Частотный отклик механических систем

05/06/2019

В продолжение статьи нашего корпоративного блога о демпфировании механических колебаний мы подробно расскажем про анализ гармонического отклика механических систем при учете демпфирования. Мы также продемонстрируем различные способы определения и анализа частотного отклика в программном пакете COMSOL Multiphysics®.

Что такое частотный отклик?

В общем смысле, частотный отклик системы показывает реакцию системы (в части некоторых свойств) на воздействие как функцию от частоты возбуждения. В контексте моделирования в COMSOL Multiphysics под частотным откликом, как правило, подразумевается линейный (или линеаризованный) отклик на гармоническое возбуждение. Для построения графика кривой частотного отклика необходимо провести частотный анализ для заданного набора частот (исследование в частотной области). В общем случае на такой кривой будут визуализированы различимые пики, положение которых определяется собственными резонансными частотами системы.

Типовой частотный отклик.
Типовая кривая частотного отклика. В построенном диапазоне отлично идентифицируются две собственные резонансные частоты: 13 и 31 Гц.

Еще раз о системе с одной степенью свободы

Различные аспекты динамики системы с одной степенью свободы и вязким демпфированием были рассмотрены в предыдущем блогпосте.

В частности мы определили что значение собственной частоты при учете демпфирования определяется как

\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2} \approx \omega_0 \left ( 1 – \frac{\zeta^2} {2} \right )

Это частота, при которой система, выведенная из деформированного состояния и не подверженная другому внешнему возбуждению, будет колебаться с затухающей амплитудой.

Возникает логичный вопрос: "При какой частоте возбуждения амплитуда отклика будет максимальной?" Можно предположить, что это значение должно быть равно собственной частоте колебаний демпфированной системы, но как мы покажем далее, это не так.

Система с одной степенью свободы.
Система с одной степенью свободы.

Поскольку мы имеем дело с гармоническим движением, удобно использовать комплексную систему обозначений, исключая общий гармонический множитель e^{i \omega t}.

Тогда уравнение движения можно записать как:

\left (-\omega^2m +ic\omega +k \right) u = f

Фазовый угол нагрузки f можно использовать в качестве референсного, чтобы значение f было действительным. Для получения нормализованного вида уравнения разделим его на жесткость k:

\left (1-\left (\frac{\omega}{\omega_0} \right) ^2 +2i\zeta \left (\frac{\omega}{\omega_0} \right) \right) u = \frac{f}{k}

Теперь правая часть в точности выражает статическое смещение. Следовательно, отношение динамического решения к статическому выглядит следующим образом:

\displaystyle H(\omega) = \left (1-\left (\frac{\omega}{\omega_0} \right) ^2 +2i\zeta \left (\frac{\omega}{ \omega_0} \right) \right)^{-1} =\frac{1}{1-\beta ^2 +2i\zeta \beta}

Функцию H иногда называют передаточной функцией.

Здесь β обозначает отношение частоты возбуждения к собственной частоте недемпфированных колебаний. Амплитуда передаточной функции выражается как

\displaystyle \left | \frac{1}{1-\beta ^2 +2i\zeta \beta} \right | = \frac{1}{\sqrt {(1\beta ^2)^2 +4\zeta^2 \beta^2}}

Эта функция показана на графике ниже.

Величина передаточной функции для частотного отклика механических систем.

Простыми математическими операциями частоту, при которой амплитуда становится максимальной, можно определить, вычислив минимальное значение знаменателя (в квадрате) {(1-\beta ^2)^2 +4\zeta^2 \beta^2}.

В результате получаем

\beta = \sqrt{1-2 \zeta^2}

Следовательно, частота возбуждения, обеспечивающая максимальный отклик, составляет

\omega_{\mathrm {max}} = \omega_0\sqrt{1-2\zeta^2} \approx \omega_0 \left ( 1 – \zeta^2 \right )

т.е. меньше, чем собственная частота колебаний демпфированной системы.

Фактически сдвиг по частоте получается в два раза больше. Может показаться парадоксальным то, что частота возбуждения, вызывающая максимальное усиление колебаний, не совпадает с частотой свободных колебаний. Это можно объяснить фазовым сдвигом между силой и смещением, который обусловлен демпфированием. Без демпфирования нагрузка и смещение синфазны ниже собственной частоты и сдвинуты на 180° по фазе выше собственной частоты (с быстрым переходом в её окрестности). Демпфирование обеспечивает более плавный переход фазового сдвига (см. график ниже). Вне зависимости от уровня демпфирования, фазовый сдвиг на собственной частоте колебаний недемпфированной системы всегда составляет 90°.

График зависимости фазового сдвига смещения от частоты.
Зависимость фазового сдвига смещения как функция от частоты.

Несовпадение по фазе силы и смещения при демпфировании, оказывает влияние на процесс передачи энергии этой силой системе.

Описание демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь

Повторим анализ для системы с одной степенью свободы с гистерезисными потерями. В данном случае применяется следующее уравнение движения:

\left (-\omega^2m +k(1+i\eta ) \right) u = f

и собственную частоту колебаний демпфированной системы можно выразить как

\displaystyle \omega_d = \omega_0 \sqrt {\left( \frac{1}{2}
\left( 1 + \sqrt{1+\eta^2} \right ) \right ) } \approx \omega_0 \left (1 + \frac{\eta^2} {8} \right )

Это может удивить, но в данном случае при учете демпфирования собственная частота не уменьшается, а возрастает. Это можно объяснить тем, что представление демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь в данной модели также повышает жесткость. Абсолютное значение комплекснозначной жесткости составляет

|\tilde k| = k \sqrt {1 + \eta^2} \approx k \left ( 1+ \frac{\eta^2}{2} \right )

С таким представлением демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь передаточная функция выглядит следующим образом:

\displaystyle \frac{1}{1-\beta ^2 +i\eta }

а ее амплитуда составляет

\displaystyle \left | \frac{1}{1-\beta ^2 +i\eta} \right | = \frac{1}{\sqrt {(1-\beta ^2)^2 +\eta^2}}

Сразу же очевидно, что максимальная амплитуда возникает при β = 1, а именно при собственной частоте колебаний системы без демпфирования. Опять же, максимальное усиление колебаний происходит на меньшей частоте, чем собственная частота колебаний демпфированной системы.

Альтернативное представление демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь, упомянутое в предыдущей статье, примечательно тем, что абсолютная величина комплекснозначной жесткости не зависит от степени демпфирования. Это можно получить, используя определение для нормализации комплекснозначной жесткости, с помощью которой можно описать простое вращение в комплексной плоскости:

\tilde k = \displaystyle \frac{k(1+i \eta)}{\sqrt{1+ \eta^2}}

Такая формула означает, что собственная частота с демпфированием уменьшается:

\displaystyle \omega_d = \omega_0 \sqrt { \frac {\frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{1+\eta^2} \right )}{1+ \eta^2} } \approx \omega_0 \left (1 – \frac{3\eta^2}{8}
\right )

Анализ, в результате которого можно получить соответствующее снижение частоты возбуждения, которое также меньше собственной частоты колебаний демпфированной системы, в данной статье не приведен.

Фазовый сдвиг между возбуждением и откликом при описании демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь особенно интересен, поскольку он наблюдается даже при очень низких частотах возбуждения. Его асимптотическое значение — arctan(η).

График фазового сдвига смещения при задании демпфирования через коэффициент гистерезисных потерь.
Зависимость фазового сдвига смещения от частоты в случае введения демпфирования в систему через коэффициент гистерезисных потерь. Низкочастотные асимптоты обозначены пунктирными линиями.

Замечание о трении

В случае сопряжения эффекта демпфирования с эффектом трения между двумя поверхностями, отклик на гармоническое воздействие уже не будет являться гармоническим, ввиду наличия нелинейности в системе. При этом отклик может быть периодическим, но ангармоническим. Такие задачи уже невозможно решить с помощью методов анализа в частотной области, в которых предполагается линейность отношения внешнего воздействия и результата этого воздействия.

Моделирование частотного отклика в COMSOL Multiphysics®

Настройка исследования

После добавления физического интерфейса из группы Механика Конструкций в Мастере создания моделей становится доступно для выбора несколько типов исследования, четыре из которых можно использовать для вычисления частотного отклика:

  1. Frequency Domain
  2. Frequency Domain, Prestressed
  3. Frequency Domain, Modal
  4. Frequency Domain, Prestressed, Modal

Доступные типы исследования для интерфейса Solid Mechanics в COMSOL Multiphysics®.
Доступные типы исследования для интерфейса Solid Mechanics.

