Как обеспечить механическую надежность при моделировании теплового расширения

28/06/2018

Предположим, необходимо рассчитать тепловое расширение твердого тела и возникающие в нем механические напряжения. Зададим на границах тепловые потоки и температуру, запусти расчет и увидим, что решение не сходится. Такое часто происходит, когда не заданы ограничения для перемещений. Однако задать ограничения, которые не приводят к возникновению дополнительных напряжений, — задача не тривиальная. В этой заметке мы покажем, как эффективно использовать инструмент Rigid Motion Suppression (Подавление движения жесткого тела) в программном обеспечении COMSOL Multiphysics® для автоматического задания необходимых ограничений.

Кинематические ограничения в задачах прочностного анализа

При стационарном или квазистационарном прочностном расчете анализируется равновесное состояние. Таким образом, объект может свободно деформироваться, но не может совершать поступательного или вращательного движения. Чтобы обеспечить это условие, приложенные внешние силы должны быть уравновешены силами реакции опоры. Силы реакции возникают вследствие ограничений на поступательные и вращательные степени свободы. В двумерных задачах необходимо ограничить два поступательные и одну вращательную степени свободы. В трехмерных — три поступательных и три вращательных степени свободы.

Если не задать ограничения, тогда неуравновешенные силы будут стремиться сдвинуть объект или повернуть его. В этом случае условие равновесия будет нарушено. А значит, задача будет иметь бесконечное множество решений, соответствующих разным поворотам и перемещениям объекта как абсолютно твердого тела. Матрица жесткости такой системы становится вырожденной, и получить сошедшееся решение с помощью стационарного решателя не удастся.

Можно подойти к решению этой задачи чисто математически. Для получения единственного решения уравнений равновесия, которые представляют собой эллиптические уравнения в частных производных, необходимо задать условия Дирихле.

В задачах динамического анализа этого будет недостаточно из-за наличия в уравнениях инерциального члена. В отличие от стационарных задач, когда неуравновешенных сил быть не должно, в динамическом анализе неуравновешенная сила может привести к ускоренному движению. В таком случае уравнения становятся гиперболическими, и для получения однозначного решения условия Дирихле не нужны. Отметим, что в данном случае мы говорим не только о квазистатическом нестационарном анализе, в котором не учитываются инерционные члены, но также и о динамическом. Далее в заметке мы рассмотрим пример стационарного анализа.

Решение не сходится: Решение задачи о тепловом расширении

Для примера возьмем задачу о расчете напряжения в многослойной плате, подложка и покрытие которой имеют различные коэффициенты теплового расширения (КТР). Покрытие наносится на подложку при температуре 800°C, при этом напряжения в многослойной плате равны нулю. Найдем напряжения, возникающие вследствие разных значений КТР при понижении температуры до 150°C. Поскольку в данном случае конечная температура во всей расчетной области нам известна, то решать задачу о теплообмене не нужно. Можно просто добавить подузел Thermal Expansion (Тепловое расширение) к узлу Linear Elastic Material (Линейный упругий материал).

Пример потери сходимости решения в задаче о тепловом расширении
Решение задачи о термическом расширении не сойдется, если не заданы достаточные ограничения на перемещения.

Подложка, материал которой имеет более высокий КТР, при охлаждении сожмется сильнее, чем покрытие. Склеивание подложки и покрытия приводит к тому, что на их границе перемещения будут одинаковыми. Таким образом, в подложке возникнут растягивающие усилия, в покрытии — сжимающие, а вся конструкция будет подвержена действию изгибающего усилия. Теперь, если нажать на кнопку Compute (Вычислить), появится ошибка сходимости «Failed to find a solution» (Решение не найдено), потому что при заданных условиях единственного решения не существует.

Грубый метод достижения сходимости

Если добавить на некоторые границы, к примеру, на две левые, жесткие ограничения, то перемещение и вращение твердого тела, очевидно, будет заблокировано. Другим методом является добавление условий симметрии на левую и нижнюю границы. Мы ограничиваем нормальные смещения на непараллельных гранях и, таким образом, блокируем движение твердого тела. Любой из этих двух методов позволит добиться сходимости решения. Результаты демонстрируют распределение нормального напряжения в направлении x на деформированной геометрии (перемещения на рисунке увеличены).

Модель теплового расширения, в которой задано жесткое закрепление.
Задача о тепловом расширении решена с использованием условий симметрии.

Результаты решения задачи с условиями жесткой заделки (слева) и условиями симметрии (справа).

Решения, показанные выше, демонстрируют очень разный характер деформаций и распределения напряжений. Как минимум одно из двух решений должно быть неверным. К примеру, если задача симметрична, можно использовать только четверть области для расчета и граничное условие симметрии. Использование условий симметрии позволит снизить объем занятой оперативной памяти и сократить время расчета. Такие условия можно было бы применить, если бы снизу тоже имелся слой покрытия той же толщины. Если же мы искусственно вводим условия симметрии, то мы добьемся сходимости, но решение будет некорректным.

Если бы многослойная плата свободно лежала на поверхности стола и не имела бы симметрии, использование обоих вышеуказанных граничных условий привело бы к неверным решениям. Сходимости недостаточно: Необходимо, чтобы задача сходилась к физически правильному решению. Необходимо добавить ограничения, которые стабилизируют модель без искажения напряженно-деформированного состояния.

Ручная настройка модели для получения точного решения

Как обсуждалось выше, предпочтительно использовать все имеющиеся в модели симметрии. Если условия симметрии неприменимы, тогда нам нужно задать такие ограничения на перемещения, которые не изменяют напряженно-деформированное состояние. Сделать это можно несколькими способами. Один из таких способов называется «3-2-1»:

  1. Выбрать три неколлинеарных точки, которые расположены на достаточном расстоянии друг от друга (для трехмерных моделей)
  2. Зафиксировать одну точку во всех трех направлениях
  3. Ограничить движение второй точки в двух направлениях, перпендикулярных вектору, соединяющему первую и вторую точки
  4. Ограничить движение последней точки в нормальном направлении к плоскости, сформированной тремя точками

Примечание: В двумерном случае этот метод сводится к заданию нулевых перемещений для одной точки во всех направлениях, а для второй точки — в направлении по нормали к линии, соединяющей первую и вторую точки.

Пример стабилизации двухмерной конструкции.
Стабилизация двухмерной конструкции с использованием ограничений в точках.

Результаты решения двухмерной задачи о тепловом расширении с использованием ручной настройки стабилизации.
Результаты, полученные с использованием ручной настройки ограничений на перемещения.

В более общем случае этот метод тоже можно использовать, но правильная настройка модели окажется нетривиальной задачей. Рассмотрим конструкцию, границы которой не совпадают с направлениями осей координат, в отличие от предыдущего примера. В данном случае во второй точке необходимо ограничить некоторую функцию перемещенийu и v, а не только v. В трехмерных задачах правильно настроить такие ограничения очень сложно. Кроме того, в других физических интерфейсах механики конструкций степени свободы — это не всегда только перемещения, например в интерфейсе Beam (Балка). Применим простое и универсальное решение.

Использование инструмента Rigid Motion Suppression

Независимо от размерности модели и используемого интерфейса механики можно использовать узел Rigid Motion Suppression (Подавление движения), с помощью которого программное обеспечение COMSOL® автоматически задаст ограничения на перемещения. Этот узел появился в COMSOL Multiphysics, начиная с версии 5.3. Для его использования в Построителе моделей перейдите в Solid Mechanics > Domain Constraints > Rigid Motion Suppression.

Настройки автоматического подавления движения в COMSOL Multiphysics.
Настройка узла Rigid motion suppression в двумерной задаче.

С помощью этого автоматического метода мы получим следующие результаты.

Результаты решения двумерной задачи о тепловом расширении с использованием автоматического подавления движения.
Напрженное состояние вследствие изменения температуры и разных значений КТР материалов.

В приведенных выше примерах распределение напряжений одинаковое, однако деформация выглядит по-разному. Действительно, результаты отличаются из-за движения твердого тела, как абсолютно твердого. При ручной настройке подавления движения, выбирается одно из бесконечного множества решений. При автоматическом подавлении движения выбранное решение может оказаться другим. В результате, перемещения могут отличаться из-за движения тела как абсолютно твердого, но напряжения и деформации будут одинаковыми.

В этом примере в узле Rigid Motion Suppression можно добавить один домен или оба. Поскольку они жестко соединены, достаточно ограничить движение только одного домена. В таких случаях выбор домена не влияет на рассчитанное напряженно-деформированное состояние. Меняются лишь точки, в которых программное обеспечение ограничивает движение.

Теперь давайте рассмотрим трехмерную задачу, в которой используется сочетание механических интерфейсов и интерфейса Heat Transfer для расчета неравномерного распределения температуры. Здесь рассчитывается джоулево тепловыделение, теплопередача и напряженно-деформированное состояние нагревательного электрического контура.

Пример использования инструмента подавления движения в COMSOL.
Распределение напряжения по Мизесу в нагревательном контуре, обусловленные разными значениями КТР материалов.

Алгоритм, реализованный в качестве условия Rigid Motion Suppression в программном обеспечении COMSOL Multiphysics, описан в Руководстве пользователя к модулю Structural Mechanics.

Предупреждение о неправильном использовании

Часто в задачах о тепловом расширении изменение температуры является единственной причиной возникновения напряжений. Но если на тело действуют внешние силы, они должны быть скомпенсированы. Инструмент Rigid Motion Suppression можно использовать в случае, когда внешних сил нет. В противном случае необходимо добавить ограничения, которые скомпенсируют действующие внешние силы.

На какие области следует наложить ограничение?

В сборке, содержащей несколько доменов, на некоторые домены может быть наложено недостаточно ограничений. При этом мы не хотим вводить искусственные ограничения на те домены, которые уже достаточно определены. Ошибка сходимости, возникающая при использовании стационарного решателя, не позволит определить, какие домены устойчивы, а какие не закреплены.

В подобной ситуации можно провести анализ на собственные частоты, чтобы найти незакрепленные домены. Моды колебаний, соответствующие движению абсолютно твердого тела, характеризуются близкими к нулю собственными частотами.

Рассмотрим пример, в котором расчетная область представляет собой сборку из трех прямоугольных доменов. Два нижних домена жестко соединены, а верхний не закреплен. На самой нижней границе задано условие жесткой фиксации.

Существует три моды с близкими к нулю частотами собственных колебаний, которые соответствуют трем модам абсолютно твердого незакрепленного тела. Теперь мы знаем, к какому домену необходимо применить условие подавления движения.

Пример использования анализа на собственные частоты для поиска незакрепленных доменов.
Использование расчета собственных частот для нахождения незакрепленных доменов.

Отметим, что для решения этой задачи можно использовать довольно грубую сетку. Если целью анализа на собственные частоты является только поиск незакрепленных доменов, тогда имеет смысл ограничиться расчетом низкочастотных мод. Для такого расчета достаточно построить сетку, которая просто отображает форму объекта. В дальнейшем для получения точного решения потребуется уже достаточно плотная сетка.

Такие незакрепленные домены часто встречаются в контактных задачах механики. Прежде чем между объектами установится контактное взаимодействие, которое будет ограничивать их свободное перемещение, некоторые из этих объектов могут находиться в незакрепленном состоянии. В контактных задачах механики чаще всего домены не должны оставаться неподвижными. В подобных случаях можно использовать такие инструменты COMSOL Multiphysics, как Spring Foundation (Упругое основание). С их помощью можно ограничить передвижение объектов, не закрепляя их неподвижно. Для дополнительной информации ознакомьтесь с разделом «Контактная механика» в Руководстве пользователя к модулю Механика конструкций.

Заключение

В этой статье мы обсудили одну из распространенных причин потери сходимости решения при моделировании теплового расширения, а именно отсутствие достаточных ограничений на перемещения. Мы рассказали о двух подходах к решению данной проблемы: ручном и автоматическом. Условие Rigid Motion Suppression помогает автоматизировать постановку граничных условий и сэкономить время при работе со сложными моделями. Для определения доменов, которые следует добавить в узел Rigid Motion Suppression, можно провести предварительный анализ на собственные частоты на грубой сетке.

Дальнейшие шаги


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