Сопряженная теплопередача

Nicolas Huc 06/01/2014
Share this on Facebook Share this on Twitter Share this on Google+ Share this on LinkedIn

В этой статье мы объясним, что такое сопряженная теплопередача, и продемонстрируем несколько примеров. Сопряженной теплопередачей называется теплообмен в твердых телах и жидкостях. В твердых телах основным способом теплопередачи является теплопроводность, а для жидкостей более характерна конвекция. Явление сопряженной теплопередачи проявляется во множестве ситуаций. Например, конструкция радиатора оптимизируется для того, чтобы объединить теплопередачу посредством теплопроводности материала, из которого изготовлен радиатор, и конвекцию окружающей его жидкости.

Теплопередача в твердых телах и жидкостях

Теплопередача в твердом теле

В большинстве случаев теплопередача в твердых телах, вызванная исключительно теплопроводностью материала, описывается законом Фурье, согласно которому плотность теплового потока, q, пропорциональна градиенту температуры: q=-k\nabla T.

Для нестационарной задачи поле температуры в неподвижном твердом теле следует уравнению теплопроводности в следующей форме:

\rho C_{p} \frac{\partial T}{\partial t}=\nabla \cdot (k\nabla T) +Q

Теплопередача в жидкости

Из-за движения жидкости в уравнение добавляются еще три слагаемых:

  1. Перемещение жидкости также предполагает передачу энергии, что проявляется в виде конвекционной составляющей в уравнении теплового баланса. В зависимости от тепловых характеристик жидкости и режимов потока может преобладать теплопередача посредством либо конвекции, либо теплопроводности.
  2. Вязкостные явления в потоке жидкости приводят к ее нагреву. Диссипативным эффектом часто пренебрегают, однако в высокоскоростных потоках вязких жидкостей его влияние может быть существенно.
  3. Поскольку плотность жидкости зависит от температуры, в уравнение теплового баланса добавляется новое слагаемое — работа давления. Примером может служить хорошо известный пример образования тепла при сжатии воздуха.

Учет теплопроводности и слагаемых, описывающих перечисленные механизмы, приводит к следующему нестационарному уравнению теплопроводности для поля температуры в жидкости:

\rho C_{p} \frac{\partial T}{\partial t}+\rho C_p\bold{u}\cdot\nabla T= \alpha_p {T}\left( \frac{\partial p_\mathrm{A}}{\partial t}+\bold{u}\cdot\nabla p_\mathrm{A}\right)+\tau : S+\nabla \cdot (k\nabla T) +Q

Прикладные задачи, связанные с сопряженной теплопередачей

Высокоэффективная теплопередача

Возможность эффективного объединения процессов теплопередачи в твердых телах и жидкостях является ключевой для проектирования высокоэффективных охладителей, нагревателей и теплообменников.

Обычно для передачи теплоты на большие расстояния используются жидкие теплоносители. Самым распространенным способом обеспечения высокой интенсивности теплопередачи является вынужденная конвекция. В некоторых случаях рабочие характеристики подобных устройств становятся еще лучше благодаря сочетанию конвекции и фазовых переходов (например, кипения воды).

Несмотря на это, в теплообменнике также нужны твердые тела, которые разделяют жидкости и позволяют им передавать тепло, но не смешиваться друг с другом.

Flow and temperature field in a shell and tube heat exchanger Сопряженная теплопередача
Поле течения и температуры в кожухотрубном теплообменнике демонстрирует процесс теплопередачи между двумя разделенными тонкой металлической стенкой жидкостями.

Радиаторы обычно изготавливают из металла, обладающего высокой теплопроводностью (например, меди или алюминия). Они рассеивают тепло, увеличивая площадь поверхности теплообмена между твердотельной частью конструкции и окружающей ее жидкостью.

Temperature field in power supply unit Сопряженная теплопередача
Поле температуры в блоке питания. Температура снижается за счет охлаждения воздухом, продуваемым с помощью вентилятора и перфорированной решетки. Два алюминиевых ребра используются для увеличения площади поверхности теплообмена между потоком воздуха и электронными компонентами.

Энергосбережение

Процессы теплообмена в жидкостях и твердых телах также могут быть объединены для сокращения тепловых потерь в различных устройствах. Поскольку большинство газов (особенно при низком давлении) обладают малой теплопроводностью, они могут использоваться для теплоизоляции… если только они не находятся в движении. Чаще всего именно газы выбирают в качестве изоляционного материала из-за их малой плотности. В любом случае важно ограничить теплопередачу посредством конвекции, уменьшая интенсивность свободной конвекции. Продуманное размещение перегородок и небольших полостей позволяет регулировать свободную конвекцию. Применение этих же принципов в микроскопических масштабах приводит к идее теплоизолирующей пены, в которой небольшие воздушные полости (пузырьки) заключены внутри пенистого материала (например, полиуретана), что обеспечивает прекрасные изоляционные характеристики материала и его малый вес.

Window cross section and zoom in Сопряженная теплопередача
Поперечное сечение окна (слева) и увеличенная область оконной рамы (справа).

Window frame temperature profile1 Сопряженная теплопередача
Показатели температуры в оконной раме и поперечном сечении остекления согласно стандарту ISO 10077-2:2012 (тепловые характеристики окон).

Взаимодействие твердых тел и жидкостей

Граница жидкости и твердого тела

Поле температуры и тепловой поток на границе взаимодействия жидкости и твердого тела остаются непрерывными. Однако поле температуры может быстро изменяться в движущейся жидкости: у поверхности твердого тела температуры жидкости и твердого тела близки; чем дальше от границы, тем ближе температура жидкости к температуре на входе или к температуре окружающей среды. Расстояние, на котором температура жидкости изменяется от температуры твердого тела до температуры окружающей среды, называется тепловым пограничным слоем. Относительные размеры теплового и динамического пограничных слоев отражаются в величине числа Прандтля (Pr=C_p \mu/k): для того чтобы оно было равно единице, толщины теплового и динамического пограничных слоев должны совпадать. Более толстый динамический погранслой приводит к тому, что число Прандтля становится больше единицы. Верно и обратное: при числе Прандтля меньше единицы толщина теплового пограничного слоя превышает толщину динамического пограничного слоя. Число Прандтля для воздуха при атмосферном давлении и 20 °C равняется 0,7. Это объясняется тем, что для воздуха размеры динамического и теплового пограничного слоев схожи, при этом толщина динамического погранслоя чуть меньше толщины теплового. Для воды при температуре 20 °C число Прандтля составляет около 7, поэтому в воде изменение температуры рядом со стенкой происходит быстрее, чем изменение скорости.

boundary layers HR2 Сопряженная теплопередача
Нормализованные профили температуры (красный) и скорости (синий) для свободной конвекции воздуха рядом с холодной твердой поверхностью.

Свободная конвекция

Свободная конвекция возникает тогда, когда жидкость приводится в движение силами плавучести. В зависимости от ожидаемых тепловых характеристик естественная конвекция может быть как полезной (например, в случае охлаждения), так и нежелательной (например, свободная конвекция в слое термоизоляции).

Число Рэлея, обозначаемое как Ra, используется для определения режима течения, обусловленного свободной конвекцией и сопутствующей теплопередачей. Число Рэлея определяется теплофизическими свойствами жидкости, характерными размером L и разностью температур \Delta T, обычно задаваемой окружающими твердыми телами:

Ra=\frac{\rho^2g\alpha_p C_p}{\mu k}\Delta T L^3

Число Грасгофа — еще один показатель режима течения, представляющий собой отношение сил плавучести и вязкостных сил.

Gr=\frac{\rho^2g\alpha_p}{\mu^2}\Delta T L^3

Число Рэлея может быть выражено через числа Прандтля и Грасгофа как Ra=Pr Gr.

Когда величина числа Рэлея невелика (обычно <103), явлением свободной конвекции можно пренебречь, так как теплопередача происходит посредством теплопроводности жидкости. Для больших значений числа Рэлея необходимо учитывать теплопередачу посредством конвекции.

Когда силы плавучести значительно выше вязкостных сил, режим потока становится турбулентным, в противном случае поток остается ламинарным. На переход между двумя данными режимами указывает критическое значение числа Грасгофа, величина которого составляет 109. Толщину теплового пограничного слоя можно вычислить приближенно при условии, что известно характерное расстояние перепада температуры между твердой стенкой и объемом жидкости: \delta_\mathrm{T} \approx \frac{L}{\sqrt[4\,]{Ra}}, когда Pr по порядку равно или больше единицы.

Temperature profile natural convection Сопряженная теплопередача
Профиль температуры при свободной конвекции в стакане холодной воды, контактирующем с горячей поверхностью .

Вынужденная конвекция

При вынужденной конвекции поток приводится в движение воздействием внешних сил (например, ветра) или устройств (например, вентиляторов или насосов), которые преобладают над силами плавучести.

