Использование метода граничных элементов в акустическом моделировании

Mads Herring Jensen 19/03/2018
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Метод граничных элементов включен в модуль Акустика в качестве отдельного физического интерфейса. Этот интерфейс, доступный в программном пакете COMSOL Multiphysics® начиная с версии 5.3a, можно легко использовать в сочетании с конечно-элементными интерфейсами для моделирования задач, связанных, например, с взаимодействием между акустическими волнами в жидкостях и газах и упругими колебаниями в твердотельных конструкциях. Теперь в модуле Акустика благодаря BEM можно решать еще более широкий спектр задач. В данной заметке мы рассмотрим функционал метода граничных элементов, примеры его применения и соответствующие элементы постобработки.

Преимущества метода граничных элементов в акустическом моделировании

Функционал метода граничных элементов доступен в модуле Акустика в качестве интерфейса Pressure Acoustics, Boundary Elements (Скалярная акустика, граничные элементы). С помощью этого интерфейса можно решать акустические задачи в двухмерной и трехмерной постановке с постоянными свойствами материалов в каждой области. Используя комплексные параметры для материалов, можно включить в модель текучей среды потери. Более того, в BEM-интерфейсе реализована возможность задавать фоновое поле, что позволяет эффективно решать задачи о рассеянии (см. изображение ниже). Ниже будет показано, что с введением метода граничных элементов пользователи могут решать задачи совершенно новой категории, что было невозможно раньше.

График звукового давления для модели сферического рассеивателя.
График для сравнения поля рассеяния в сферическом рассеивателе на заданной частоте.

Классическая для метода граничных элементов эталонная модель сферического рассеивателя, результаты которой сопоставляются с аналитическим решением. На изображении слева показано акустическое давление в двух секущих плоскостях при частоте 500 Гц, а на правом — сравнение поля рассеяния при частоте 1400 Гц. Изображения из учебной модели Spherical Scatterer: BEM Benchmark (Сферический рассеиватель — эталонная модель с использованием метода граничных элементов).

Большое значение имеет возможность связывания интерфейсов, в которых используется метод граничных элементов, с интерфейсами, в которых используется метод конечных элементов. Например, с помощью мультифизической связи Acoustic-Structure Boundary (Граница Акустика — Конструкция) можно связать акустический интерфейс на основе метода граничных элементов с вибрирующими конструкциями, при моделировании которых используется метод конечных элементов. Кроме того, с помощью мультифизической связи Acoustic BEM-FEM Boundary (Акустическая FEM-BEM граница), можно сочетать акустические области граничных и конечных элементов.

Такая гибкость позволяет применять методы граничных и конечных элементов в наиболее подходящих для этого условиях в рамках одного пользовательского интерфейса, как и в случае других мультифизических связей, реализованных в COMSOL Multiphysics. В частности, метод конечных элементов (FEM) можно использовать для моделирования внутренней области вибрирующей конструкции, например, замкнутой воздушной области, поскольку он позволяет использовать более общие свойства материала, а метод граничных элементов (BEM) — для внешней области, поскольку он больше подходит для моделирования больших и бесконечных областей. Примером может служить модель громкоговорителя, показанная ниже.

Изображение мультифизической модели громкоговорителя в программном пакете COMSOL Multiphysics®.
Пользовательский интерфейс COMSOL Multiphysics при настройке модели громкоговорителя, в которую включены акустические области граничных и конечных элементов, а также интерфейсы Solid Mechanics (Механика твердых тел) и Shell (Оболочка). Встроенные мультифизические связи обеспечивают совместное моделирование физических процессов. Изображение из учебной модели Vibroacoustic Loudspeaker Simulation: Multiphysics with BEM-FEM (Виброакустическая BEM-FEM модель громкоговорителя).

При использовании метода граничных элементов требуется создавать сетку только на поверхностях вблизи области моделирования. Это уменьшает необходимость создания больших объемных сеток (необходимых при использовании FEM), что делает интерфейсы, основанные на методе граничных элементов, особенно полезными для моделей с детализированной CAD-геометрией, которые включают исследование излучения и рассеяния. В интерфейсе также предусмотрены встроенные условия для построения бесконечной акустической жесткой границы (стенки) или бесконечной акустической мягкой границы. Эти условия очень полезны при моделировании, например, акустических явлений под водой, где поверхность океана можно моделировать в качестве бесконечной акустической мягкой границы.