Два исследования из указанных выше реализуют прямое решение, а в двух других используется техника модальной суперпозиции. При использовании исследований группы Prestressed можно учитывать изменение жесткости конструкции, обусловленное стационарной предварительной нагрузкой. Методика суперпозиции мод идеально подходит для расчетов в частотной области, поскольку при этом реализуется простой выбор подходящих мод собственных колебаний на основе заданных частот.

В любом случае частотный анализ выполняется при условии, что в настройках исследования указаны значения частот, для которых требуется вычислить отклик. Зачастую бывает эффективно сгустить частотные точки около собственных частот конструкции (для получения лучшего разрешения).

Ввод значений расчетных частот для проведения частотного анализа.
Ввод частот для проведения частотного анализа.

Обратите внимание на то, что без демпфирования отклик на собственной резонансной частоте стремится к бесконечности. Другими словами, невозможно решить задачу о частотном отклике без демпфирования на частоте равной собственной или близкой к ней. Численный результат при этом будет представлять собой вырожденную или, по крайней мере, плохообусловленную системную матрицу.

Гармоническое возмущение или нет?

В узле Stationary(Стационарный) в последовательности решателя для исследования в частотной области имеется достаточно важная настройка: Linearity (Линейность).

Список для опции Linearity в настройках стационарного солвера.
Опции задания настройки Linearity.

В принципе, любой анализ в частотной области можно рассматривать как небольшое возмущение, так что использование опции Linear perturbation (Линейное возмущение) не будет ошибочным. Однако, в наиболее распространенном случае колебания происходят относительно нулевого положения. При этом не так важно, рассматривается ли задача как Linear (линейная) или Linear Perturbation (Линейное гармоническое возмущение). Но свойство линейности всегда фундаментально меняет характер интерпретации нагрузок. Нагрузку можно пометить как Harmonic Perturbation (Гармоническое возмущение). Такая нагрузка будет учитываться, только если для опции Linearity задано значение Linear perturbation. Все нагрузки, не имеющие пометку Harmonic Perturbation, в ходе такого исследования будут проигнорированы. И наоборот, если в Linearity не задано значение Linear perturbation, то все нагрузки с пометкой Harmonic Perturbation (Гармоническое возмущение) не будут учитываться, а все остальные рассматриваются как гармонические.


Нагрузка, заданная на грань и помеченная как Harmonic Perturbation.

Рассматриваемая настройка позволяет разграничить нагрузки, приводящие к предварительным напряжениям, и гармонические возбуждения, воздействующие поверх них.

При добавлении стандартного исследования в Frequency Domain (Исследование в частотной области) по умолчанию в Linearity не ставится вариант с учетом возмущений. Поэтому, в таком случае не следует использовать для нагрузок метку Harmonic Perturbation (пока вы не измените соответствующим образом настройку Linearity). При добавлении исследования в Frequency Domain, Prestressed (Исследование в частотной области с предварительным напряжением) в конфигурации солвера для исследования частотного отклика выставляется опция Linear Perturbation. Если исследование использует технику суперпозиции мод, то оно также всегда будет настроено с опцией Linear Perturbation.

Интерпретация полученных результатов

Результаты расчета в частотной области являются комплекснозначными, а их гармоническое изменение — неявное. Фазовый угол комплекснозначного числа описывает фазовый сдвиг относительно референсной фазы (которая может быть выбрана произвольно, но зачастую принимается как фаза основной нагрузки). При этом также можно судить о фазовом сдвиге величины в разных точках конструкции. Следует помнить о том, что поскольку компоненты смещения в пределах одного конечного элемента могут иметь разные фазовые углы, весьма вероятно, что компоненты тензора напряжений не совпадают по фазе. Это может иметь значение, например, для анализа усталостных характеристик.

Во многих случаях, например, при цветовой визуализации на графике, можно отображать только вещественные числа. Для представления результатов действует следующее правило: если вы используете комплекснозначную переменную v в контексте, где на выходе ожидается вещественное значение, используется её действительная часть: \displaystyle v = \Re(\tilde v e^{i \phi})

Фазовый угол Φ представляет собой свойство, задаваемое в наборе данных исследовании, где его можно изменить.

Изменение фазы в настройках набора данных.
Задание ненулевого фазового угла в наборе данных.

В большинстве случаев при проведении расчета в частотной области требуется установить зависимость амплитуды искомой величины v от частоты. Это означает, что анализировать следует не саму величину v, а её модуль abs(v). Их отличия показаны на следующем рисунке.

Частотный отклик механической системы.
Пример графика частотного отклика. Обратите внимание на то, что график для "u" идентичен графику для "real(u)".

Для более детального анализ можно добавить на график мнимую часть и аргумент результирующей величины:

Частотный отклик механической системы.
Пример графика частотного отклика с отображением фазы.

Для низких частот действительная часть близка к абсолютной величине. Вблизи собственной частоты мнимая часть, наоборот, вносит свой основной вклад. Это означает, что отклик не синфазен с возбуждающей нагрузкой.

А теперь посмотрим, что произойдет, если значение фазового угла в наборе данных будет изменено на 45°.

График частотного отклика при задании фазового угла 45° в наборе данных.
Частотный отклик при задании величины 45° для фазового угла в наборе данных.

Как и ожидалось, график амплитуды остается неизменным. При этом графики действительной и мнимой частей меняются, а кривая фазы сдвигается вверх на π/4. На самом деле, такой же график получился бы при добавлении фазового угла 45° к нагрузке.

Задание фазового угла в нагрузке в COMSOL Multiphysics®.
Задание сдвига по фазе в нагрузке.

Вместо ввода фазового угла можно эквивалентным образом указать нагрузку напрямую, используя комплексный формализм:

Комплексное представление нагрузки.
Комплексное представление нагрузки, аналогичное варианту на изображении выше.

Возможность задать фазовый угол определенно очень важна для случая, когда нагрузки не совпадают по фазе. Например, вращающуюся несбалансированную массу можно описать традиционным способом, указав для нагрузки по оси y фазовый сдвиг на 90° относительно нагрузки по оси x.

Результаты исследования при учете гармонических возмущений

При использовании исследования, в котором учитываются гармонические возмущения (на фоне стационарной нагрузки), будет сформировано два набора результатов: решение для предварительного напряжения и решение для гармонического возмущения. В данном случае при настройке графиков или операций вычисления появится дополнительная настройка: Expression evaluated for.

Выбор типа расчета величины, полученной в исследовании при учете гармонических возмущений.
Выбор способа расчета величины в рамках исследования, в котором учитываются гармонические возмущения.

Здесь можно выбрать для какого решения нужно вывести/рассчитать величину: для решения с расчетом гармонических возмущений, для решения с расчетом предварительного напряжения или для их сочетания. В случае выбора решения с расчетом гармонических возмущений также будет доступна еще одна дополнительная опция: чекбокс Compute differential.

Выбор опции Compute differential.
Активация чекбокса Compute differential.

Последняя настройка влияет на обработку нелинейных выражений. Если чекбокс Compute differential не активирован, нелинейная величина принимается равной фактическому значению. Например, в выражении u^2 переменная u из решения для возмущения просто возводится в квадрат. Поскольку переменная u в общем случае является комплекснозначной, данная операция бессмысленна.

Если активирована опция Compute differential, то нелинейная величина будет линеаризована относительно состояния предварительного напряжения. Выражение u^2 будет рассчитано как 2*u0*u, где u0 — значение в точке линеаризации.

Преобразование данных из частотной во временную область

В некоторых ситуациях может потребоваться непосредственно визуализировать гармонический отклик, полученный в рамках расчета в частотной области, как функцию от времени. В частности, это может быть полезно при наличии нескольких возбуждающих нагрузок с разными частотами.

График отклика на возбуждение двумя нагрузками с двумя разными частотами.
Отклик на возбуждение от двух нагрузок с разными частотами.

Провести конвертацию данных из частотной области во временную можно возможно посредством шага исследования Frequency to Time FFT (Быстрое преобразование Фурье из частотной области во временную область).

Последовательность шагов исследования для конвертации результатов из частотной области во временную.
Последовательность исследований для перевода результатов из частотной области во временную.

Этот метод используется в следующих учебных моделях:

Заключение

Расчет в частотной области представляет собой мощное средство для анализа линейных систем, подверженных воздействию гармонического возбуждения. На самом деле, можно свести к исследованию в частотной области любую задачу с периодической формой возбуждающего сигнала нагрузки за счет конвертации его с использованием преобразования Фурье.

В Галерее приложений доступно множество примеров анализа частотного отклика механических систем, например:


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