В этом случае режим потока может быть охарактеризован, аналогично изотермическому потоку, числом Рейнольдса Re= \frac{\rho U L}{\mu}. Число Рейнольдса представляет отношение инерционных и вязкостных сил. При малых значениях числа Рейнольдса преобладают вязкостные силы, соответственно, поток ламинарный. При высоких значениях числа Рейнольдса силы внутреннего трения в системе невелики, благодаря чему наблюдаются незначительные возмущения. В случае если значение числа Рейнольдса будет достаточно высоким, поток перейдет в турбулентный режим.

Оценить толщину динамического пограничного слоя можно с помощью числа Рейнольдса \delta_\mathrm{M} \approx \frac{L}{\sqrt{Re}}.
Forced convection streamlines and temperature profile around an heat sink Сопряженная теплопередача
Линии тока и профиль температуры вокруг радиатора, охлаждаемого вынужденной конвекцией.

Теплопередача посредством излучения

Теплопередачу посредством излучения можно объединить с описанными выше явлениями теплопроводности и конвекции. В большинстве случаев жидкость прозрачна для теплового излучения, в то время как твердые тела остаются непрозрачными. Соответственно, теплопередача посредством излучения может быть представлена в виде межповерхностного излучения, передающего энергию между твердотельными стенками сквозь прозрачные для излучения полости. Тепловой поток, передаваемый за счет излучения рассеивающей серой поверхности, равен \varepsilon n^2 \sigma T^4. Когда поверхность находится в окружении тел с однородной температурой T_\mathrm{amb}, результирующий тепловой поток равен q_\mathrm{r} = \varepsilon n^2 \sigma (T_\mathrm{amb}^4-T^4). Когда окружающие поверхности имеют различную температуру, теплообмен определяется угловыми коэффициентами.

Несмотря на это, как жидкости, так и твердые тела могут быть прозрачными или полупрозрачными. Таким образом, излучение может возникнуть и в жидкости, и в твердых телах. В активных (или недиатермических) средах излучение взаимодействует со средой (твердым телом или жидкостью), которая поглощает, испускает или рассеивает энергию.

Несмотря на то, что при небольшой разнице температур и малой излучательной способности можно пренебречь теплопередачей посредством излучения, она играет ключевую роль в прикладных задачах со значительными перепадами температур или сильно выраженной излучательной способностью.

Comparison of temperature profiles for a heat sink Сопряженная теплопередача
Сравнение показателей температуры для радиатора с поверхностной излучательной способностью \varepsilon = 0 (слева) и \varepsilon = 0,9 (справа).

Заключение

В большей части практических задач процессы теплопередачи в твердых телах и жидкостях объединены. Причина этого в том, что, как правило, рассматриваемые жидкости обтекают твердые тела или текут между твердых стенок, а твердые тела, в свою очередь, обычно погружены в жидкость. Точное описание режимов теплопередачи, свойств материала, режимов течения и конфигураций геометрии позволяет выполнять анализ полей температуры и процессов теплопередачи. Подобное описание служит также отправной точкой для численного моделирования, которое может использоваться для расчета явлений теплопередачи или для проверки различных конфигураций конструкции для улучшения тепловых характеристик того или иного изделия.

Примечания

C_{p}: теплоемкость при постоянном давлении (единицы СИ: Дж/(кг⋅K))

g: ускорение свободного падения (единицы СИ: м/с2)

Gr: число Грасгофа (безразмерная величина)

k: теплопроводность (единицы СИ: Вт/(м⋅K))

L: характерный размер (единицы СИ: м)

n: показатель преломления (безразмерная величина)

p_\mathrm{A}: абсолютное давление (единицы СИ: Па)

Pr: число Прандтля (безразмерная величина)

q: плотность теплового потока (единицы СИ: Вт/м2)

Q: объемный источник теплоты (единицы СИ: Вт/м3)

Ra: число Рэлея (безразмерная величина)

S: тензор скоростей деформации (единицы СИ: 1/с)

T: поле температуры (единицы СИ: K)

T_\mathrm{amb}: температура окружающей среды (единицы СИ: K)

\bold{u}: поле скорости (единицы СИ: м/с)

U: характерная величина скорости (единицы СИ: м/с)

\alpha_{p}: коэффициент теплового расширения (единицы СИ: 1/K)

\delta_\mathrm{M}: толщина инерционного граничного слоя (единицы СИ: м)

\delta_\mathrm{T}: толщина теплового слоя (единицы СИ: м)

\Delta T: характерная разность температур (единицы СИ: K)

\varepsilon: излучательная способность поверхности (безразмерная величина)

\rho: плотность (единицы СИ: кг/м3)

\sigma: постоянная Стефана — Больцмана (единицы СИ: Вт/(м2⋅К4))

\tau: тензор вязких напряжений (единицы СИ: Н/м2)


Темы публикаций

Загрузка комментариев...

Темы публикаций


Теги