Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах

Andrew Strikwerda 11/01/2017
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Эта заметка является введением для серии блогов, посвященных моделированию высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах. Сегодня мы разберем теоретические основы данных процессов и основные уравнения, которые нам понадобятся в дальнейшем. В последующих частях вы узнаете, как реализовать в программном обеспечении COMSOL Multiphysics® различные сценарии моделирования, требующие работы и описания СВЧ-процессов на самых разных расстояниях и масштабах. Давайте начнём.

Мультимасштабное моделирование: антенны и беспроводные коммуникации

Так называемое мультимасштабное моделирование (multiscale modeling) — это комплексная и актуальная задача в современном моделировании. Она возникает, когда в рамках одной модели появляются и используются очень разномасштабные величины. К примеру, характерный размер вашего сотового телефона не превышает 15 см в то время, как он принимает GPS-сигнал от спутников на расстоянии 20000 км. Обработка и интерпретация таких разных размеров в одном расчёте является нетривиальной задачей. С подобными проблемами сталкиваются при моделировании погодных условий, химических реакций и процессов из множества других областей науки и техники.

Не смотря на то, что мультимасштабное моделирование — очень обширная и общая тематика, в данной заметке мы подробно остановимся на практическом примере моделирования антенн и беспроводной связи. Весь процесс передачи данных по беспроводной связи можно разбить на три этапа:

  1. Антенна преобразует локальный сигнал в излучение, направленное в свободное пространство.
  2. Электромагнитное излучение распространяется на относительно большие расстояния.
  3. Излучение принимается другой антенной и преобразуется в полезный сигнал на приемнике.

Городская инфраструктура, связанная беспроводной передачей данных на большие расстояния.
Современные телекоммуникации и средства связи используют беспроводную передачу данных на большие расстояния с помощью антенных систем.

Поговорим о следующих двух характерных масштабах данного процесса: длина волны СВЧ-излучения и расстояние между антеннами. Например, FM-радио передаёт сигналы с длиной волны около 3 метров. При этом, когда вы слушаете радио в машине, обычно вы находитесь в нескольких десятках километров от радиовышки. Многие антенны, в частности дипольные антенны, имеют размеры сопоставимые с длиной волны, так что мы не будем выделять данный размер, как еще один характерный масштаб. В итоге, у нас есть один пространственный масштаб для передающей антенны, абсолютно другая шкала длины для процесса распространения сигнала от источника к приёмнику, и затем опять начальный масштаб для приемной антенны.

Давайте рассмотрим наиболее важные уравнения, термины и условия для мультимасштабного моделирования высокочастотных электромагнитных явлений.

Формула передачи Фрииса

Формула передачи Фрииса позволяет рассчитать мощность принимаемого сигнала в условиях прямой видимости между двумя антеннами, разделёнными средой без потерь. Уравнение имеет следующий вид:

P_r = p(1-|\Gamma_t|^2)(1-|\Gamma_r|^2)G_t\left(\theta_t,\phi_t\right)G_r\left(\theta_r,\phi_r\right)\left(\frac{\lambda}{4\pi r}\right)^2P_t

где индексы r и t обозначают передающую (transmission) и принимающую (receiving ) антенны, G — коэффициент усиления антенны (gain), P — мощность, \Gamma – коэффициент отражения, вызванного рассогласованием между антенной и линией передач, p — коэффициент поляризационной согласованности антенны (polarization mismatch factor), λ — длина волны, r — расстояние между антеннами и связанные с этой величиной затухания в свободном пространстве, \theta и \phi — угловые сферические координаты для двух антенн.

Обратите внимание, что мы учитываем два условия согласованности импеданса:

  • Pt — это мощность сигнала, переданная из линии передачи на вход излучающей антенны
  • Pr — это мощность, переданная приемной антенной в линию передачи

Вывод формулы Фрииса описан во многих учебниках, так что мы не будем подробно останавливаться на этом моменте.

Визуализация коэффициента усиления для передающей и принимающей антенн.
Наглядная визуализация коэффициента усиления для передающей и принимающей антенн. Для корректного использования формулы Фрииса в расчётах необходимо задать ориентацию каждой антенны в пространстве. Расстояние между антеннами — r.

