Методы наложения ограничений в виде неравенства

Temesgen Kindo 17/09/2018
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Как определить кратчайшее расстояние по суше между двумя точками на разных берегах озера? Такие ограничения на решения часто называются ограничениями в виде неравенства. Требование неотрицательных зазоров между объектами в контактных задачах механики, положительных концентраций веществ в химических задачах и популяций в экологических задачах — примеры ограничений в виде неравенства. Ранее в этой серии статей мы рассматривали ограничения в виде равенства в вариационных задачах. Сегодня мы покажем, как применяются ограничения в виде неравенства при моделировании на основе уравнений в COMSOL Multiphysics®.

Метод штрафов для определения траектории

Предположим, что требуется перейти от точки (0;0.2) до точки (1;1), но в точке (0.5;0.5) имеется препятствие круглой формы с радиусом 0.2. Кратчайшая кривая (x,u(x)), соединяющая две конечные точки (a,u(a)) и (b,u(b)), отвечает условию минимума функционала

E[x,u,u'] = \int_a^b \sqrt{1+u^{\prime}^2}dx.

В евклидовом пространстве кратчайшее линия между двумя точками является прямой. Таким образом, результатом решения рассматриваемого уравнения должна быть прямая. Однако в нашем случае прямая проходит через препятствие. Это не отвечает условию задачи. Нам необходимо соблюсти ограничение, согласно которому линия не может проходить через препятствие; следовательно, расстояние от любой точки на линии до центра круглого препятствия должно быть больше или равно радиусу круга.

R-\sqrt{(x-x_o)^2+(u(x)-y_o)^2} \le 0.

Простое представление задачи с ограничением в виде неравенства.
Схема задачи с ограничением в виде неравенства.

Необходимо добавить к нашему функционалу штрафное слагаемое в случае нарушения ограничения. Для ограничения в виде равенства g=0 штраф накладывается и на положительные, и на отрицательные значения g. Для ограничения в виде неравенства g \leq 0 штраф нужно наложить только на положительные значения g, а отрицательные являются приемлемыми.

В контексте задачи с препятствием это означает, что штраф накладывается только в случаях, если траектория близка к столкновению с препятствием. Обойти наше круглое озеро по большой дуге не оптимально, но возможно, так что целевая функция с наложенным штрафом выглядит как

E_{\mu}[x,u,u'] = \int_a^b \sqrt{1+u^{\prime}^2}dx + \frac{\mu}{2}\int_a^b\bigg\langle R-\sqrt{(x-x_o)^2+(u(x)-y_o)^2}\bigg\rangle^2dx,

,

где \mu является штрафным параметром; кроме того, используется линейно нарастающая функция

\bigg\langle x \bigg\rangle:= \begin{cases} x& x\ge 0 \\ 0 & x \le 0. \end{cases}

Для общего функционала

E[x,u,u'] = \int_a^b F(x,u,u^{\prime}) dx

который необходимо минимизировать с ограничением в виде неравенства

g(x,u,u^{\prime}) \leq 0, \qquad \forall x,

штрафной функционал становится равным

E_{\mu}[x,u,u'] = \int_a^b F(x,u,u^{\prime}) dx + \frac{\mu}{2}\int_a^b\bigg\langle g(x,u,u^{\prime})\bigg\rangle^2 dx.

.

На последнем этапе необходимо вывести первую вариационную производную данного функционала и приравнять ее к нулю. Здесь следует помнить о том, что производная линейно нарастающей функции представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда H.

\int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial F}{\partial u'}\hat{u'}\right] dx + \mu\int_a^b gH(g)\left[\frac{\partial g}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial g}{\partial u'}\hat{u'}\right] dx = 0, \qquad \forall \hat{u}.

При расчетах выше мы опирались на то, что \big \langle x \big \rangle H(x) = xH(x). Обратите внимание на то, что мы рассматриваем только условия неположительности. Условия неотрицательности можно сформулировать, домножив на минус единицу уравнение ограничения и решив соответствующую задачи при условии неположительности.

