Существуют ли "Напряжение" и "Заземление"?

Есть несколько вещей, которые я изучал на занятиях по электротехнике в университете, но в действительности хотел бы, чтобы их преподавали и объясняли немного по-другому. Понятия "Напряжения" (Voltage) и "Заземления" (Ground) попадают в эту категорию, т.к. часто используются не совсем правильно. В данной заметке мы дадим им точное определение, а также поговорим о некоторых интересных случаях их использования в контексте вычислительной электродинамики и построения корректных расчётных моделей.

Хрестоматийный пример

Давайте начнем с рассмотрения одного из базовых и классических электрических устройств: аккумулятора. В простейшем случае аккумуляторную батарею можно изготовить, вставив два провода в апельсин. Мы можем использовать "батарейку" для питания другого электрического устройства, например фонарика. Одним из первых навыков, которому нас учили на занятиях по электротехнике, являлось составление принципиальной электрической схемы, которая, вероятно, выглядела следующим образом:

Элементарная принципиальная электрическая схема фонарика.

На этом рисунке показано, что у нас есть батарея, один из выводов которой подключен к ключу (переключателю). При замыкании ключа ток будет протекать через лампочку (испускающую свет) и через резисторы обратно к другой клемме аккумулятора. Это устройство работает в условиях постоянного тока (DC-режим). Резисторы представляют собой внутреннее сопротивление батареи и соединительных проводов. Точки, соединяющие эти компоненты, называются узлами схемы.

Упражнение, которое нам, скорее всего, давали в школе, состояло в том, чтобы вычислить ток в цепи, а также "Напряжения" в различных узлах. Но что конкретно подразумевается под "Напряжением" в этом контексте? Напряжение определяется как разница в электрическом потенциале между двумя узлами в цепи, такими как, например, два узла или контакта батареи. Обратите кстати внимание, что мы также нарисовали "Заземление" на одном выводе батареи, и нам также дали определение "Заземления" как: узла, в котором электрический потенциал равен нулю. Итак, если у нас используется батарейка на 9 вольт, то мы теперь знаем электрический потенциал другого терминала/контакта батареи, и мы можем использовать законы Кирхгофа, чтобы вычислить все напряжения других узлов относительно заземленного узла, а также ток в цепи.

И это должно вызвать вопрос: почему мы называем какой-то конкретный узел "Заземлением" (Ground) или "Землей"? Мы рассматриваем эквивалентную схему фонарика, и он (фонарик) будет работать, даже если будет полностью электрически изолирован от чего-либо еще. (Вы можете убедиться в этом, подбросив фонарик в воздух.) Что же это за точка в нашей цепи, которую мы называем "Заземлением"? Обычно это определение – равенство электрического потенциала нулю – совершенно произвольное, но очень удобное с вычислительной точки зрения. На самом деле мы могли бы выбрать любую другую точку в цепи в качестве земли (или даже присвоить ей отличное от нуля значение электрического потенциала), и получить точно такое же решение для тока. Напряжения в узлах будут просто отличаться на некоторую константу. То есть, если у нас получено решение для электрических потенциалов всех узлов цепи в виде \mathbf{V} = \{V_1, V_2, V_3, V_4\}, то теоретически мы можем добавить любые постоянные \mathbf{V} = \{V_1+c, V_2+c, V_3+c, V_4+c\} и все равно получить математически верное решение.

Однако, здесь есть один важный нюанс. Мы обычно решаем такую задачу на компьютере, а компьютеры работают с арифметикой конечной точности, поэтому нам бы не хотелось добавлять до безобразия большие константы порядка 10^{16} \approx 1/\epsilon, где \epsilon – это "машинный ноль", т.е. относительная погрешность для числа двойной точности с плавающей запятой. В противном случае численные алгоритмы и методы потеряют свою устойчивость и стабильность. Таким образом, задание потенциала в одном произвольном узле модели (его "заземление"), не только удобно с педагогической точки зрения, но и является хорошей практикой численного моделирования.

При расчёте электрических токов в наборе пространственных доменов с использованием метода конечных элементов мало что меняется. Метод конечных элементов можно рассматривать как пространственно распределенную форму закона Кирхгофа. То есть, конечно-элементная модель – это, по сути, просто гораздо более сложная принципиальная схема, и для её численного решения нам просто нужно "заземлить" произвольную точку в области моделирования.

Постойте! Вы имеете в виду, что "Заземление" является произвольным и используется только для стабилизации численных алгоритмов?

Я уже слышу, как несколько энергетиков скрипят зубами, поскольку термин "Заземление", безусловно, также имеет очень реальную физическую суть. Мы неспроста используем определение "Земля", которое также относится к большому шару материи под нашими ногами, к которому мы, кстати, подключаем заземляющие шины. Мы точно знаем, что это этот шар из себя представляет и что это очень реальный предмет. Но что это значит с точки зрения электрического моделирования?

С электрической т.з. Земля представляет собой очень большую массу проводящего материала и (по крайней мере, для целей данного обсуждения) обладает относительно незначительным сопротивлением. Это приводит нас ко второму определению "Заземления": это область, которая касается нашей модели и в которой, как предполагается, флуктуации электрического потенциала незначительны при протекании тока, по сравнению с распределением потенциала в нашей "основной" модели.

Это новое определение явно отличается от предыдущего, и иногда в литературе встречается определение "Естественное заземление" или "Грунтовое заземление" (Earth ground). Существует также аналогичная концепция "Заземления на шасси" (chassis ground) или "Заземления на корпус" (frame ground), если речь о самолете, летящем в небе, или шасси вашего автомобиля. Даже просто очень большая токопроводящая шина, проходящая через завод, также может быть определена как "Заземление".

Ключевая разница здесь в том, что мы перенесли наше определение "заземления" с одной точки на некоторый объём пространства. Этот объем представляет собой бесконечный источник и приемник тока, т.е. электроны могут втекать или вытекать из этой заземленной области вечно, пока существует разность потенциалов, вызванная аккумуляторной батареей или генератором.

Для целей численного моделирования нам даже не нужно моделировать эту область в принципе; достаточно лишь указать границу, где наша расчётная область соприкасается с заземленной областью. Поскольку мы уже допустили незначительные электрические колебания в этой области, то мы можем обосновать применение равномерного электрического потенциала по всей этой поверхности, а для стабильности численных методов, прокомментированной ранее, нам удобно выбирать нулевое значение электрического потенциала. Теперь мы пришли к определению "Заземления", которое мы можем использовать для моделирования электрических систем в режиме постоянного тока (DC): граница с нулевым электрическим потенциалом, имитирующая область, которая является бесконечным источником или приёмником тока.

В следующей части статьи мы рассмотрим, как такая формулировка повлияет на наш подход к моделированию.

Моделирование напряжения и заземления в COMSOL Multiphysics®

Рассмотрим прямой участок круглого в сечении провода. Будем считать, что один его конец "заземлён", а другой – подключен к источнику.

Модель участка токоведущего провода.

При решении задачи о протекании тока в DC-режиме мы можем использовать следующий набор граничных условий в физическом интерфейсе Electric Currents:

1. Условие Ground
2. Условие Electric Potential
3. Условие Normal Current Density
4. Условие Terminal (доступно только при наличии в лицензии модуля “AC/DC”, “MEMS”, “Полупроводники” или “Плазма”)

Условия Ground и Electric Potential лишь вариации одного и того же. Они фиксируют электрический потенциал по всей поверхности. Условие Ground просто фиксирует электрический потенциал как равный нулю, в то время как вы можете задавать различные его значения с помощью Electric Potential. Всегда держите в уме ранее сформулированное определение: эти границы ограничивают область, которая является бесконечным приёмником (или источником) тока, при этом любая разность электрических потенциалов в этой области незначительна по сравнению с расчётной областью. Если вы хотите описать провода, подключенные к клеммам батареи, то это подходящие граничные условия.

Третья опция – граничное условие Normal Current Density – позволяет задать плотность тока в выбранном сечении. При этом электрический потенциал может и не быть равномерным по всей границе. В модель с условием Normal Current Density, как правило, также добавляют условие Ground, через которое "уходит" весь вводимый ток.

Можно также реализовать корректно-обусловленную конечно-элементную модель, в которой задано два условия Normal Current Density: одно для инжектирования тока, второе для съёма. Пока сумма этих токов в точности равна нулю, решение будет существовать. Чтобы найти это решение, рекомендуется добавить условие Ground в любую произвольную точку по причине, рассмотренной ранее. Но, что интересно, при моделировании в 3D мы фактически можем проигнорировать задание Ground для точки и просто использовать два ГУ Normal Current Density, если в них указана одинаковая по модулю, но разная по знаку плотность тока на заданной сетке конечных элементов. Получившаяся модель будет неоткалиброванной, но в 3D-моделях по умолчанию используется итерационный решатель, который "выберет свою собственную калибровку" и в итоге сойдется, даже если для поля электрического потенциала не задано достаточного количества ограничений. Для получения более подробной информации о калибровке потенциалов (Gauge Fixing) см. предыдущие сообщения в нашем корпоративном блоге: "Что такое калибровка потенциала: теоретические основы" и "Как использовать калибровку потенциалов в COMSOL Multiphysics®?". Это замечание, однако, стоит воспринимать лишь как любопытный факт, который на прямую не относится к обсуждаемой проблеме.

Наконец, отдельно поговорим про условие Terminal. Данное условие имеет несколько опций. Так, оно позволяет явно задать электрический потенциал, и в этом случае оно функционально идентично условию Electric Potential. Также можно указать общий ток в сечении. При задании тока, для условия Terminal решается дополнительное уравнение, которое подбирает электрический потенциал на поверхностях таким образом, чтобы желаемый/заданный суммарный ток втекал или вытекал из модели. Условие Terminal дополнительно автоматически вычисляет сопротивления и другие интересующие сосредоточенные величины, поэтому, если у вас есть модуль "AC/DC" или модуль "MEMS", то использование данного ГУ, как правило, является самым предпочтительным вариантом. В условии Terminal есть ещё несколько опций для подключения к цепи или для указания рассеиваемой мощности или для указания терминального подключения к линии передачи для вычислений S-параметров. Эти более сложные условия рассматриваются в нашей серии лекций по моделированию резистивных и ёмкостных устройств в различных режимах.

Как только вы прорешаете свою модель, вам также захочется извлечь из нее данные. С помощью метода конечных элементов программа вычисляет поля V(\mathbf{x}), на их основе мы можем извлечь данные про электрическое поле, \mathbf{E} = – \nabla V, и плотность тока, \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}, а также про амплитуды (нормы) любого из этих векторных полей. Имейте в виду, что эти поля будут сходиться при сгущении сетки, за исключением случая наличия любых типов сингулярностей в модели, которые можно либо преобразовать, либо проигнорировать.

Наконец, обратите внимание, что вы можете взять линейный интеграл электрического поля между двумя точками модели, и этот интеграл будет равен разнице в электрическом потенциале между этими двумя точками. Поскольку мы имеем дело со скалярным потенциальным полем, этот интеграл не зависит от пути:

Приведенное выше уравнение, которое определяет напряжение как контурный интеграл от электрического поля, не всегда верно при переходе к моделированию изменяющихся во времени электромагнитных полей. Но это уже тема для другого блогпоста, так что следите за обновлениями и анонсами!

Дополнительные материалы

• Вторая часть серии: "Напряжение и заземление при моделировании волновых электромагнитных процессов"
• Статья Учебного центра COMSOL: "Моделирование TEM и квази-TEM линий передач"