Сферические координаты

Давайте коротко обсудим использование сферических координат \left(r,\theta,\phi\right), так как при моделировании излучения антенн они нам очень сильно пригодятся. Их легко выразить через декартовы координаты (x, y, z) в следующем формате:

\begin{align} r& = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)\\ \theta& = acos(z/r)\\ \phi& = atan2(y,x) \end{align}

Для удобства, вместо математических символов, мы использовали встроенные в COMSOL Multiphysics операторы такие, как — sqrt(), acos(), и atan2(,). В рамках данной задачи мы также будем использовать декартовы компоненты единичного сферического вектора \hat{\theta}:

\begin{align} \hat{\theta_x}& = cos(\theta)cos(\phi)\\ \hat{\theta_y}& = cos(\theta)sin(\phi)\\ \hat{\theta_z}& = -sin(\theta) \end{align}

Аналогичные преобразования могут быть выполнены для декартовых компонент \hat{r} и \hat{\phi}, однако \hat{\theta} в данном случае для нас является наиболее важным элементом. Мы вернемся к рассмотрению и использованию сферических координат в одной из следующих заметок серии, в которой речь пойдет о применении подходов геометрической оптики для мультимасштабного моделирования.

Иллюстрация положения точка в декартовых и сферических координатах.
Изображение произвольной точки и ее декартовых (x, y, z) и сферических \left(r,\theta,\phi\right) координат. Дополнительно показаны единичные вектора для сферических координат. Обратите внимание, что последними являются функциями от пространственного положения точки.

Вектор Пойнтинга и интенсивность излучения

Обычно в рассматриваемом классе задач необходимо рассчитать излучаемую антеннами мощность. Поток мощности в W/m2 представляется с помощью комплексного вектор Пойнтинга \vec{S}=\frac{1}{2}\vec{E}\times\vec{H}^*.

Часто в литературе вводят т.н. интенсивность излучения, которая определяется, как излучаемая мощность, приведенная к телесному углу, и измеряется в W/steradian (Вт/стерадиан). Математически это описывается выражением U(\theta,\phi)=r^2\operatorname{Re}(\vec{S}\cdot\hat{r})=\frac{dP}{d\Omega}. Для ясности, мы записали интенсивность несколькими способами, так как в электротехнике принято обозначение U(\theta,\phi), в то время, как в физике — \frac{dP}{d\Omega}. Излучаемую мощность можно рассчитать, проинтегрировав данную величину по всем углам.

Коэффициент усиления (Gain) и направленного действия (Directivity)

Коэффициенты усиления (gain) и направленного действия (directivity) достаточно похожи, т.к. они оба определяют излучаемую мощность в заданном направлении. Разница заключается в том, что коэффициент усиления относит эту мощность к входной мощности, в то время коэффициент направленного излучения — к общей излучаемой мощности. Проще говоря, при определении коэффициента усиления учитываются диэлектрические и потери, в проводящих компонентах (dielectric and conductive losses), а для направленности — нет. Математические выражения для коэффициентов усиления и направленного действия записыватся как G\left(\theta,\phi\right)=4\pi\frac{U\left(\theta,\phi\right)}{P_{in}} и D\left(\theta,\phi\right)=4\pi\frac{U\left(\theta,\phi\right)}{P_{rad}}, соответственно. Pin – принимаемая, Prad — полная излучаемая антенной мощность. Больший практический интерес представляет коэффициент усиления (Gain), так как он учитывает материальные потери в антенне. И так как коэффициент усиления является довольно широким понятием, полезно будет привести его определение из "IEEE Standard Definitions of Terms for Antennas" (Определения терминов для антенн от IEEE), которое гласит: «Отношение интенсивности излучения в заданном направлении к интенсивности излучения, которое было бы получено, если бы принимаемая антенной энергия излучалась изотропно.»

Также в стандарте IEEE к этому определению есть три замечания:

  1. «Коэффициент усиления не учитывает потери, возникающие из-за несогласованности нагрузки и поляризации.»
  2. «Интенсивность излучения, соответствующая изотропно излучаемой мощности равна мощности, принятой антенной, делённой на 4π.»
  3. «Если в антенне нет диссипативных потерь, то в любом заданном направлении оба коэффициента (коэффициент усиления и направленного действия) равны.»

Коэффициент усиления, реальный коэффициент усиления (с учетом потерь на отражение) и несогласованность импедансов

На практике, реальная антенна подключена к линии передач. Из-за несогласованности импедансов антенны и линии передач могут возникать потери, которые вводятся соответствующим коэффициентом потерь. Реальный коэффициент усиления (realized gain) — это коэффициент усиления с учётом несогласованности импедансов (т.е. потерь на отражение). Математически он записывается, как — G_{realized} = \left(1-|\Gamma|^2\right)G, где \Gamma = \frac{Z_c-Z}{Z_c + Z} — коэффициент отражения в соответствие с теорией длинных линий, Zc — волновое сопротивление линии передач, Z — импеданс антенны.

Важно подчеркнуть как при использовании в COMSOL узла Lumped Port (сосредоточенный порт) с заданным волновым сопротивлением, соотносится расчетное усиление в дальней зоне (far-field gain) и IEEE-стандарты. Это достаточно важно, так как за последние десятилетия его определения и формулировки часто менялись. Начиная с версии 5.3 имена (и соотвественно определения) переменных в программном обеспечении COMSOL Multiphysics изменены в соответствиями со стандартом IEEE .

Результат расчета антенны Вивальди в COMSOL Multiphysics®.
Реальный коэффициент усиления (realized gain) и электрическое поле для антенны Вивальди. Для моделирования использовался модуль Радиочастоты пакета COMSOL Multiphysics. Вы можете скачать данный учебный пример, антенна Вивальди, в Галерее моделей и приложений.

Антенны в режиме приёма, принцип взаимности (лемма Лоренца) и принимаемая мощность

Термины, которые мы обсудили ранее, относились к передающим антеннам, однако они также применимы к антеннам в режиме приема. Принцип взаимности (т.н. лемма Лоренца) заключается в том, что все уравнения и выводы, полученные для передающей антенны, также применимы и к принимающей. Это значит, что коэффициент усиления антенны в определённом направлении одинаков независимо от того, передаёт она сигнал или принимает. На практике, его (КУ) достаточно рассчитать один раз в любом направлении передающей антенны, чтобы получить сразу два результата без необходимости двух отдельных расчетов обратных процессов.

При исследовании антенн в режиме приема практический интерес представляет расчет принимаемой мощности сигнала. Это можно сделать путём умножения эффективной площади антенны, A_e=\frac{\lambda^2}{4\pi}G на принимаемый поток мощности с учётом рассогласования сопротивлений в линии P_{rec} = \frac{\lambda^2}{4\pi}\left(1-|\Gamma|^2\right)G|\vec{S}|. Последнее уравнение, ожидаемо, похоже на формулу передачи Фрииса.

Пример излучателя: Идеальный электрический диполь

В данной заметке мы рассмотрим один из видов излучателей — идеальный электрический точечный диполь. В разной литературе он может называться по-разному: совершенный, идеальный или элементарный диполь. Такой излучатель является самым простым и распространённым упрощенным представлением электрических малогабаритных антенн. Создаваемое им электрическое поле находится из уравнения

\overrightarrow{E} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\{k^2(\hat{r}\times\vec{p})\times\hat{r}\frac{e^{-jkr}}{r}+[3\hat{r}(\hat{r}\cdot\vec{p})-\vec{p}](\frac{1}{r^3}+\frac{jk}{r^2})e^{-jkr}\}

где \vec{p} — дипольный момент источника излучения (не путайте с коэффициентом поляризационной согласованности антенны) и k — волновой вектор среды.

Иллюстрация различных областей (зон) электромагнитного поля, излучаемого электрической малогабаритной антенной.
Совмещенная диаграмма различныхе областей (зон) электромагнитного поля, излучаемого электрической малогабаритной антенной.