Первое слагаемое вариационного уравнения уже знакомо нам по задаче без ограничений. Посмотрим, как можно добавить штрафной параметр с помощью узла Weak Contribution (Слагаемое в слабой форме). Для фиксации концов мы будем использовать более простой узел Dirichlet Boundary Condition (Граничное условие Дирихле).

Снимок экрана, показывающий настройки переменных для применения ограничения в виде неравенства в COMSOL Multiphysics.
Снимок экрана, показывающий настройки слагаемого в слабой форме для применения ограничения в виде неравенства в COMSOL Multiphysics.

Применение ограничения в виде неравенства с помощью метода штрафов.

Обратите внимание на то, что мы не включили в слагаемое в слабой форме параметр \frac{\partial g}{\partial u^{\prime}}, поскольку в данной задаче ограничение зависит только от решения, а не от его пространственной производной.

Решая эту задачу для последовательности повышающихся штрафных параметров и повторно используя при этом предыдущее решение в качестве начального приближения, мы получаем следующий результат.

Схема определения траектории при заданных ограничениях.
Определение кратчайшего пути вокруг препятствия с помощью метода штрафов. При нулевом штрафе получается решение без ограничений.

Рассматривая физическое представление метода штрафов для ограничений в виде равенства, мы говорили о том, что штрафной параметр вызывает реакцию, прямо пропорциональную отклонению от ограничения. Для ограничений в виде неравенства это представление тоже применимо, однако реакция действует только с одной стороны.

Представьте себе, что шарик удерживается сжатыми пружинами. Пружины не прикреплены к шарику, они просто соприкасаются. Чтобы удержать шарик в точке x=0, нужны две пружины с каждой стороны от начала координат. Если шарику позволить смещаться влево относительно начала координат, ограничением будет x \leq 0, и сжатая пружина будет нужна только с правой стороны. Поэтому мы накладываем штраф на \big \langle g \big \rangle, а не на |g|.

Схема пружины для представления равенства.

Применение штрафов для ограничений в виде равенства (многосторонним) и неравенства (односторонним) по аналогии с пружиной.

Метод множителей Лагранжа

Когда мы рассматривали численные свойства разных методов наложения ограничений, мы говорили о том, что, несмотря на точное выполнение ограничений в методе множителей Лагранжа, у него есть некоторые недостатки в отношении численных решений. Этот метод чувствителен к начальным приближениям, так что могут потребоваться прямые линейные решатели. Помимо этих недостатков, при работе с ограничениями в виде неравенств появляются дополнительные трудности. В частности, ограничения не всегда могут быть активными.

Рассмотрим нашу задачу с определением кратчайшего пути. На отрезках траектории, не соприкасающихся с препятствием, ограничение не активно. Однако мы не можем заранее знать, когда ограничения будут активны, а когда нет. Этот вопрос можно решить несколькими методами, но мы хотим уделить внимание двум самым распространенным из них.

Метод набора активных точек

Пусть некоторые ограничения активны, а некоторые нет. В случае распределенного ограничения нужно выбрать точки, в которых предположительно g = 0, а другие точки при этом находятся в области допустимых значений, в которой g<0. В неактивных точках множитель Лагранжа должен быть равен нулю. В наборе активных точек множитель Лагранжа должен быть неотрицательным. Это — так называемые условия Каруша — Куна — Таккера (ККТ). Если после вычислений набор активных точек изменится или условия ККТ будут нарушены, необходимо соответственно обновить набор активных точек и повторить вычисления. Этот процесс описан в общих чертах на следующей диаграмме:

Принципиальная схема, демонстрирующая использование набора активных точек для решения задач с ограничениями.
Метод использования набора активных точек для применения ограничений в виде неравенства с помощью метода множителей Лагранжа.

На каждой итерации этого итерационного процесса решается задача с ограничением в виде равенства. Применение ограничений в виде равенства с помощью метода множителей Лагранжа описано в предыдущей статье этой серии.

Ослабляющие переменные

В качестве альтернативной стратегии можно ввести так называемые ослабляющие переменные, чтобы преобразовать неравенство в равенство. Ограничение g \leq 0 эквивалентно g + s^2=0. Теперь у нас есть ограничение в виде равенства с новой ослабляющей переменной. Если неравенство представляет собой распределенное (поточечное) ограничение, ослабляющая переменная и множитель Лагранжа будут функциями.

С одной стороны, использование ослабляющих переменных вводит в уравнение еще одно неизвестное, однако задача решается в один этап. С другой стороны, использование набора активных точек не требует новой переменной, но при этом необходимо решить несколько задач, пока набор активных точек не перестанет изменяться.

Расширенный метод множителей Лагранжа

Как в случае с ограничениями в виде равенства, давайте рассмотрим основные принципы этого метода на примере задачи классического анализа. При расширении неограниченной целевой функции с помощью метода множителя Лагранжа с приближенным значением множителя и штрафным слагаемым получаем

E_{\mu,\lambda}(x) = f(x) + \lambda^* g(x) + \frac{\mu}{2}\big\langle g(x)\big \rangle^2.

Условие экстремума первого порядка для данного ограничения —

\frac{df}{dx} + \lambda^* \frac{dg}{dx} +\mu \big\langle g \big\rangle \frac{dg}{dx} = \frac{df}{dx} + (\lambda^* +\mu \big\langle g \big\rangle )\frac{dg}{dx} = 0.

Отсюда следует, что обновленный множитель должен быть равен

\lambda^* = \lambda^* +\mu \big\langle g \big\rangle.

Если начать с нулевого начального приближения для множителя Лагранжа, данное уравнение изменяет множитель только при положительном значении g. Таким образом, множитель Лагранжа никогда не может быть отрицательным и положителен только в точках, близких к нарушению ограничения.

Расширенный метод Лагранжа, будучи приближенным методом учета ограничений, допускает небольшое нарушение условий ограничения. Фактически, если нарушений ограничения нет, множитель Лагранжа остается нулевым. По существу, в рамках этого метода ККТ-условие (\lambda \ge 0) выполняется точно, а дополнительное условие (\lambda g = 0) — только приблизительно. Точно оба условия выполняются при использовании метода множителей Лагранжа.

Препятствия неправильной формы

В этом примере мы использовали идеальное озеро, границы которого можно описать простой функцией. Может это был бассейн. Иногда ограничения в виде неравенства могут быть представлены в простой аналитической форме. Примером могут послужить условия неотрицательности в химических реакциях или в задачах динамики популяций. Однако в некоторых случаях описать ограничения такими простыми соотношениями невозможно.

Например, в контактных задачах механики требуется сохранять неотрицательный зазор между соприкасающимися объектами. Однако границы объектов редко бывают настолько простыми, чтобы их можно было описать плавными аналитическими функциями. Вдобавок ко всему, для задач со значительными деформациями необходимо применять ограничения контактного взаимодействия к деформирующимся областям, аналитического описания которых у нас просто не может быть. Таким образом, ограничения должны выполняться на дискретных объектах, полученных после генерации сетки. Чтобы определить, какие точки входят и не входят в контакт с другими точками по мере передвижения и деформации объектов, необходимо выполнять сложные операции поиска. Для этого имеются встроенные опции и возможности моделирования контакта в программном пакете COMSOL Multiphysics®.

Для некоторых простых геометрических форм и деформаций можно в принципе использовать оператор General Extrusion (Извлечение данных), чтобы вычислить расстояние между деформирующимися объектами, не используя инструменты контактной механики. Однако эти инструменты потребуются для сложных геометрических форм.

В следующих статьях

В этой серии статей мы уже показали, как решать вариационные задачи с ограничениями и без ограничений с помощью COMSOL Multiphysics, и рассмотрели преимущества и недостатки разных численных методов применения ограничений. При этом мы ограничивались одномерными физическими и вариационными задачами с производными не выше первого порядка в функционале.

Надеемся, что, ознакомившись с основами данной темы, вы будете готовы решать задачи с бо́льшим количеством измерений, полей и с производными более высокого порядка. Об этом мы расскажем подробнее в следующей завершающей статье этой серии. Следите за публикациями!

Изучите другие статьи из серии о вариационных задачах и условиях


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Течения в пористых средах Модуль Трассировка частиц Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта