Как использовать топологическую оптимизацию при моделировании в области акустики

Guest René Christensen 03/11/2016
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Сегодня Рене Кристенсен (René Christensen) из компании GN Hearing расскажет нам о важности топологической оптимизации для задач акустики и продемонстрирует ее использование с помощью COMSOL Multiphysics.

Топологическая оптимизация — мощный инструмент для поиска оптимальных решений инженерных проблем. В этой статье мы подробно изучим оптимизацию топологии применительно к акустике и ответим на вопрос, как найти оптимальное распределение акустической среды для получения желаемой характеристики или отклика. Возможности этого метода оптимизации будут продемонстрированы на нескольких примерах.

Целевые функции для топологической оптимизации

Многие инженерные задачи включают оптимизацию имеющейся конструкции или проектирование новой конструкции для конкретной прикладной задачи. При этом огромную важность имеет многолетний опыт работы в конкретной отрасли промышленности и знание практических приемов. Однако задачи оптимизации часто бывают настолько сложными, что не всегда можно понять, ведут ли поэтапные изменения конструкции к улучшению. В таких случаях прибегают к оптимизации в математическом смысле.

Прежде чем идти дальше, давайте вспомним некоторые важные термины. В любой задаче оптимизации — параметров, формы или, в нашем случае, топологии — всегда имеется по меньшей мере одна целевая функция. Как правило, нам требуется минимизировать эту функцию. В задачах акустики мы можем минимизировать давление звука в заданной области, а в задачах механики конструкций — напряжения в заданной части конструкции. Мы формулируем эту задачу как

\min_{\chi} F (\chi)

где F — целевая функция. В ходе оптимизации переменная проектирования \chi изменяется так, чтобы получить оптимальное решение. Переменная проектирования задана на области проектирования, которую обозначают Ωd и которая обычно занимает только часть конечно-элементного пространства Ω, как показано на рисунке ниже.

Схематическое изображение области проектирования.
Область проектирования обычно является подмножеством всей области конечных элементов.

Поскольку переменная проектирования представляет собой функцию координат в дискретной области конечных элементов, используемой при проектировании, она фактически является вектором. В нашем случае, для простоты, мы будем говорить о ней как о переменной.

Если задаче оптимизации есть несколько целевых функций, то инженер самостоятельно должен решить, с какими весовыми коэффициентами учитываются эти целевые функции. Поскольку в ходе оптимизации различные цели могут препятствовать друг другу, необходимо обратить особое внимание на постановку задачи.

Кроме целевой функции (функций) обычно в задаче оптимизации есть некоторые ограничения. Они характеризуют предельные значения габаритов и (или) массы, применимые для рассматриваемой задачи. В интерфейсе Optimization (Оптимизация) программного пакета COMSOL Multiphysics можно систематическим образом задавать переменные проектирования, одну или несколько целевых функций и ограничения.

Пример статической задачи механики конструкций

В процессе топологической оптимизации на каждой итерации изменяются значения переменной проектирования, заданной на области проектирования. Переменная проектирования непрерывна во всей области и принимает значения от 0 до 1:

0 < \chi \leq 1\forall (x,y) \in \Omega_d

Мы бы хотели добиться того, чтобы значения переменной проектирования оказались близки к 0 или 1. Тогда мы получим близкую к дискретной конструкцию, область проектирования которой будет охвачена двумя дискретными (бинарными) состояниями. Что это за состояния, зависит от физического смысла нашей задачи оптимизации. Поскольку в литературе топологическая оптимизация широко применяется в задачах механики конструкций, мы сначала изучим её применительно к данной области физики, а в следующем разделе рассмотрим её аналог из акустики.

Мы уже обсуждали оптимизацию топологии для задач механики конструкций с помощью COMSOL Multiphysics в блоге COMSOL. Кратко изложим содержание той статьи. В ней изучалась так называемая MBB-балка (Messerschmitt-Bölkow-Blohm) с целью максимизировать жесткость, минимизируя полную энергию деформации при заданной нагрузке и заданных граничных условиях. Область проектирования занимала всю область конечных элементов. К полной массе конструкции применялось ограничение. В области проектирования модуль Юнга задавался переменной проектирования \chi как

E(\chi) = \left\{ \begin{array}{ll}E_0\ \textrm{for}\ \chi=1\\ \textrm{for}\ \chi=0 \end{array} \right..

Чтобы перейти к бинарному значению переменной проектирования, мы использовали так называемую интерполяцию твердого изотропного материала со штрафом (SINP),

E (\chi) = \chi^p E_0,

где p— множитель штрафа, обычно принимающий значения от 3 до 5. Используя эту интерполяцию и неявную линейную интерполяцию плотности материала, решатель избегал промежуточных значений \chi, так как они давали менее выгодные соотношения жесткости и веса. На рисунке ниже показана полученная топология MBB-балки, полученная в предыдущей статье.

Изображение оптимизированной балки MBB.
Оптимизированная топология MBB-балки.

На этом рисунке черным отмечен материал с заданным пользователем модулем Юнга E0. Белый цвет соответствует нулевой жесткости, указывая на области, остающиеся пустыми.

Проведение топологической оптимизации в акустических задачах с помощью COMSOL Multiphysics®

Теперь рассмотрим топологическую оптимизацию в акустике. В задачах акустики мы сталкиваемся с зависящими от частоты решениями, которые описывают распространение волн в акустических средах. Переменная проектирования теперь связана с физикой звуковых волн. Вместо бинарного распределения «пустота — материал» мы хотим получить бинарное распределение «воздух — твердое тело», где под "твердым телом" подразумевается текучая среда с высокой плотностью и высоким модулем объемной деформации.

Мы зададим четыре параметра, которые описывают свойства обычной и «твердой» среды в состоянии покоя и при сжатии: Воздуху припишем плотность \rho_1 и модуль объемной деформации K1, а «твердой» среде — более высокую плотность \rho_2 и более высокий модуль объемной деформации K2. Изменяя переменную проектирования, мы меняем плотность \rho и модуль объемной деформации K в области проектирования так же, как мы меняли модуль Юнга в примере, относящемся к механике конструкций. Однако при этом требуется другая интерполяция, чтобы значения материальных свойств не обращались в ноль при нулевом значении переменной проектирования, а принимали значения, характерные для воздуха и твердого тела:

\rho(\chi) = \left\{ \begin{array}{ll}\rho_2\ \textrm{for}\ \chi=1 \\ \rho_1\ \textrm{for} \ \chi=0 \end{array} \right.

и

K(\chi) = \left\{ \begin{array}{ll}K_2\ \textrm{for}\ \chi=1\\K_1\ \textrm{for}\ \chi=0 \end{array} \right.

Самый простой вариант — линейная интерполяция, задаваемая двумя крайними значениями. Это не лучший подход, поскольку он не предусматривает штрафа за промежуточные значения \chi, и оптимальная конструкция может оказаться не бинарной. Следовательно, такая конструкция будет физически неосуществима. В литературе также известны другие схемы интерполяции. В описываемых в данном блоге случаях будет использоваться так называемое рациональное приближение материальных свойств (RAMP), см. [1].

Как и в случае оптимизации для механики конструкций, мы задаем область проектирования, в которой ищем распределение материала, отвечающее ограничениям. Ограничения на площадь или объем можно задать через переменные проектирования. Например, ограничение на площадь в области проектирования можно задать в виде неравенства

\int^{}_{\Omega_d} \chi d \Omega_d \leq S_r,

где Sr — отношение площади области, которой приписаны свойства твердого тела, к площади всей области проектирования.

Пример: одна целевая функция, одна частота

Рассмотрим пример глушителя (звукопоглощающего устройства). Для простоты ограничимся двухмерной областью. Обычная характеристика глушителя — так называемый коэффициент затухания (снижения шума) TL, который задается отношением входной мощности к выходной мощности:

TL = 10 \log_{10} \left(\frac{W_i}{W_o} \right).

Коэффициент снижения шума вычисляется по так называемой трехточечной схеме, предложенной в [2]. Его мы и выберем в качестве целевой функции, стремясь максимизировать этот коэффициент для одной частоты (в данном случае 420 Гц):

\max_{\chi} TL (420 \text {Hz}).

Определены две области проектирования: над трубчатой секцией и под ней. Область проектирования ограничена следующим образом: не более 5% площади области должно быть заполнено твердым телом, то есть 95% должно быть заполнено воздухом:

\int^{}_{\Omega_d} \chi d \Omega_d \leq 0.05.

Начальное состояние области проектирования — полностью заполненная воздухом область, в которой \chi = 0. На анимации ниже показан переход от начального состояния к итоговой топологии.

 

Анимация, показывающая переход от начального состояния к оптимизированной топологии глушителя.

Оптимизированная конструкция глушителя имеет топологию «камеры двойного расширения», см. [3]. Коэффициент снижения шума на целевой частоте вырос примерно на 14 дБ, как показано на графике ниже. Однако на частотах, отличных от целевой, коэффициент снижения шума также изменился, что может оказаться важным в конкретной прикладной задаче. Поэтому оптимизации на одной частоте, как правило, может оказаться недостаточно.

График, сравнивающий коэффициент снижения шума для начальной и оптимизированной конструкции глушителя.
Коэффициент снижения шума для начального состояния и оптимизированной конструкции глушителя.

Пример: две целевые функции, две частоты

Давайте перейдем к задаче оптимизации двух целевых функций для двух разных частот. Снова рассмотрим двухмерную комнату с тремя жесткими стенами и заданным давлением, приложенным к левой стене комнаты. В комнате также выделены две целевые области Ω1 и Ω2 в правом верхнем и правом нижнем углу комнаты. Две цели формулируются следующим образом:

  1. Минимизировать уровень звукового давления на частоте f1 и
  2. Минимизировать уровень звукового давления на частоте f2 = 1,5 f1

при заданной круглой области проектирования Ωd и ограничении площади занимаемой "твердым телом", которая не должна превышать 10%. Начальное состояние — \chi = 0, то есть вся область проектирования заполнена воздухом.

Изображение квадратной двухмерной комнаты.
Квадратная двухмерная комната с круглой областью проектирования и двумя целевыми областями.

Мы должны решить, с какими весовыми коэффициентами мы учитываем две наши целевые функции или какую важность мы им придаем. В нашем случае обе функции одинаково важны, поэтому задача формулируется как задача минимакса:

\begin{align} \min_{\chi} \max_{f_1 f_2} SPL_i (\chi, f_i) \\ \text {subject to} \int^{}_{\Omega_d} \chi d\Omega_d \leq 0.1. \end{align}

На рисунках ниже синим цветом показана оптимизированная топология и давление звука на обеих частотах в одном масштабе. Обратите внимание, как оптимизация топологии приводит к появлению области низкого давления в правом верхнем углу на первой частоте. В то же время эта же самая топология обеспечивает появление зоны низкого давления в правом нижнем углу на второй частоте. Такого результата было бы сложно добиться методом проб и ошибок.

Результаты моделирования показывают звуковое давление для частоты f1.
График звукового давления для частоты f2.

Давление звука на частоте f1 (слева) и на частоте f2 (справа). Оптимизированная топология показана синим цветом.

Пример: одна целевая функция, несколько частот

В качестве третьего и последнего примера мы оптимизируем одну целевую функцию для диапазона частот. Источник звука излучает звуковые волны в двухмерную область, в которой изначально существует цилиндрическое звуковое поле. В задаче присутствуют две квадратные области проектирования, но мы воспользуемся симметрией задачи и смоделируем лишь половину геометрии. В этом случае нам нужно, чтобы величина звукового давления \overline{p}_{obj} в точке на расстоянии 0,4 м перед источником звука по центральной оси симметрии была постоянной. Оптимизация выполняется в диапазоне частот от 4000 до 4200 Гц (на пяти частотах с шагом 50 Гц). Для этого мы можем использовать функционал Global Least-Squares Objective (Глобальная целевая функция метода наименьших квадратов) в COMSOL Multiphysics со следующей постановкой задачи:

\begin{align} \min_{\chi} \sum_{i=1}^{5} (\mid p_i (\chi, f_i, 0, 0.4) \mid -\overline{p}_{obj})^2 \\ \text {subject to} \int^{}_{\Omega_d} \chi d\Omega_d \leq 0.1. \end{align}

Начальное состояние по-прежнему \chi = 0. Оптимизированная топология и звуковое поле для начального и оптимизированного состояния показаны на рисунке ниже.

График звукового давления в начальном состоянии.
График звукового давления для оптимизированной топологии.

Давление звука в начальном состоянии (слева) и оптимизированном состоянии (справа) на частоте 4 кГц. Оптимальная топология показана синим цветом внутри квадратных областей проектирования.

Так как величина давления звука в точке наблюдения в начальном состоянии ниже целевого давления, оптимизация топологии ведет к появлению отражателя, фокусирующего звук на центральной оси. Величины давления звука до и после оптимизации показаны на графике ниже. После оптимизации величина давления оказалась близка к требуемому целевому значению во всем диапазоне частот.

График нормированного давления.
Отношение величины давления к \overline{p}_{obj} для начальной и оптимизированной топологии.

Возможности топологической оптимизации для задач акустики

Топологическая оптимизация — весьма перспективный метод создания новых конструкций для инженеров, занимающихся прикладной акустикой. Как было показано в этой статье, этот метод можно успешно применять в COMSOL Multiphysics. Корректно определяя целевые функции и ограничения, можно решать прикладные задачи с помощью новых и необычных топологий, которые сложно было бы обнаружить традиционными методами.

Я хотел бы особо поблагодарить доцента Датского технического университета Нильса Оге (Niels Aage) за плодотворное обсуждение методов оптимизации.

Чтобы узнать больше об оптимизации топологии для задач акустики в COMSOL Multiphysics, вы можете загрузить следующий пример из Галереи приложений: Topology Optimization of Acoustic Modes in a 2D Room (Топологическая оптимизация при распространении акустических мод в двухмерной комнате).

Литература

  1. M.P. Bendsoe, O. Sigmund, Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications, Springer 2003.
  2. T.W. Wu, G.C. Wan "Muffler Performance studies and using a direct mixed-body boundary element method and a three-point method for evaluating transmission loss", Trans. ASME: J. Vib. Acoust. 118 (1996) 479-484.
  3. Z. Tao, A.F. Seybert, "A review of current techniques for measuring muffler transmission loss", SAE International, 2003.

О приглашенном авторе

Фотография Рене Кристенсена, сотрудника компании GN Hearing.

Рене Кристенсен занимается задачами виброакустики больше десяти лет как консультант (компания iCapture ApS) и как инженер-проектировщик слуховых аппаратов (компании Oticon A/S и GN Hearing A/S). Сферой его специализации является моделирование термовязких эффектов в микроакустике, и его докторская диссертация была посвящена этой теме. Рене работает старшим инженером-акустиком в исследовательской группе по технологической акустике компании GN Hearing с 2015 года, занимаясь проектированием и оптимизацией конструкций слуховых аппаратов.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Трассировка частиц Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта