Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах

11/01/2017

Эта заметка является введением для серии блогов, посвященных моделированию высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах. Сегодня мы разберем теоретические основы данных процессов и основные уравнения, которые нам понадобятся в дальнейшем. В последующих частях вы узнаете, как реализовать в программном обеспечении COMSOL Multiphysics® различные сценарии моделирования, требующие работы и описания СВЧ-процессов на самых разных расстояниях и масштабах. Давайте начнём…

Мультимасштабное моделирование: антенны и беспроводные коммуникации

Так называемое мультимасштабное моделирование (multiscale modeling) — это комплексная и актуальная задача в современном моделировании. Она возникает, когда в рамках одной модели появляются и используются очень разномасштабные величины. К примеру, характерный размер вашего сотового телефона не превышает 15 см в то время, как он принимает GPS-сигнал от спутников на расстоянии 20000 км. Обработка и интерпретация таких разных размеров в одном расчёте является нетривиальной задачей. С подобными проблемами сталкиваются при моделировании погодных условий, химических реакций и процессов из множества других областей науки и техники.

Не смотря на то, что мультимасштабное моделирование — очень обширная и общая тематика, в данной заметке мы подробно остановимся на практическом примере моделирования антенн и беспроводной связи. Весь процесс передачи данных по беспроводной связи можно разбить на три этапа:

  1. Антенна преобразует локальный сигнал в излучение, направленное в свободное пространство.
  2. Электромагнитное излучение распространяется на относительно большие расстояния.
  3. Излучение принимается другой антенной и преобразуется в полезный сигнал на приемнике.

Городская инфраструктура, связанная беспроводной передачей данных на большие расстояния.
Современные телекоммуникации и средства связи используют беспроводную передачу данных на большие расстояния с помощью антенных систем.

Поговорим о следующих двух характерных масштабах данного процесса: длина волны СВЧ-излучения и расстояние между антеннами. Например, FM-радио передаёт сигналы с длиной волны около 3 метров. При этом, когда вы слушаете радио в машине, обычно вы находитесь в нескольких десятках километров от радиовышки. Многие антенны, в частности дипольные антенны, имеют размеры сопоставимые с длиной волны, так что мы не будем выделять данный размер, как еще один характерный масштаб. В итоге, у нас есть один пространственный масштаб для передающей антенны, абсолютно другая шкала длины для процесса распространения сигнала от источника к приёмнику, и затем опять начальный масштаб для приемной антенны.

Давайте рассмотрим наиболее важные уравнения, термины и условия для мультимасштабного моделирования высокочастотных электромагнитных явлений.

Формула передачи Фрииса

Формула передачи Фрииса позволяет рассчитать мощность принимаемого сигнала в условиях прямой видимости между двумя антеннами, разделёнными средой без потерь. Уравнение имеет следующий вид:

P_r = p(1-|\Gamma_t|^2)(1-|\Gamma_r|^2)G_t\left(\theta_t,\phi_t\right)G_r\left(\theta_r,\phi_r\right)\left(\frac{\lambda}{4\pi r}\right)^2P_t

где индексы r и t обозначают передающую (transmission) и принимающую (receiving ) антенны, G — коэффициент усиления антенны (gain), P — мощность, \Gamma – коэффициент отражения, вызванного рассогласованием между антенной и линией передач, p — коэффициент поляризационной согласованности антенны (polarization mismatch factor), λ — длина волны, r — расстояние между антеннами и связанные с этой величиной затухания в свободном пространстве, \theta и \phi — угловые сферические координаты для двух антенн.

Обратите внимание, что мы учитываем два условия согласованности импеданса:

  • Pt — это мощность сигнала, переданная из линии передачи на вход излучающей антенны
  • Pr — это мощность, переданная приемной антенной в линию передачи

Вывод формулы Фрииса описан во многих учебниках, так что мы не будем подробно останавливаться на этом моменте.

Визуализация коэффициента усиления для передающей и принимающей антенн.
Наглядная визуализация коэффициента усиления для передающей и принимающей антенн. Для корректного использования формулы Фрииса в расчётах необходимо задать ориентацию каждой антенны в пространстве. Расстояние между антеннами — r.

Сферические координаты

Давайте коротко обсудим использование сферических координат \left(r,\theta,\phi\right), так как при моделировании излучения антенн они нам очень сильно пригодятся. Их легко выразить через декартовы координаты (x, y, z) в следующем формате:

\begin{align} r& = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)\\ \theta& = acos(z/r)\\ \phi& = atan2(y,x) \end{align}

Для удобства, вместо математических символов, мы использовали встроенные в COMSOL Multiphysics операторы такие, как — sqrt(), acos(), и atan2(,). В рамках данной задачи мы также будем использовать декартовы компоненты единичного сферического вектора \hat{\theta}:

\begin{align} \hat{\theta_x}& = cos(\theta)cos(\phi)\\ \hat{\theta_y}& = cos(\theta)sin(\phi)\\ \hat{\theta_z}& = -sin(\theta) \end{align}

Аналогичные преобразования могут быть выполнены для декартовых компонент \hat{r} и \hat{\phi}, однако \hat{\theta} в данном случае для нас является наиболее важным элементом. Мы вернемся к рассмотрению и использованию сферических координат в одной из следующих заметок серии, в которой речь пойдет о применении подходов геометрической оптики для мультимасштабного моделирования.

Иллюстрация положения точка в декартовых и сферических координатах.
Изображение произвольной точки и ее декартовых (x, y, z) и сферических \left(r,\theta,\phi\right) координат. Дополнительно показаны единичные вектора для сферических координат. Обратите внимание, что последними являются функциями от пространственного положения точки.

Вектор Пойнтинга и интенсивность излучения

Обычно в рассматриваемом классе задач необходимо рассчитать излучаемую антеннами мощность. Поток мощности в W/m2 представляется с помощью комплексного вектор Пойнтинга \vec{S}=\frac{1}{2}\vec{E}\times\vec{H}^*.

Часто в литературе вводят т.н. интенсивность излучения, которая определяется, как излучаемая мощность, приведенная к телесному углу, и измеряется в W/steradian (Вт/стерадиан). Математически это описывается выражением U(\theta,\phi)=r^2\operatorname{Re}(\vec{S}\cdot\hat{r})=\frac{dP}{d\Omega}. Для ясности, мы записали интенсивность несколькими способами, так как в электротехнике принято обозначение U(\theta,\phi), в то время, как в физике — \frac{dP}{d\Omega}. Излучаемую мощность можно рассчитать, проинтегрировав данную величину по всем углам.

Коэффициент усиления (Gain) и направленного действия (Directivity)

Коэффициенты усиления (gain) и направленного действия (directivity) достаточно похожи, т.к. они оба определяют излучаемую мощность в заданном направлении. Разница заключается в том, что коэффициент усиления относит эту мощность к входной мощности, в то время коэффициент направленного излучения — к общей излучаемой мощности. Проще говоря, при определении коэффициента усиления учитываются диэлектрические и потери, в проводящих компонентах (dielectric and conductive losses), а для направленности — нет. Математические выражения для коэффициентов усиления и направленного действия записыватся как G\left(\theta,\phi\right)=4\pi\frac{U\left(\theta,\phi\right)}{P_{in}} и D\left(\theta,\phi\right)=4\pi\frac{U\left(\theta,\phi\right)}{P_{rad}}, соответственно. Pin – принимаемая, Prad — полная излучаемая антенной мощность. Больший практический интерес представляет коэффициент усиления (Gain), так как он учитывает материальные потери в антенне. И так как коэффициент усиления является довольно широким понятием, полезно будет привести его определение из "IEEE Standard Definitions of Terms for Antennas" (Определения терминов для антенн от IEEE), которое гласит: «Отношение интенсивности излучения в заданном направлении к интенсивности излучения, которое было бы получено, если бы принимаемая антенной энергия излучалась изотропно.»

Также в стандарте IEEE к этому определению есть три замечания:

  1. «Коэффициент усиления не учитывает потери, возникающие из-за несогласованности нагрузки и поляризации.»
  2. «Интенсивность излучения, соответствующая изотропно излучаемой мощности равна мощности, принятой антенной, делённой на 4π.»
  3. «Если в антенне нет диссипативных потерь, то в любом заданном направлении оба коэффициента (коэффициент усиления и направленного действия) равны.»

Коэффициент усиления, реальный коэффициент усиления (с учетом потерь на отражение) и несогласованность импедансов

На практике, реальная антенна подключена к линии передач. Из-за несогласованности импедансов антенны и линии передач могут возникать потери, которые вводятся соответствующим коэффициентом потерь. Реальный коэффициент усиления (realized gain) — это коэффициент усиления с учётом несогласованности импедансов (т.е. потерь на отражение). Математически он записывается, как — G_{realized} = \left(1-|\Gamma|^2\right)G, где \Gamma = \frac{Z_c-Z}{Z_c + Z} — коэффициент отражения в соответствие с теорией длинных линий, Zc — волновое сопротивление линии передач, Z — импеданс антенны.

Важно подчеркнуть как при использовании в COMSOL узла Lumped Port (сосредоточенный порт) с заданным волновым сопротивлением, соотносится расчетное усиление в дальней зоне (far-field gain) и IEEE-стандарты. Это достаточно важно, так как за последние десятилетия его определения и формулировки часто менялись. Начиная с версии 5.3 имена (и соотвественно определения) переменных в программном обеспечении COMSOL Multiphysics изменены в соответствиями со стандартом IEEE .

Результат расчета антенны Вивальди в COMSOL Multiphysics®.
Реальный коэффициент усиления (realized gain) и электрическое поле для антенны Вивальди. Для моделирования использовался модуль Радиочастоты пакета COMSOL Multiphysics. Вы можете скачать данный учебный пример, антенна Вивальди, в Галерее моделей и приложений.

Антенны в режиме приёма, принцип взаимности (лемма Лоренца) и принимаемая мощность

Термины, которые мы обсудили ранее, относились к передающим антеннам, однако они также применимы к антеннам в режиме приема. Принцип взаимности (т.н. лемма Лоренца) заключается в том, что все уравнения и выводы, полученные для передающей антенны, также применимы и к принимающей. Это значит, что коэффициент усиления антенны в определённом направлении одинаков независимо от того, передаёт она сигнал или принимает. На практике, его (КУ) достаточно рассчитать один раз в любом направлении передающей антенны, чтобы получить сразу два результата без необходимости двух отдельных расчетов обратных процессов.

При исследовании антенн в режиме приема практический интерес представляет расчет принимаемой мощности сигнала. Это можно сделать путём умножения эффективной площади антенны, A_e=\frac{\lambda^2}{4\pi}G на принимаемый поток мощности с учётом рассогласования сопротивлений в линии P_{rec} = \frac{\lambda^2}{4\pi}\left(1-|\Gamma|^2\right)G|\vec{S}|. Последнее уравнение, ожидаемо, похоже на формулу передачи Фрииса.

Пример излучателя: Идеальный электрический диполь

В данной заметке мы рассмотрим один из видов излучателей — идеальный электрический точечный диполь. В разной литературе он может называться по-разному: совершенный, идеальный или элементарный диполь. Такой излучатель является самым простым и распространённым упрощенным представлением электрических малогабаритных антенн. Создаваемое им электрическое поле находится из уравнения

\overrightarrow{E} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\{k^2(\hat{r}\times\vec{p})\times\hat{r}\frac{e^{-jkr}}{r}+[3\hat{r}(\hat{r}\cdot\vec{p})-\vec{p}](\frac{1}{r^3}+\frac{jk}{r^2})e^{-jkr}\}

где \vec{p} — дипольный момент источника излучения (не путайте с коэффициентом поляризационной согласованности антенны) и k — волновой вектор среды.

Иллюстрация различных областей (зон) электромагнитного поля, излучаемого электрической малогабаритной антенной.
Совмещенная диаграмма различныхе областей (зон) электромагнитного поля, излучаемого электрической малогабаритной антенной.

В этом уравнении есть три фактора вида 1/rn. Параметры 1/r2 and 1/r3 будут значимы в вблизи источника, а 1/r — на дальних расстояниях. И хотя электромагнитное поле непрерывно, обычно рассматривают разные его области (зоны) в зависимости от расстояния от источника. Одно из таких разделений по зонам для электрической малогабаритной антенны изображено на рисунке выше. Также существуют и другие представления относительно величины kr.

В дальнейшем в данной серии мы рассмотрим, как рассчитывать поля на любом расстоянии от источника, однако самой важной является дальняя зона (far field) или зона излучения, которая наиболее удалена от источника. В этой области поля приобретают форму сферических волн, \sim exp(-jkr)/r, что очень удобно для моделирования.

Разделим уравнение электрического поля на две части. Для простоты, будем называть составляющую с 1/r дальним (far field, FF), а с 1/r2 1/r3 — ближним (near field, NF) полями.

\begin{align} \overrightarrow{E}& = \overrightarrow{E}_{FF} + \overrightarrow{E}_{NF}\\ \overrightarrow{E}_{FF}& = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}k^2(\hat{r}\times\vec{p})\times\hat{r}\frac{e^{-jkr}}{r}\\ \overrightarrow{E}_{NF}& = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}[3\hat{r}(\hat{r}\cdot\vec{p})-\vec{p}](\frac{1}{r^3}+\frac{jk}{r^2})e^{-jkr} \end{align}

Как упоминалось ранее, мы можем рассчитать излучаемую мощность в Ваттах, проинтегрировав U(\theta,\phi)=r^2\operatorname{Re}(\vec{S}\cdot\hat{r})=\frac{dP}{d\Omega} по всем углам. Обратите внимание, что в этот интеграл будет входить только составляющая дальнего поля, которая является наиболее значимой для разработчиков антенн. Мощность точечного диполя определяется, как P_{rad} = \frac{c^2Z_0k^4}{12\pi}|\vec{p}|^2, где Z0 — импеданс псвободного пространства, c — скорость света. Максимальное усиление составит при этом 1.5 и будет изотропно в плоскости, перпендикулярной дипольному моменту (например, в плоскости xy для диполя в \hat{z}).

Обратите внимание: В уравнениях выше используется традиционное определение дипольного момента в Кулон*метр (Cm): \vec{p}=\int{\vec{r}\rho(\vec{r})d\vec{r}} В справочниках по антеннам и инженерных учебниках бесконечно малый ток в диполе измеряется в Ампер*метр (Am). В COMSOL Multiphysics используется инженерная формулировка. Два определения связаны производной по времени, поэтому для расчёта в программном обеспечении COMSOL, дипольный момент \vec{p} следует умножить на j\omega, чтобы получить бесконечно малый ток диполя.

Пример приёмника: Полуволновой диполь

Будем рассматривать идеально проводящий полуволновой диполь в качестве приемной антенны.

 

Анимация излучения, принимаемого полуволновой дипольной антенной.

Во многих текстах рассматривается бесконечно тонкий провод, импеданс которого \approx 73 \Omega, а коэффициент направленного действия D(\theta,\phi)\approx1.643\left[\frac{cos\left(\frac{\pi}{2}cos\theta\right)}{sin\theta}\right]^2. Стоит отметить, что эти значения для конечного диаметра антенны отличаются от идеального случая. Длина принимающей антенны, которую мы используем в качестве примера, — 0.47 λ, отношение длины к диаметру — 100. С этими параметрами несложно рассчитать и получить импеданс \approx 73 +3j \,\Omega, который близок к референсному значению (для случая бесконечно тонкого провода), а также хорошо согласуется с экспериментальными данными. К сожалению, теоретического значения для сравнения нет, однако, это только подчёркивает необходимость численного моделирования антенных систем.

На графике ниже показано сравнение коэффициента направленного действия бесконечного тонкого диполя и дипольной антенны, которую мы смоделировали. Так как антенна рассматривалась идеально проводящей и, следовательно, в ней нет потерь, полученные значения аналогичны коэффициенту усиления антенны. Вы можете скачать рассмотренный пример модели дипольной антенны.

Сравнение коэффициента направленного действия в зависимости от угла theta для двух полуволновых антенн. Таким образом, показана функциональность мультимасштабного моделирования высокочастотных электромагнитных явлений.
Сравнение коэффициента направленного действия в зависимости от угла theta для двух полуволновых антенн (ориентированных по оси z). В COMSOL Multiphysics® моделировалась антенна конечного диаметра, а теоретические расчёты представлены для бесконечно тонкой антенны.

Расчёт принимаемой мощности

Теперь, используя формулу передачи Фрииса, рассчитаем мощность, излучаемую идеальным точечным диполем и принимаемую полуволновой дипольной антенной. Для этого нам надо знать коэффициент усиления (или реальный коэффициент усиления), коэффициент отражения или несогласованности импедансов, длину волны, расстояние между антеннами и входную мощность. Так как мы рассматриваем точечный электрический диполь, зададим дипольный момент вместо входной мощности и коэффициента несогласованности импедансов. В нашем уравнении опустим член для коэффициента отражения, вызванного рассогласованием между антенной и линией передач, и заменим входную мощность излучаемой мощностью идеального электрического диполя, полагая, что они равны.

P_r = p(1-| \Gamma_r|^2) G_t \left(\theta_t,\phi_t\right) G_r \left(\theta_r,\phi_r\right) \left(\frac{\lambda}{4\pi r}\right)^2 P_{rad}

Если предположить, что излучатель и приёмник расположены в плоскости xy, согласованы по поляризации и разделены на 1000 λ, а также, что дипольный момент излучателя равен 1 Am в \hat{z}, из уравнения Фрииса мы получим принимаемую мощность, равную 380 μW. В третьей части данной серии мы попробуем воспроизвести аналогичный результат в конечно-элементной модели для проверки и верификации. Затем можно будет использовать нашу модель, чтобы эффективно рассчитывать более сложные конфигурации, которые невозможно точно рассчитать с помощью формулы Фрииса.

Заключение

В этой заметке мы рассказали об идее мультимасштабного моделирования и рассмотрели все определения и уравнения, которые понадобятся в последующих блогах. Для некоторых опытных инженеров-проектировщиков антенн эта заметка могла показаться слишком простой и обзоной. Однако, если приведённые здесь определения и уравнения для вас были неизвестны, рекомендуем ознакомиться с классической литературой по электромагнетизму и теории антенн.

В последующих материалах мы будем рассматривать, прежде всего, практическую реализацию моделирования в COMSOL Multiphysics СВЧ-процессов на различных пространственных масштабах, ссылаясь в качестве пояснений на данную работу.

В следующих частях серии…

Следите за обновлениями серии о мультимасштабном моделировании:

  • Во второй части мы будем моделировать излучение точечного электрического диполя, используя физический интерфейс Electromagnetic Waves, Frequency Domain (Электромагнитные волны, частотная область). Мы рассмотрим настройки узла Far-Field Domain (Область дальней зоны), который рассчитывает излучение от источника в дальней зоне. Покажем, как можно связать физические интерфейсы Electromagnetic Waves, Frequency Domain и Electromagnetic Waves, Beam Envelopes (Электромагнитные волны, Огибающие пучков), чтобы моделировать поля в средней переходной зоне.
  • В третьей части серии мы смоделируем приём сигнала на произвольном расстоянии полуволновым диполем от точечного излучающего диполя. Для проверки и верификации, вычислим мощность, полученную полуволновым диполем, и сравним результаты с расчётом на основе формулы передачи Фрииса.
  • В четвёртой части, мы свяжем источник излучения и точечный электрический диполь с помощью функционала интерфейса Geometrical Optics (Геометрическая оптика).
  • В пятой части мы еще раз соединим две антенны, используя физический интерфейс Geometrical Optics. Мы снова сравним результаты и обсудим, как можно учитывать в модели неоднороную среду и многолучевое распространение.

Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