Задание различных видов демпфирования в COMSOL Multiphysics®

Henrik Sönnerlind 15/03/2019
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on LinkedIn

В предыдущей статье мы рассказали о разных физических явлениях, вызывающих демпфирование в конструкциях, и показали, как данные эффекты описываются математически. В данном материале мы расскажем о том, как включить учет демпфирования в расчет на основе метода конечных элементов.

Как можно учесть демпфирование в конечно-эементной модели

Описание и учет демпфирования в модели — важная и, зачастую, сложная часть анализа динамики конструкций.

Виброакустический анализ микрозеркала во временной области
Виброакустический анализ МЭМС-микрозеркала с учетом вязких и термических потерь во временной области.

Ниже вы найдете ряд инструкций о том, как можно задавать и учитывать при моделировании методом конечных элементов эффекты демпфирования в программном пакете COMSOL Multiphysics®.

Анализ на собственные частоты

Задачу поиска собственных частот можно решить в COMSOL Multiphysics с учетом и без учета демпфирования. Если в модели определено в любой форме рассеяние энергии, то это будет учитываться в расчета, и собственные частоты получатся комплекснозначными. Это происходит автоматически, и решатель не нужно специально для этого донастраивать.

Таблица собственных частот для модели без демпфирования.

Таблица собственных частот для модели с учетом демпфирования.
Собственные частоты в модели без потерь (вверху) и с учетом демпфирования (внизу).

Чаще всего при наличии демпфирования в системе комплекснозначными оказываются не только собственные частоты, но и собственные моды. Комплексное значение моды колебаний нужно понимать так информацию о фазовом сдвиге между разными точками конструкции, совершающей свободные колебания. В частности, если фаза смещения отличается в двух разных точках, но в этих точках максимумы смещения достигаются в разное время.

В большинстве случаем демпфирование слабо влияет на форму мод и собственные частоты. Но при этом оно включается в анализ на собственные частоты главным образом для того, чтобы оценить, насколько будут ослабляться различные резонансы.

Расчет в частотной области

Если частота возбуждения близка к собственной частоте (например, в полосе ±50%), учет демпфирования очень важен, как видно из кривых резонансных откликов в предыдущей статье. В этом случае нужно уделить внимание выбору подходящих и корректных значений критериев демпфирования. Вблизи резонанса отклик почти полностью зависит от величины демпфирования, так что, например, изменение коэффициента гистерезисных потерь с 0.01 на 0.02 может в итоге привести к увеличению оценочного уровня напряжения в два раза.

Расчет во временной области

При динамических исследованиях во временной области демпфирование обычно слабо влияет на итоговые результаты. Исключения встречаются при моделировании распространения волн или нагрузок, возбуждающих некоторые из резонансных частот конструкции.

С другой стороны, задание демпфирования при анализе во временной области позволяет стабилизировать временную расчетную схему. В конструкциях часто появляются паразитные волны, которые не интересны для основного анализа. Если их не погасить, временной шаг может стать чрезмерно малым. Чтобы погасить паразитные волны, можно добавить в модель потери на высоких частотах.

Анализ спектра откликов (Response Spectrum Analysis)

При проведении анализа спектра отклика демпфирование является частью модельного спектра на входе (design response spectrum), так что его не нужно задавать явно. Для всей конструкции задается общее его значение.

Численные модели демпфирования

Конечно-элементная формулировка

В матричной форме уравнения движения (для решения методом конечных элементов) можно записать в виде

\mathbf M \ddot {\mathbf u} + \mathbf C \dot {\mathbf u} + \mathbf K {\mathbf u} = \mathbf f(t)

где M — матрица масс, C — матрица вязкого демпфирования, K — матрица жесткости, u — вектор смещения, а в правой части стоит вектор приложенных сил f.

Матрицы масс и жесткости рассчитываются на основе данных по геометрии и базовым свойствам материалов: плотности и модуля Юнга. Матрицу демпфирования же можно сформировать разными способами. При этом можно учесть совместный вклад разных механизмов потерь.

Уравнение в частотной области основано на предположении, что возбуждение и отклик являются гармоническими функциями:

\left ( -\omega^2 \mathbf M + i \omega \mathbf C + \mathbf K \right ) \tilde { \mathbf u} = \tilde {\mathbf f}

Здесь векторы смещения и силы являются комплекснозначными.

Демпфирование через коэффициент гистерезисных потерь (Loss Factor Damping)

Задание через коэффициент гистерезисных потерь — это основной подход к описанию демпфирования в материалах в частотной области. Математически он выражается, как уже было показано в предыдущей статье, в комплексном множителе перед жесткостью.

В COMSOL Multiphysics можно задать гистерезисные потери в подузле Damping (Демпфирование) в модели материала. Для узла Linear Elastic Material (Линейный упругий материал) можно даже задать отдельные коэффициенты потерь для разных элементов матрицы.

Задание изотропного коэффициента потерь.

Задание анизотропного коэффициента потерь.

Ввод значений коэффициентов гистерезисных потерь.

В реальности коэффициент гистерезисных потерь часто зависит от частоты, что можно легко учесть, записав его как функцию от встроенной переменной freq. Вы можете использовать в явном виде выражение по типу того, что показано ниже на скриншоте, или просто сослаться на произвольную (заданную в узле Definitions) функцию.

Задание частотно зависимого коэффициента потерь.
Коэффициент гистерезисных потерь с частотной зависимостью.

Чтобы увидеть, как коэффициент гистерезисных потерь входит в итоговую систему уравнений, предположим, что во всей модели используется изотропный единый коэффициент потерь. Тогда матрица демпфирования будет равна

\mathbf C = \dfrac {\eta \mathbf K}

{\omega}

Уравнения движения запишутся в виде

\left ( -\omega^2 \mathbf M + (1+ i \eta) \mathbf K \right ) \tilde { \mathbf u} = \tilde {\mathbf f}

Вязкое демпфирование (Viscous Damping)

В модели через вязкие потери в твердом материале появляются напряжения, пропорциональные скорости деформации. В самом общем случае тензор, связывающий напряжения и скорость деформации, содержит 21 независимый параметр. Так как такое демпфирование сложно описать и измерить, эти значения обычно неизвестны, и чаще всего применяются изотропные модели вязких потерь.

Вязкое демпфирование в интерфейсе Solid Mechanics COMSOL Multiphysics задается на основе двух параметров:

  • Объемная вязкость \eta_b
  • Сдвиговая вязкость \eta_v

Первый описывает демпфирование, пропорциональное изменению объема, а второй — изменению формы.

Тензор вязких напряжений можно записать в виде

\boldsymbol {\sigma}_v = \eta_b \dot \epsilon_v \mathbf I +\eta_v \dot {\boldsymbol \epsilon}_d

где \epsilon_v — объемная деформация, а {\boldsymbol \epsilon}_d — девиаторная часть тензора деформации.

Так как напряжение при вязком демпфировании пропорционально скорости деформации, то оно будет более заметно и выражено на высоких частотах.

Опция Viscous damping также доступна в узле Damping.

Задание вязкого демпфирования.
Задание вязкого демпфирования.

Важно отметить, что такое описание можно использовать для любых типов исследований, в т.ч. для расчетов во временной области.

Рэлеевское демпфирование (Rayleigh Damping)

Рэлеевское демпфирование — простой подход к формированию матрицы демпфирования как линейной комбинации матрицы масс и матрицы жесткости.

\mathbf C = \alpha \mathbf M + \beta \mathbf K

Эта модель демпфирования явно не связана ни с какими физическими механизмами потерь. Первоначально эту модель использовали, т.к. такая получаемая матрица диагонализируется собственными модами задачи без затухания, что позволяет разбить моды на отдельные динамические подзадачи.

Слагаемое с матрицей жесткости (бета-слагаемое) можно интерпретировать как прямо пропорциональное скорости деформации. В частности, чистое бета-демпфирование соответствует модели вязкого здемпфирования с

\eta_b =\beta K
\eta_v =\beta G

где K и G — модуль упругости и модуль сдвига соответственно.

Бета-демпфирование, как и вязкое, более выраженно на высоких частотах. Коэффициент α отражающей пропорциональность массе, наоборот, описывает потери, которые сильнее проявляются на низких частотах. Это слагаемое влияет на скорость конструкции и в первую очередь демпфирует движение тела как жесткого объекта.

Рэлеевское демпфирование также доступно как опция в подузле Damping в модели материала. Варианты настроек позволяют задать более общую модель, основанную на рэлеевском демпфировании. Чтобы матрица демпфирования была линейной комбинацией матрицы масс и матрицы жесткости во всей конструкции, параметры рэлеевского демпфирования должны быть одинаковы во всех узлах Damping. В противном случае это будет выполняться только на элементном уровне.

Параметры, описывающие рэлеевское демпфирование, можно задать двумя способами: напрямую указать параметры α и β или задать относительные коэффициенты демпфирования на двух разных частотах.

Задание рэлеевского демпфирования через коэффициенты α и β.
Задание рэлеевского демпфирования через относительные коэффициенты демпфирования на двух различных частотах.

Задание рэлеевского демпфирования в подузле Damping в модели материала.

Модели материалов с учетом диссипации

В некоторые модели материала уже заложен учет рассеяния энергии. В рассматриваемом контексте, самый интересный случай — модель вязкоупругости. Если вы используете вязкоупругие модели материалов, то в результате получите значительное демпфирование в системе. При этом узел Damping обычно уже не используют на областях с вязкоупругими материалами.

Настройка вязкоупругой модели материала.
Выбор вязкоупругой модели материала.

Термоупругое демпфирование

Термоупругое демпфирование можно непосредственно учесть в расчетной модели, активировав соответствующую настройку в мультифизической связи Thermal Expansion (Тепловое расширение).

Активация учета термоупругого демпфирования для исследования, сочетающего тепловой и механический анализ конструкции.
Активация учета термоупругого демпфирования для исследования, сочетающего тепловой и механический анализ конструкции.

При включении учета термоупругого демпфирования в уравнение сохранения энергии добавляется источник, пропорциональный скорости изменения деформации:

Q=-T \dot{\boldsymbol \sigma}: \boldsymbol \alpha

Здесь T — температура, \boldsymbol \sigma — тензор напряжений, а \boldsymbol \alpha — коэффициент тензора теплового расширения.

Модальное демпфирование

Линейные задачи динамики конструкций можно эффективно решать методом суперпозиции мод. А если вы пользуетесь методом суперпозиции мод для систем с демпфированием, обратите внимание на некоторые детали.

Начальный анализ на собственные частоты следует проводить для системы без потерь, а демпфирование включать лишь на этапе суперпозиции мод. Наиболее эффективно реализовать это можно через раздел Physics and Variables Selection (Выбор физических интерфейсов и переменных) в настройках каждого шага исследования.

Настройка шага исследования с расчетом на собственные частоты.
Настройка второго шага исследования, на котором проводится суперпозиция мод.

Настройки шага исследования для расчета собственных частот (слева) и следующего за ним шага суперпозиции мод (справа).

На шаге суперпозиции мод можно использовать все виды моделей демпфирования. Вас это может не удивить, но это связано с тем, что собственные моды в модальных решателях COMSOL Multiphysics не предполагаются независимыми. Это означает, что, по сравнению с другими реализациями метода суперпозиции мод, реализация в COMSOL Multiphysics позволяет решать более широкий диапазон задач с демпфированием.

Вы можете не только указывать физические механизмы потерь, но и задавать модальный коэффициент демпфирования для каждой собственной моды. Задание модальных коэффициентов может вам пригодиться, если вы знаете из собственно опыта, что некоторые моды затухают быстрее других. Так происходит, если на моды разных форм действуют разные физические эффекты. Модальное демпфирование задается напрямую в настройках модального решателя.

Задание модального демпфирования в настройках решателя.
Задание модального демпфирования.

Модальное демпфирование суммируется со всеми остальными заданными механизмами потерь.

Граничные условия на бесконечности

Для моделирования потерь на излучение звука или анкерных потерь важно задать на внешних границах неотражающие условия. Для этого в COMSOL Multiphysics есть несколько инструментов, и их использование и выбор зависит от задействованных физических интерфейсов и типа исследований.

В частотной области данной цели можно использовать идеально согласованные слои PML. PML, доступные в разных физических интерфейсах, эффективно поглощают исходящие волны так, что интенсивность отраженной волны очень мала. Как результат в системе появляется демпфирование, так как энергия системы теряется.

PML состоит из нескольких слоев элементов на внешней границе расчетной области.

Задание PML.
Задание области с идеально согласованными слоями PML.

В интерфейсе Solid Mechanics вы также найдете особое граничное условие под названием Low-Reflecting Boundary (Слабо отражающая граница). Как и идеально согласованные слои, такое граничное условие позволяет избавиться от отражений. При касательном (и близком к нему) падении исходящих волн граничное условие Low-Reflecting Boundary не настолько эффективно, как идеально согласованные слои, но у него есть два преимущества.

  • Его можно использовать для исследований во временной области
  • Для задания граничного условия не нужно накладывать сетку на дополнительные области вдоль границы расчетного домена

Настройки ГУ Low-Reflecting Boundary.
Граничное условие Low-Reflecting Boundary.

Альтернативный вариант моделирования волн, уходящих на бесконечность в флюиде — это использование формулировки на основе метода граничных элементов для расчета акустических волн.

Трение между поверхностями

Если заметная часть демпфирования обусловлена трением, то вам придется часто использовать различные инженерные оценки и приближения. Принципиально задача моделирования полного контакта, включая силу трения, с зависимостью от времени, конечно, решаема. К сожалению, в большинстве случаев такое решение потребует нецелесообразно много вычислительных ресурсов.

Вместо этого вы можете заменить область контакта на тонкий упругий слой, для которого нужно будет задать вязкое демпфирование или коэффициент гистерезисных потерь. Вопрос в том, как оценить жесткость на сдвиг и соответствующий коэффициент потерь. В общем случае оптимальный метод для оценки этих параметров — открытая исследовательская задача. Возможно, вам понадобится провести предварительный детальный анализ соединения, чтобы изучить его свойства.

Другие варианты задания демпфирования

Помимо рассмотренных вариантов есть и другие инструменты, с помощью которых вы можете опредленить/описать демпфирование в своей модели. Например за счет следующих условий:

  • Условие Spring Foundation (Пружинное основание)
  • Условие Thin Elastic Layer (Тонкий упругий слой)
  • Условие Spring-Damper (Пружинный демпфер)
  • Соединения и зубчатые передачи в интерфейсе Multibody Dynamics (Многотельная динамика)
  • Элементы Damper (Демпфер) и Impedance (Импеданс) в интерфейсе Lumped Mechanical System (Сосредоточенные механические системы)
  • Подшипники в интерфейсах Rotordynamics (Роторная динамика) и Multibody Dynamics (Многотельная динамика)
  • Любая приложенная нагрузка, в которой задана зависимость от скорости
  • Комплексные значения параметров материала

Заключение

Учет демпфирования в задачах динамики конструкций — важная и нетривиальная составная часть работы над моделью, и COMSOL Multiphysics предоставляет вам широкий спектр инструментов для его описания и задания. Однако это не отменяет того факта, что предельно важно задание верных данных для всех материалов и компонентов, что часто может быть достаточно сложной задачей.

Дальнейшие шаги

Узнайте больше о модуле расширения Механика Коснтрукций, который содержит различные специализированные инструменты для описания демпфирования.


Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги

3D печать Cерия "Гибридное моделирование" Введение в среду разработки приложений Видео Волновые электромагнитные процессы Глазами пользователя Графен Интернет вещей Кластеры Моделирование высокочастотных электромагнитных явлений на различных пространственных масштабах Модуль AC/DC Модуль MEMS Модуль Акустика Модуль Волновая оптика Модуль Вычислительная гидродинамика Модуль Геометрическая оптика Модуль Динамика многих тел Модуль Композитные материалы Модуль Коррозия Модуль Механика конструкций Модуль Миксер Модуль Нелинейные конструкционные материалы Модуль Оптимизация Модуль Плазма Модуль Полупроводники Модуль Радиочастоты Модуль Роторная динамика Модуль Теплопередача Модуль Течение в трубопроводах Модуль Трассировка частиц Модуль Химические реакции Модуль Электрохимия Модуль аккумуляторов и топливных элементов Охлаждение испарением Пищевые технологии Рубрика Решатели Серия "Геотермальная энергия" Серия "Конструкционные материалы" Серия "Электрические машины" Серия “Моделирование зубчатых передач” Сертифицированные консультанты Технический контент Указания по применению физика спорта