Как правило, использовать интерфейсы на основе метода граничных элементов предпочтительнее для больших областей с флюидом, для которых в противном случае потребовалась бы большая объемная сетка, основанная на методе конечных элементов (речь идет о ситуациях, когда для построения большой трехмерной сетки и последующего расчета было бы недостаточно памяти). В таких случаях благодаря использованию метода граничных элементов расширяется спектр задач, которые можно решать с помощью COMSOL Multiphysics. К примерам таких задач относятся:

  • Модели с бесконечной стенкой или бесконечной акустической мягкой границей, расположенной далеко (с точки зрения длины волны) от излучающих объектов
  • Модели, включающие в себя взаимодействие рассеивающих и излучающих объектов, расположенных далеко друг от друга
  • Задачи об излучении в конструкциях со сложной некомпактной геометрией, в которых при использовании метода конечных элементов неудобно использовать условие излучения или идеально согласованные слои (PML)

Изображение модели решетки преобразователей, расчитанной с использованием метода граничных элементов
Пример решетки преобразователей, расположенной на большом расстоянии от рассеивающего объекта. Задачи этого типа очень трудно или даже невозможно решить с помощью одного только метода конечных элементов, поскольку это требует большого количества памяти. Эту модель можно рассчитать, используя метод граничных элементов (при этом при перемещении сферы на большее расстояние требуемое количество вычислительных ресурсов не изменится). Изображение из модели Tonpilz Transducer Array for Sonar Systems (Решетка преобразователей типа Tonpilz для гидроакустических сонаров).

Несмотря на то, что для равного количества степеней свободы метод граничных элементов требует больше вычислительных ресурсов, чем метод конечных элементов, BEM обычно требует намного меньше степеней свободы при одном и том же уровне точности. Полностью заполненные плотные системные матрицы, создаваемые при использовании метода граничных элементов, требуют применения специальных численных методов, отличающихся от используемых в методе конечных элементов. Интерфейс на основе метода конечных элементов, например, Pressure Acoustics, Frequency Domain (Скалярная акустика в частотной области), обычно работает быстрее при решении небольших и средних акустических моделей, чем интерфейс на основе метода граничных элементов.

Согласно руководству пользователя для модуля Акустика, метод граничных элементов, используемый в интерфейсе Pressure Acoustics, Boundary Elements (Скалярная акустика, граничные элементы), основан на прямом методе с симметричной связью Костабеля (Costabel's symmetric coupling). Чтобы решить полученную систему линейных уравнений, используется метод быстрого сложения с адаптивной кросс-аппроксимацией (adaptive cross approximation — ACA). Для этого метода используется частичное объединение матриц, в котором рассчитывается влияние матрично-векторного умножения. В качестве итеративного решателя по умолчанию используется GMRES. С помощью встроенных мультифизических связей можно без проблем настроить задачи так, чтобы для них использовалось сочетание физических интерфейсов, основанных на методах конечных и граничных элементов. При решении этих связанных моделей стандартным подходом является гибридизация с ACA для метода граничных элементов и использование подходящего предобуславливателя для части задачи, в которой используется метод конечных элементов (прямой или многосеточный).

Использование преимуществ обоих методов: гибридный FEM-BEM подход

Как уже отмечалось выше, интерфейс Pressure Acoustics, Boundary Elements (Скалярная акустика, граничные элементы) можно без проблем связать с интерфейсами, в которых используется метод конечных элементов, например, с интерфейсами Pressure Acoustics, Frequency Domain (Скалярная акустика в частотной области) и Solid Mechanics (Механика твердых тел). Благодаря этой связи можно с легкостью создавать гибридные модели с использованием методов граничных и конечных элементов, сочетающие в себе возможности и преимущества обоих подходов.

Таким образом, метод граничных элементов (BEM) в акустике не заменяет, а дополняет метод конечных элементов (FEM). На практике лучше всего использовать метод граничных элементов, если имеются большие области с флюидом, для которых при использовании метода конечных элементов потребовалось бы создание очень подробной сетки, а в других случаях совместно использовать наиболее подходящие физики на основе методов граничных и конечных элементов. Некоторые примеры и области применения:

  • Моделирование преобразователей и задач об излучении в постановках со сложной геометрией
    • Моделирование преобразователя (пьезоэлектрического или электромагнитного) с помощью метода конечных элементов и внешней акустики с помощью метода граничных элементов
  • Сочетание задач во внутренних и внешних областях
    • Используйте метод конечных элементов в узких областях и резонансных объемах, а метод граничных элементов – во внешней части с излучением
    • Помните, что акустические модели, созданные на основе методов граничных и конечных элементов, можно с легкостью связывать с помощью мультифизической связи Acoustic BEM-FEM Boundary (Акустическая FEM-BEM граница)

Помните, что решать небольшие модели, не требующие большого количества памяти, обычно быстрее с помощью метода конечных элементов. Для моделирования открытых областей излучения лучше использовать традиционный подход с условием излучения или идеально согласованными слоями (PML).

Вместо условия излучения на основе метода конечных элементов или идеально согласованных слоев (PML) и вычислений в дальней зоне можно использовать интерфейс Pressure Acoustics, Boundary Elements (Скалярная акустика, граничные элементы). В качестве примера можно ознакомиться с моделью ниже.

Изображение модели решетки Бесселя, созданной с использованием метода граничных элементов
В учебной модели Bessel Panel (Решетка Бесселя) для моделирования открытого пространства используется интерфейс Pressure Acoustics, Boundary Elements (Скалярная акустика, граничные элементы). Вместо условия излучения (или PML) и вычислений в дальней зоне, которые раньше были необходимы, успешно применяется BEM-интерфейс. На данном изображении показано акустическое давление на поверхности FEM-области (в этой области содержится несколько точечных источников) и в трех секущих плоскостях заданных размеров во внешней области, где используется формулировка на основе граничных элементов.

Постобработка моделей, созданных на основе метода граничных элементов

Если решать задачу с помощью BEM-интерфейса, ее решение будет состоять из зависимых переменных (искомым полям) на границах. К ним относится давление p и его нормальная производная — переменная нормального потока pabe.pbam1.bemflux. Поиск решения в объёмной области основывается на определении ядра интеграла (функции влияния) и является центральной частью метода граничных элементов.

На границах определяется специальная граничная переменная. Эта переменная имеет разные определения на внешних и внутренних границах. Она равна зависимой переменной на внешних границах. Верхние и нижние переменные, зависящие от давления, определяются на внутренних границах (pabe.p_up и pabe.p_down), поскольку давление здесь является разрывным — например, на границе Interior Sound Hard Wall (Акустическая жесткая внутренняя стенка). Кроме того, на всех границах имеются предварительно определенные переменные для постобработки, с помощью которых можно при необходимости сочетать свойства граничных переменных с переменными, полученными при определении ядра интеграла (функции влияния).

Эти и все остальные переменные постобработки содержатся в списках Replace Expressions (Заменить выражения) на графиках, как показано на изображении ниже.

Снимок экрана с доступными переменными для постобработки в программном пакете COMSOL® для BEM.
Пользовательский интерфейс со списком некоторых предварительно определенных переменных для постобработки.

При постобработке решения, найденного в областях с помощью метода граничных элементов, потребуется перестроить поле давления путем уже упомянутого определения ядра интеграла для МГЭ. Для простой визуализации решения, найденного с помощью метода граничных элементов, доступны специальные наборы данных для автоматизации определения ядра на решетке. Ниже описаны наборы данных, которые можно использовать для построения графиков результатов акустического моделирования.

Наборы данных Grid 3D (Трехмерная решетка) и Grid 2D (Двумерная решетка) специально предназначены для поиска решения в областях, в которых не имеется сетки. С помощью этих наборов данных строится обычная решетка точек для поиска решения. Размер, границы и разрешение (шаг) решетки можно изменить. При визуализации волновых задач важно задать подходящее пространственное разрешение. При этом оно не должно быть слишком большим, поскольку это увеличит время рендеринга.

Такие наборы данных можно, например, выбрать в качестве входного набора данных для срезов или поверхностных графиков. Набор данных Grid и мультисрезовый график создаются автоматически и используются как графики по умолчанию при расчете модели с применением метода граничных элементов. Набор данных Grid можно также использовать в качестве исходного набора для секущей плоскости, секущей линии или секущей точки.

Параметризированные кривые и поверхности (как наборы данных) могут непосредственно использоваться для вычисления BEM-решения, если выбрана опция Only evaluate globally defined expressions (Рассчитывать только глобально определенные выражения).

Специальные акустические графики могут напрямую использоваться с переменными метода граничных элементов в качестве входных данных. В качестве примера можно привести график Far Field (Дальняя зона), используемый для анализа пространственного отклика (необязательно в дальней зоне, расстояние может быть любым), и график Directivity (Коэффициент направленного действия). Например, в качестве выражения можно использовать переменную звукового давления pabe.Lp.

Три снимка экрана, расположенные в ряд, на которых показано окно настроек для разных наборов данных для BEM-модели.

Снимки экрана, изображающие пользовательский интерфейс для некоторых вышеупомянутых наборов данных. Важные настройки выделены.

Скриншоты выше взяты из модели Loudspeaker Radiation: BEM Acoustics (Излучение громкоговорителя в BEM-постановке). В модели рассмотрена и решения задача излучения, в ней также построено большинство распространенных графиков и результатов для визуализации.

На изображении ниже показано акустическое давление в трех сечениях решетки на поверхности динамика. Чтобы продемонстрировать универсальность инструментов постобработки и визуализации, уровень звукового давления также показан по параметрической спиральной кривой, созданной с помощью набора данных Parametric Curve 3D (Трехмерная параметрическая кривая).

График распределения уровня звукового давления в модели громкоговорителя.
Различные варианты отображения уровня звукового давления в учебной модели Loudspeaker Radiation: BEM Acoustics ( Излучение громкоговорителя в BEM-постановке).

Два особых случая использования метода граничных элементов

Далее рассмотрим два случая, требующие особого внимания при использовании метода граничных элементов.

Случай 1. Задача об излучении в полупространстве (The Half-Space Radiation Problem)

Во многих акустических задачах преобразователь является частью бесконечного экрана и испускает излучение в полупространство. В большинстве случаев такая конфигурация, по крайней мере с бесконечным экраном, невозможна при использовании граничных элементов. Можно задать конечный экран, например, с помощью граничного условия Interior Sound Hard Wall (Акустическая жесткая внутренняя стенка).

Хотелось бы использовать для этих целей ГУ Infinite Sound Hard Boundary (Акустическая жесткая бесконечная граница). Но это условие не может «иметь отверстие», как в случае, когда головка громкоговорителя установлена на экране. Поскольку формулировка метода граничных элементов основана на функции Грина для полного пространства, условие бесконечной плоскости с симметрией или бесконечной стенки означает их непрерывность и отсутствие отверстий. Собственно говоря, все активные границы, для которых имеется выборка в физическом интерфейсе, должны быть расположены по одну сторону бесконечного условия или лежать на нем. Если это условие не соблюдается, результаты не будут иметь физического смысла.

При работе с бесконечными экранами рекомендуется использовать физический интерфейс на основе метода конечных элементов в сочетании с вычислениями в дальней зоне и идеально согласованным слоем или условием излучения. В качестве примера можно привести модель Lumped Loudspeaker Driver (Громкоковоритель с сосредоточенной моделью возбуждения). Такая постановка обычно будет расчитываться намного быстрее.

Снимок экрана с графическим интерфейсом пользователя в интерфейсе Pressure Acoustics, Boundary Elements (Скалярная акустика, граничные элементы).
Пользовательский интерфейс Pressure Acoustics, Boundary Elements (Скалярная акустика, граничные элементы). Бесконечные условия можно найти в верхнем уровне физики (выделены на изображении). После выбора условия результирующая плоскость отображается в Графическом окне.

Случай 2. Задачи во внутренней области (Interior Problems)

С помощью метода граничных элементов может быть сложно решать задачи во внутренней области, особенно задачи с острыми резонансами при минимальных или отсутствующих потерях. Дело не в недостатках самого метода, а в том, что используется итеративный решатель для эффективного решения базовой системы матриц. Та же самая проблема наблюдается и в модели, основанной на методе конечных элементов, в которой используется итеративный решатель.

В области острого резонанса любые небольшие изменения приводят к колебаниям давления, которые сложно уловить для обеспечения сходимости. По возможности в таких ситуациях лучше всего использовать метод конечных элементов с прямым решателем или добавить реалистичные граничные условия с потерями, например, с условием импеданса.

Заключительные замечания о методе граничных элементов

Метод граничных элементов (BEM) является полезным дополнением к методу конечных элементов в COMSOL Multiphysics. Многие инженеры, занимающиеся моделированием акустики, с нетерпением ждали добавления этой функции. Мы надеемся, что вам понравится это недавнее усовершенствование в модуле Акустика.

Дальнейшие шаги

Узнайте о том, какие возможности открывают специализированные функции акустического моделирования в модуле расширения Акустика, нажав на кнопку ниже.

Попробуйте сами: Скачайте одну из моделей, описанных в этой заметке. В Библиотеке приложений можно войти в учетную запись COMSOL Access и загрузить MPH-файл.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Трассировка частиц Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта