Модель сжатия гиперупругого пеноматериала

Chandan Kumar 05/09/2018
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

Для описания гиперупругих материалов мы собираем экспериментальные данные о множестве испытаний, в том числе испытаний на одноосное растяжение и одноосное сжатие, на двухосное растяжение и двухосное сжатие, а также на кручение. В этой статье мы расскажем, как моделировать сжатие сферы из упругой пены на основе данных одноосных и двухосных испытаний на сжатие и растяжение. Мы демонстрируем расчет в модели Сторокеша для сжимаемого гиперупругого материала и расчет зависимости силы от удлинения в одноосных и двухосных испытаниях.

Как использовать экспериментальные данные испытаний для изучения сжатия

На рисунке ниже схематично изображены одноосные и равномерные двухосные испытания на сжатие и растяжение. В этой статье мы не рассказываем, как проводить такие испытания, но предполагаем, что такие экспериментальные данные имеются в вашем распоряжении.

Иллюстрация одноосных и равномерных двухосных испытаний на сжатие и растяжение.

В предыдущей статье, рассказывающей о подборе данных для моделей механики конструкций, мы упомянули, что для корректного описания деформаций материала важно располагать данными и о одноосных, и о двухосных испытаниях. Если у вас есть только данные одноосных испытаний, модели деформации с многомерными напряженными состояниями будут неточными.

На графике ниже показаны экспериментальные данные о зависимости силы от удлинения \lambda в одноосных и равномерных двухосных испытаниях пеноматериала. Значение \lambda больше единицы означает растяжение, а значение \lambda меньше единицы — сжатие.

Одномерный график, сравнивающий экспериментальные данные одноосных и равномерных двухосных испытаний.
Экспериментальные данные о зависимости силы от удлинения в одноосных и двухосных испытаниях.

Модель Сторокеша для гиперупругого материала

Для моделирования пены с высокой сжимаемостью часто используется модель Сторокеша. Функция плотности энергии деформации в модели Сторокеша записывается как

(1)

W_s = \sum_{k=1}^{N} \frac{2\mu_k}{\alpha_k^2}\left(\lambda_1^{\alpha_k}+\lambda_2^{\alpha_k}+\lambda_3^{\alpha_k}-3+\frac{1}{\beta_k}\left(J_{el}^{-\alpha_k\beta_k-1}\right)\right)

где \lambda_1, \lambda_2 и \lambda_3 — главные удлинения, J_{el} — отношение деформированного и недеформированного объемов, \alpha_k, \mu_k и \beta_k — параметры модели Сторокеша.

При моделировании гиперупругого материала свойства материалов должны быть известны. Эти параметры можно извлечь из данных испытаний, подобрав параметры в аналитических выражениях, описывающих зависимость силы от удлинения. Этот общий подход мы подробно обсуждали в статье о подборе параметров моделей гиперупругих материалов для описания экспериментальных данных. В отличие от предыдущей статьи, в которой мы исследовали модели несжимаемых материалов, здесь мы рассматриваем аналитические выражения для сжимаемых материалов. Давайте посмотрим на зависимость силы от удлинения для одноосных и равномерных двухосных испытаний в модели Сторокеша.

Одноосные испытания

Используя обозначения на схеме одноосного испытания выше, предположим, что пеноматериал, который мы исследуем, подвергается одноосной нагрузке в главном направлении 2. Предполагая, что происходят только упругие деформации, мы можем записать главные удлинения для одноосной деформации изотропного гиперупругого материала как

\lambda_1 = \lambda_3,\;\; \lambda_2 = \lambda\;\;\text{and}\;\; J = J_{el} = \lambda_1^2\lambda

Для одноосных испытаний главные напряжения Коши в главных направлениях 1 и 3 равны \sigma_1 = \sigma_3 = 0. Для сжимаемого изотропного гиперупругого материала соотношение между главным напряжением Коши и главным удлинением задается уравнением

(2)

\sigma_i = J^{-1}\lambda_i\frac{\partial W_s}{\partial \lambda_i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 1,2,3

.

Это соотношение является следствием второго закона термодинамики и спектрального представления напряжения через главные удлинения. Из второго закона термодинамики следует, что S = 2\frac{\partial W_s}{\partial C}, где S — второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа, а C — правый тензор деформации Коши — Грина. Спектральное представление тензора S = \sum_{} _{a=1}^{a=3} \frac{1}{\lambda_a}\frac{\partial W_s}{\partial \lambda_a} \bf{\hat{N}_a} \otimes \bf{\hat{N}_a}, где за \bf{\hat{N}}_a обозначены главные направления. Учитывая, что напряжение Коши равно \sigma = J^{-1}FSF^T, а спектральное представление тензора градиента деформации F выглядит как \sum_{} _{a=1}^{3} \lambda_a\;\bf{\hat{n}}_a \otimes \bf{\hat{N}}_a (здесь за \bf{\hat{n}}_a обозначены главные направления), мы можем записать \sigma = \sum_{} _{a=1}^{3} J^{-1}\lambda_a\frac{\partial W_s}{\partial \lambda_a}\; \bf{\hat{n}}_a \otimes \bf{\hat{n}}_a = \sum_{} _{a=1}^{3} \sigma_a\; \bf{\hat{n}}_a \otimes \bf{\hat{n}}_a, где \sigma_a — главные напряжения Коши. (Подробности о разных мерах напряжения и их направлениях вы можете узнать здесь.) Подставляя выражение для W_s из уравнения 1 в выражение для \sigma_1, мы получаем

\sigma_1 = J^{-1}\lambda_1\sum_{k=1}^N\frac{2 \mu_k}{\alpha_k^2}\left(\alpha_k\lambda_1^{\alpha_k-1}-\alpha_k J ^{-\alpha_k\beta_k-1}\frac{\partial J}{\partial \lambda_1}\right)

Однако, также известно, что \partial J/\partial F = J F^{-\text{T}}, где J = \text{det}(F), а F — тензор градиента деформации. Это соотношение следует из тензорного исчисления. Переписывая выражение через главные напряжения, мы получаем \partial J / \partial \lambda_i = J \lambda_i^{-1}. Подставляя эту взаимосвязь в уравнение выше и приравнивая \sigma_1 к нулю, мы получаем

(3)

\lambda_1 = \lambda^{-\beta/\left(1+2\beta\right)}\;\;\text{и}\;\;J = \lambda^{1/\left(1+2\beta\right)}

причем уравнение выше выполняется для каждого \beta = \beta_k.

Одноосная нагрузка дается выражением

(4)

F_{uniaxial} = l_1l_3\sigma_2=\lambda_1^2l_{10}l_{30}\sigma_2

где l_{1},l_{3} — измерения пластинки вдоль главных направлений после деформации, а l_{10},l_{30} — измерения до деформации. Используя уравнения 2, 3 и 4, мы можем переписать одноосную нагрузку в виде

(5)

F_{uniaxial} = l_{10}l_{30}\sum_{k=1}^{N}\frac{2\mu_k}{\alpha_k}\left(1-\lambda^{-\alpha_k\frac{ \left(1+3\beta_k\right)}{\left(1+2\beta_k\right)}}\right)\lambda^{\alpha_k-1}

Равномерные двухосные испытания

Предположим, что пеноматериал подвергается равномерным двухосным нагрузкам в главных направлениях 1 и 2, причем происходят только упругие деформации. Для равномерной двухосной деформации изотропного гиперупругого материала главные удлинения равны

\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda,\;\;\; \lambda_3 = J\lambda^{-2}

Для равномерных двухосных испытаний главное напряжение Коши \sigma_3 = 0. Используя уравнение 2, мы получаем

(6)

\lambda_3 = \lambda^{(-2\beta)/(1+\beta)}\;\;\;\text{и}\;\;\;J = \lambda^{2/(1+\beta)}

причем уравнение выше выполняется для каждого \beta = \beta_k.

Равномерная двухосная нагрузка F_{equibiaxial} дается выражением

(7)

F_{equibiaxial} = l_{20}l_{30}\left(\lambda_2\lambda_3\right)\sigma_1

Используя уравнения 2, 6 и 7, мы получаем

(8)

F_{equibiaxial} = l_{20}l_{30}\sum_{k=1}^N\frac{2\mu_k}{\alpha_k}\left(1-\lambda^{-\alpha_k\frac{(1+3\beta_k)}{(1+\beta_k)}}\right)\lambda^{\alpha_k-1}

Как вычислить параметры в модели Сторокеша с интерфейсом Optimization

Используя интерфейс Optimization (Оптимизация) в программном пакете COMSOL Multiphysics®, мы подбираем кривую, соответствующую аналитическим выражениям в уравнениях 5 и 8 для N = 2, под экспериментальные данные зависимости нагрузки от удлинения. На графике ниже показаны экспериментальные данные и подобранная кривая. Подбору по одноосным и равномерным двухосным испытаниям придавались равные веса.

Одномерный график, сравнивающий экспериментальные данные и подобранную кривую.
Подобранные параметры материала в модели Сторокеша.

Из подобранной кривой мы можем извлечь параметры в модели Сторокеша для исследуемого пеноматериала:

\mu_1 = 4329.6\;Па,\;\mu_2 = 2502.9\;Па,\;\alpha_1 = 19.328,\;\alpha_2 = 11.283,\;\beta_1 = 0.31998\;\text{, и}\;\beta_2 = 0.082473

Модель сжатия сферы из пеноматериала

Теперь, зная параметры для пеноматериала в модели Сторокеша, мы можем напрямую использовать эти значения для моделирования сжатия сферы из пеноматериала. На рисунке ниже показаны настройки модели: полую сферу из пеноматериала прижимают сферическим наконечником малого размера к жесткой цилиндрической пластине. На рисунке справа показано двухмерное осесимметричное представление трехмерной модели.

Настройки модели для изучения сжатия сферы из пеноматериала.
Трехмерное схематичное изображение сжатия пеноматериала (слева) и двухмерная осесимметричная модель в COMSOL Multiphysics (справа).

На снимке экрана ниже показаны настройки модели гиперупругого материала, которые использовались при расчете. Для наконечника и жесткой пластины используется модель линейного упругого материала.

Снимок экрана с настройками узла Hyperelastic Material (Гиперупругий материал) в COMSOL Multiphysics.

Наконечник, пеноматериал и жесткая пластина находятся в контакте, так что между их границами надо задать контактную пару. Используя условие Prescribed Displacement (Предустановленное смещение), мы смещаем наконечник на 11 мм вниз. В результате этого внутренние границы полой сферы смыкаются, происходит самокасание.

Для моделирования самокасания мы задаем вторую контактную пару, в которой указываем внутренние границы полой сферы и как источник, и как приемник: мы не знаем, какие части одной и той же внутренней поверхности соприкоснутся. Опорная жесткая пластина зафиксирована.

Снимок экрана Построителя моделей. Подсвечены узлы Contact Pair (Контактная пара), Hyperelastic Material (Гиперупругий материал) и Contact (Контакт).
Настройки модели гиперупругого материала.

Результаты и комментарии

На трехмерной анимации внизу показано распределение напряжения по Мизесу в сечении тела вращения.

 

Напряжение по Мизесу в сфере из пеноматериала, сжимаемой наконечником. Чтобы вам было понятно, как меняется напряжение в ходе анимации, максимальное значение цветовой шкалы соответствует 10 кПа.

На графике ниже показано контактное давление на границах пеноматериала в конечный момент моделирования.

Модель контактного давления на границах гиперупругого пеноматериала.
График контактного давления в конечный момент моделирования.

Конечно, мы можем моделировать не только сферы из пеноматериала. Зная параметры в модели Сторокеша для заданного диапазона удлинений, мы можем моделировать поведение этого пеноматериала в любых других условиях, если только его деформации соответствуют данным испытаний, по которым мы восстанавливали параметры. Стоит помнить: несмотря на то, что мы получили параметры материала, подбирая кривую под экспериментальные данные испытаний, в модели материала могут возникать проблемы со стабильностью при нарушении критериев стабильности Друкера.

Дальнейшие шаги

Узнайте, как программный пакет COMSOL® может решить ваши задачи механики конструкций:


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Трассировка частиц Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта