тангенциального импеданса в зависимости от толщины пленки. После чего они используются, чтобы связать токи, текущие по поверхности каждой из сторон пленки. То есть, TBC-условия приводят к спаданию прошедшего электрического поля.

С вычислительной точки зрения, число степеней свободы на границе удваивается для расчета электрического поля на обеих поверхностях TBC-условий, как показано на рисунке ниже. Кроме этого, вычисляются также общие потери излучения в зависимости от толщины пленки. В качестве примера использования этого граничного условия, см. учебную модель Делитель пучка, в которой моделируется тонкий слой серебра с применением комплексно-значной диэлектрической проницаемости.

Схема металлического объекта с поверхностными токами.
Переходные граничные условия вычисляют поверхностные токи на обеих сторонах границы.

Добавление шероховатости поверхности

До сих пор, как в случае IBC, так и в случае TBC, мы предполагали, что поверхность является идеальной. Плоская граница предполагается геометрически идеальной. Искривленные границы описываются с точностью до геометрической погрешности дискретизации используемой конечно-элементной сетки, как обсуждается здесь.

Иллюстрация поверхностных токов на шероховатой и гладкой поверхности.
Шероховатые поверхности препятствуют протеканию тока по сравнению с гладкими поверхностями.

Все реальные поверхности, однако, обладают некоторой шероховатостью, которая может играть значительную роль. Несовершенство поверхности препятствует чисто тангенциальному протеканию тока и эффективно уменьшает проводимость поверхности (как показано на рисунке выше). Начиная с версии 5.1 среды COMSOL Multiphysics, этот эффект может быть учтен с помощью опции Surface Roughness (Шероховатость Поверхности), которая может быть добавлена к IBC- и TBC-условиям.

Для IBC-условий, входным параметром является Среднеквадратичное отклонение (Root Mean Square — RMS) шероховатости от высоты рельефа поверхности. Для TBC-условий, входным параметром, вместо этого, является среднеквадратичное изменение толщины пленки. Величина этой шероховатости должна быть больше глубины скин-слоя, но много меньше характерных размеров объекта. Эффективная проводимость поверхности уменьшается с ростом шероховатости, как описано в “Точные модели для автоматизированного проектирования микрополосковых устройств (Accurate Models for Microstrip Computer-Aided Design)” by E. Hammerstad and O. Jensen. Существует также вторая модель шероховатости, известная как Snowball model (Модель снежка), которая использует соотношения описанные в книге Основы целостности сигналов (The Foundation of Signal Integrity) by P. G. Huray.

Граничное условие типа Идеальный Электрический Проводник (Perfect Electric Conductor)

Также стоит рассмотреть идеализированную ситуацию — граничное условие типа Идеальный электрический проводник (Perfect Electric Conductor — PEC). Для множества приложений, в радио- и микроволновом диапазоне, потери на границе металлических объектов/областей довольно малы по отношению к прочим потерям в системе. В СВЧ-устройствах, например, потери в диэлектрической подложке, как правило, значительно превышают потери в любой металлизации (т.е. пленке металла на поверхности подложки).

Граничное условие PEC является поверхностью без потерь; она со 100% эффективностью отражает любое падающее излучение. Это граничное условие достаточно хорошо служит для многих целей и задач в моделировании и может быть использовано на ранней стадии процесса создания модели. Иногда бывает весьма познавательно посмотреть, насколько хорошо будет функционировать устройство при отсутствии потерь в материалах.

Кроме того, граничное условие PEC может быть применено в качестве условия симметрии для упрощения процесса моделирования. В зависимости от предварительной информации о структуре полей, можно использовать граничное условие PEC, равно как и его дополнение — ГУ Идеальный магнитный проводник (Perfect Magnetic Conductor — PMC) — для реализации условий симметрии электрических (или магнитных) полей. Учебная модель Расчет ЭПР (эффективная площадь рассеяния; англ. Radar Cross Section — RCS) идеально проводящей сферы служит иллюстрацией к использованию ГУ PEC и PMC в качестве условий симметрии.

Среда COMSOL Multiphysics включает также в себя граничные условия Surface Current (Поверхностный ток), Magnetic Field (Магнитное Поле), and Electric Field (Электрическое поле). Эти условия предусмотрены в первую очередь для математической полноты, так как обычно токи и поля на поверхности почти никогда не известны заранее.

Заключение

В данном топике, мы акцентировали ваше внимание на том, как и в каких случаях Переходное граничное условие (Transition boundary condition), а также Импедансное граничное условие (Impedance boundary condition) и условие типа Идеальный Электрический Проводник (Perfect Electric Conductor) могут быть использованы для моделирования металлических поверхностей. Но, что делать, если вы не можете использовать любое из этих граничных условий? Что если характерный размер объектов моделирования сравним с глубиной скин-слоя? В этом случае нельзя использовать граничные условия и вам придется моделировать металлическую область явно, точно так же, как вы делали бы это для любого другого материала. Это будет следующей темой, на которой мы сконцентрируемся в рамках этой серии, так что следите за обновлениями.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Геометрическая оптика Модуль Композитные материалы Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Течение в трубопроводах Модуль Химические реакции Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению модуле Теплопередача модуль Вычислительная гидродинамика физика спорта