В этом уравнении есть три фактора вида 1/rn. Параметры 1/r2 and 1/r3 будут значимы в вблизи источника, а 1/r — на дальних расстояниях. И хотя электромагнитное поле непрерывно, обычно рассматривают разные его области (зоны) в зависимости от расстояния от источника. Одно из таких разделений по зонам для электрической малогабаритной антенны изображено на рисунке выше. Также существуют и другие представления относительно величины kr.

В дальнейшем в данной серии мы рассмотрим, как рассчитывать поля на любом расстоянии от источника, однако самой важной является дальняя зона (far field) или зона излучения, которая наиболее удалена от источника. В этой области поля приобретают форму сферических волн, \sim exp(-jkr)/r, что очень удобно для моделирования.

Разделим уравнение электрического поля на две части. Для простоты, будем называть составляющую с 1/r дальним (far field, FF), а с 1/r2 1/r3 — ближним (near field, NF) полями.

\begin{align} \overrightarrow{E}& = \overrightarrow{E}_{FF} + \overrightarrow{E}_{NF}\\ \overrightarrow{E}_{FF}& = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}k^2(\hat{r}\times\vec{p})\times\hat{r}\frac{e^{-jkr}}{r}\\ \overrightarrow{E}_{NF}& = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}[3\hat{r}(\hat{r}\cdot\vec{p})-\vec{p}](\frac{1}{r^3}+\frac{jk}{r^2})e^{-jkr} \end{align}

Как упоминалось ранее, мы можем рассчитать излучаемую мощность в Ваттах, проинтегрировав U(\theta,\phi)=r^2\operatorname{Re}(\vec{S}\cdot\hat{r})=\frac{dP}{d\Omega} по всем углам. Обратите внимание, что в этот интеграл будет входить только составляющая дальнего поля, которая является наиболее значимой для разработчиков антенн. Мощность точечного диполя определяется, как P_{rad} = \frac{c^2Z_0k^4}{12\pi}|\vec{p}|^2, где Z0 — импеданс псвободного пространства, c — скорость света. Максимальное усиление составит при этом 1.5 и будет изотропно в плоскости, перпендикулярной дипольному моменту (например, в плоскости xy для диполя в \hat{z}).

Обратите внимание: В уравнениях выше используется традиционное определение дипольного момента в Кулон*метр (Cm): \vec{p}=\int{\vec{r}\rho(\vec{r})d\vec{r}} В справочниках по антеннам и инженерных учебниках бесконечно малый ток в диполе измеряется в Ампер*метр (Am). В COMSOL Multiphysics используется инженерная формулировка. Два определения связаны производной по времени, поэтому для расчёта в программном обеспечении COMSOL, дипольный момент \vec{p} следует умножить на j\omega, чтобы получить бесконечно малый ток диполя.

Пример приёмника: Полуволновой диполь

Будем рассматривать идеально проводящий полуволновой диполь в качестве приемной антенны.

 

Анимация излучения, принимаемого полуволновой дипольной антенной.

Во многих текстах рассматривается бесконечно тонкий провод, импеданс которого \approx 73 \Omega, а коэффициент направленного действия D(\theta,\phi)\approx1.643\left[\frac{cos\left(\frac{\pi}{2}cos\theta\right)}{sin\theta}\right]^2. Стоит отметить, что эти значения для конечного диаметра антенны отличаются от идеального случая. Длина принимающей антенны, которую мы используем в качестве примера, — 0.47 λ, отношение длины к диаметру — 100. С этими параметрами несложно рассчитать и получить импеданс \approx 73 +3j \,\Omega, который близок к референсному значению (для случая бесконечно тонкого провода), а также хорошо согласуется с экспериментальными данными. К сожалению, теоретического значения для сравнения нет, однако, это только подчёркивает необходимость численного моделирования антенных систем.

На графике ниже показано сравнение коэффициента направленного действия бесконечного тонкого диполя и дипольной антенны, которую мы смоделировали. Так как антенна рассматривалась идеально проводящей и, следовательно, в ней нет потерь, полученные значения аналогичны коэффициенту усиления антенны. Вы можете скачать рассмотренный пример модели дипольной антенны.

Сравнение коэффициента направленного действия в зависимости от угла theta для двух полуволновых антенн. Таким образом, показана функциональность мультимасштабного моделирования высокочастотных электромагнитных явлений.
Сравнение коэффициента направленного действия в зависимости от угла theta для двух полуволновых антенн (ориентированных по оси z). В COMSOL Multiphysics® моделировалась антенна конечного диаметра, а теоретические расчёты представлены для бесконечно тонкой антенны.

Расчёт принимаемой мощности

Теперь, используя формулу передачи Фрииса, рассчитаем мощность, излучаемую идеальным точечным диполем и принимаемую полуволновой дипольной антенной. Для этого нам надо знать коэффициент усиления (или реальный коэффициент усиления), коэффициент отражения или несогласованности импедансов, длину волны, расстояние между антеннами и входную мощность. Так как мы рассматриваем точечный электрический диполь, зададим дипольный момент вместо входной мощности и коэффициента несогласованности импедансов. В нашем уравнении опустим член для коэффициента отражения, вызванного рассогласованием между антенной и линией передач, и заменим входную мощность излучаемой мощностью идеального электрического диполя, полагая, что они равны.

P_r = p(1-| \Gamma_r|^2) G_t \left(\theta_t,\phi_t\right) G_r \left(\theta_r,\phi_r\right) \left(\frac{\lambda}{4\pi r}\right)^2 P_{rad}

Если предположить, что излучатель и приёмник расположены в плоскости xy, согласованы по поляризации и разделены на 1000 λ, а также, что дипольный момент излучателя равен 1 Am в \hat{z}, из уравнения Фрииса мы получим принимаемую мощность, равную 380 μW. В третьей части данной серии мы попробуем воспроизвести аналогичный результат в конечно-элементной модели для проверки и верификации. Затем можно будет использовать нашу модель, чтобы эффективно рассчитывать более сложные конфигурации, которые невозможно точно рассчитать с помощью формулы Фрииса.

Заключение

В этой заметке мы рассказали об идее мультимасштабного моделирования и рассмотрели все определения и уравнения, которые понадобятся в последующих блогах. Для некоторых опытных инженеров-проектировщиков антенн эта заметка могла показаться слишком простой и обзоной. Однако, если приведённые здесь определения и уравнения для вас были неизвестны, рекомендуем ознакомиться с классической литературой по электромагнетизму и теории антенн.

В последующих материалах мы будем рассматривать, прежде всего, практическую реализацию моделирования в COMSOL Multiphysics СВЧ-процессов на различных пространственных масштабах, ссылаясь в качестве пояснений на данную работу.

В следующих частях серии…

Следите за обновлениями серии о мультимасштабном моделировании:

  • Во второй части мы будем моделировать излучение точечного электрического диполя, используя физический интерфейс Electromagnetic Waves, Frequency Domain (Электромагнитные волны, частотная область). Мы рассмотрим настройки узла Far-Field Domain (Область дальней зоны), который рассчитывает излучение от источника в дальней зоне. Покажем, как можно связать физические интерфейсы Electromagnetic Waves, Frequency Domain и Electromagnetic Waves, Beam Envelopes (Электромагнитные волны, Огибающие пучков), чтобы моделировать поля в средней переходной зоне.
  • В третьей части серии мы смоделируем приём сигнала на произвольном расстоянии полуволновым диполем от точечного излучающего диполя. Для проверки и верификации, вычислим мощность, полученную полуволновым диполем, и сравним результаты с расчётом на основе формулы передачи Фрииса.
  • В четвёртой части, мы свяжем источник излучения и точечный электрический диполь с помощью функционала интерфейса Geometrical Optics (Геометрическая оптика).
  • В пятой части мы еще раз соединим две антенны, используя физический интерфейс Geometrical Optics. Мы снова сравним результаты и обсудим, как можно учитывать в модели неоднороную среду и многолучевое распространение.

Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Трассировка частиц Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта