Вычисление и использование частичной индуктивности в COMSOL®

Версия 6.0 программного обеспечения COMSOL Multiphysics® расширяет функциональные возможности интерфейса Magnetic Fields, Currents Only в модуле "AC/DC" для вычисления стационарных и частотно-зависимых матриц индуктивности и сопротивлений в AC-режиме для электрических систем, состоящих из немагнитных материалов. Данные инструменты полезны для анализа печатных плат и систем токопроводящих шин питания. Теперь можно вычислять как полную или общую индуктивность, так и частичную индуктивность. Для правильной интерпретации и корректного использования следует получить некоторое понимание того, что из себя представляет частичная индуктивность. Давайте разбираться!

Определение и вычисление полной и частичной индуктивности

Чтобы разобрать смысл полной и частичной индуктивности, давайте начнем с рассмотрения модели квадратной петли провода, что показано на рисунке ниже. Когда ток течёт по этому замкнутому контуру, в окружающем пространстве возникает магнитное поле. Мы можем определить и вычислить общую индуктивность, L^{tot} (часто называемую просто "индуктивностью"), исходя из общей накопленной магнитной энергии в расчётной области, W_ {m}^{tot}, и тока, протекающего через катушку, I, через следующую формулу: L^{tot} = 2 W_m^{tot} /I^2. Квадратная петля с длиной стороны 2 см из провода диаметром 1 мм обладает общей индуктивностью порядка 50.6 нГ.

Квадратная петля из проволоки, расположенная внутри сферической области с внешними условиями, которые имитируют свободное пространство типа Infinite Element Domain. Для такой системы определена общая или полная индуктивность.

В этой модели используется сферическая область с внешним слоем, в котором задано условие Infinite Element Domain для имитации открытых границ. Общий подход к моделированию такой системы очень похож на приведенную в Галерее моделей и приложений демомодель катушки Гельмгольца. В этом примере используются как интерфейс Magnetic Fields, Currents Only, так и интерфейс Magnetic Fields, и демонстрируется, что обе эти формулировки дают идентичные результаты.

Хотя для указанной постановки можно использовать либо интерфейс Magnetic Fields, Currents Only, либо интерфейс Magnetic Fields, но в общем случае между этими двумя формулировками существует ряд различий. В рамках данной заметки мы сосредоточимся только на трех аспектах, которые уникальны для интерфейса Magnetic Fields, Currents Only:

1. Требуется, чтобы в системе не было магнитных материалов, таких как сердечники или магнитопроводы.
2. Требуется, чтобы все проводники были объёмными.
3. На выходе расчёта доступна не только общая индуктивность, но и матрица частичных индуктивностей.

Наша модель петли из провода круглого сечения с воздушным сердечником явно удовлетворяет первым двум требованиям, поэтому давайте сосредоточимся на третьем пункте: вычислении частичных индуктивностей.

В то время как концепция полной индуктивности всегда требует полного и замкнутого контура тока, концепция частичной индуктивности заключается в разделении общего контура на несколько частей, каждая из которых вносит свой вклад в частичную собственную индуктивность и частичную взаимную индуктивность. Суперпозиция этих вкладов дает общую полную индуктивность исходного замкнутого контура. Как с теоретической, так и с точки зрения моделирования, у нас есть полная свобода в выборе формата разделения, и мы можем сделать все, что наилучшим образом соответствует нашим инженерным целям.

Разделение одного индуктора на 4 части с 4 частичными собственными индуктивностями и 12 частичными взаимными индуктивностями. По соображениям симметрии на схеме указано только 6 из 12 частичных индуктивностей.

В таблице ниже показано несколько различных вариантов проводящего контура. Что касается моделирования, то для каждой из этих областей мы будем использовать отдельный узел Conductor с граничными условиями Terminal и Ground, выбранными и размещенными таким образом, чтобы ток всегда протекал в одном и том же направлении по контуру. Результат, который мы получим, будет представлять собой матрицу частичных индуктивностей. Давайте проанализируем числовые значения элементов этой матрицы. Будем называть члены на диагонали матрицы частичными собственными индуктивностями (partial self-inductances), а недиагональные члены – частичными взаимными индуктивностями (partial mutual inductances).

Тип разделения катушки	Матрица частичной индуктивности (nH)
	\begin {bmatrix}11.84 & 0.85 & -0.89 & 0.85\\ 0.85 & 11.84 & 0.85 & -0.89\\ -0.89 & 0.85 & 11.84 & 0.85\\ 0.85 & -0.89 & 0.85 & 11.84\\\end{bmatrix}
	\begin {bmatrix}14.0 & 0.2 & -1.75 & 0.2\\ 0.2 & 14.0 & 0.2 & -1.75\\ -1.75 & 0.2 & 14.0 & 0.2\\ 0.2 & -1.75 & 2& 14.0\\\end{bmatrix}
	\begin {bmatrix}25.38 & -0.08\\ -0.08 & 25.38\\\end{bmatrix}
	\begin {bmatrix}38.4 & -1.3\\ -1.3 & 14.8\\\end{bmatrix}
	\begin {bmatrix}49.3 & 0.5\\ 0.5 & 0.3\\\end{bmatrix}

Таблица матриц частичной индуктивности для различных вариантов разделения контура с током. Сумма членов матрицы всегда получается одна и та же.

Обратите внимание, что частичная собственная индуктивность всегда положительна и в данном случае намного больше, чем любая из частичных взаимных индуктивностей, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Общая сумма всех членов матрицы равна полной общей индуктивности: L^ {tot} = \sum_ {i,j} L_ {ij}. Это справедливо независимо от того, как разделена катушка. Однако при различных вариантах разделения в матрице частичных индуктивностей может в большей степени преобладать собственная индуктивность.

Наблюдение о том, что определенные разделения катушки приводят к более диагонально доминирующей матрице частичных индуктивностей, оправдывает нашу следующую манипуляцию – построении подмодели только из одной секции катушки в свободном пространстве, как показано на рисунке ниже. Это соответствует первому разделению, указанному в таблице выше. В этой модели мы используем один узел Conductor с граничными условиями Terminal и Ground на обоих концах. На выходе расчета мы получим только одну сосредоточенную величину: частичную собственную индуктивность равную 11.84 нГ. Это значение коррелирует с диагональными членами ранее вычисленной матрицы частичной индуктивности.

Модель с одной четвертью квадратного контура позволяет рассчитать частичную собственную индуктивность, что дает хорошую оценку для общей индуктивности в этом случае. Интерфейс Magnetic Fields, Currents Only поддерживает расчёт катушек, которые незамкнуты в пространстве, при задании условий Terminal и Ground.

Со стороны может показаться, что наша модель "создает" и "уничтожает" ток на концах провода (где применяются граничные условия Terminal и Ground), но этот факт как раз является отличительной особенностью интерфейса Magnetic Fields, Currents Only: он позволяет вычислять частичную собственную индуктивность (и частичную взаимную индуктивность) для любого набора проводящих доменов, даже для тех, которые не соединены в замкнутый контур.

В качестве еще одного примера давайте обсудим второе разделение катушки. Фактически мы рассмотрим отдельный короткий прямой отрезок круглого провода — этот случай представляет особый интерес, поскольку для него существуют опубликованные решения, представленные в таблице ниже. В этом случае мы оценим индуктивность и сопротивление переменному току в диапазоне частот, начиная с низких частот, где глубина скин-слоя намного больше диаметра, и заканчивая высокими частотами, где глубина скин-слоя намного меньше. Чтобы учесть это, мы должны использовать погранслойную сетку для разрешения скин-эффекта. Кроме того, вместо Infinite Element Domain мы используем условие Exterior Boundaries на границах сферической расчётной области. Это условие реализует приближение, основанное на текущем потоке внутри модели, поэтому необходимо в общем случае изучить сходимость по радиусу области.

Полученные в такой модели результаты показывают точное соответствие для сопротивления в DC-режиме и близкое соответствие (в пределах 1%) для низкочастотной индуктивности. Небольшое расхождение в области низких частот связано с краевыми эффектами; соответствие между числовой моделью и справочным значением для прямого провода становится лучше при увеличении длины анализируемого провода.

Крупный план внутренней части провода. На распределении магнитного поля заметны краевые эффекты около торца провода.

Для сопротивления в AC-режиме также получается хорошее соответствие в широком частотном диапазоне, но на очень высоких частотах наблюдается заметное отклонение, что соответствует случаю глубины скин-слоя намного меньшего диаметра провода. Это отклонение связано уже с другой проблемой: на таких высоких частотах нам понадобилась бы очень подробная погранслойная сетка для разрешения скин-эффекта.

Расчётное сопротивление в AC-режиме для прямого провода и его сравнение с справочными выражениями на основе толщины скин-слоя. На очень высоких частотах потребуется очень подробная сетка, кроме того предположение о незначительных токах смещения в этом диапазоне больше не выполняется.

На таких очень высоких частотах возникает еще одна проблема: предположение о том, что близлежащие диэлектрики можно проигнорировать, больше не действует. Другими словами, токи смещения начинают становиться значимыми. В этой ситуации нам следует перейти к формулировке Magnetic Fields, которая позволяет моделировать токи, протекающие по поверхностям проводников, вместо того, чтобы искать поля внутри объема. В интерфейсе Magnetic Fields также учитываются токи смещения, как и токи проводимости и индуктивные наводки. Формулировки же интерфейса Magnetic Fields, Currents Only пренебрегают всеми токами смещения и учитывают только токи проводимости и индукционные наводки внутри самих проводящих областей.

Вычисленная частичная собственная индуктивность прямого провода и его сравнение со справочными формулами низко- и высокочастотных кабелей, в которых пренебрегают краевыми эффектами.

Итак, теперь, когда мы понимаем, как вычислить частичную индуктивность, и области применимости этой формулировки, как мы можем эффективно использовать этот интерфейс? Важно отметить, что мы никогда не сможем измерить ни одну из этих частичных индуктивностей, поскольку измерима только общая индуктивность замкнутого контура. Но, предположив, что у нас есть большая комплексная система, тогда мы, скорее всего, окажемся в ситуации, когда вычисление общей индуктивности довольно вычислительно сложно и затратно.

В случае, когда мы заинтересованы только в перепроектировании одной небольшой подсистемы, мы может сделать два предположения:

1. Частичные взаимные индуктивности между моделируемыми и немоделируемыми компонентами оказывают относительно небольшое влияние на общую индуктивность.
2. Частичная собственная индуктивность компонентов, которые не моделируются, остается относительно постоянной.

Если эти предположения верны, то разумно смоделировать только эту одну часть (или всего несколько частей) системы. Хотя мы, возможно, никогда не захотим вычислять общую индуктивность, в этой подмодели все еще может быть прогностическая ценность, если будут учтены вышеуказанные предположения и сама концепция частичных индуктивностей, являющихся вкладами в общую индуктивность.

Теперь давайте рассмотрим несколько типовых примеров применения рассмотренного интерфейса.

Типовые области применения интерфейса Magnetic Fields, Currents Only

Ситуации, в которых будет полезен интерфейс Magnetic Fields, Currents Only, включают:

• Вычисление частичных индуктивностей компонентов печатной платы
• Моделирование систем токопроводящих шин питания
• Моделирование кабелей и коннекторов
• Расчёт биполярных транзисторов с изолированным затвором (IGBT)
• Исследование характеристик катушек в случае отсутствия магнитных материалов в их окрестности

Одним из таких примеров является печатная плата с несколькими индукторами (с воздушными сердечниками), как показано ниже. Обладая накопленными знаниями, мы теперь можем уверенно строить модели, которые позволяют извлечь частичную собственную индуктивность одного индуктора или частичную собственную индуктивность и частичную взаимную индуктивность между несколькими близко расположенными индукторами. Рекомендую соответствующий демопример – расчет матрицы индуктивности массива катушек на печатной плате.

Электрический компонент, содержащий множество катушек индуктивности с воздушным сердечником. С помощью интерфейса Magnetic Fields, Currents Only можно вычислить сопротивления в AC-режиме и матрицы частичной индуктивности только для нескольких из этих катушек индуктивности.

Заключительные замечания

В данной статье мы представили интерфейс Magnetic Fields, Currents Only, который эффективен для вычисления полной и частичной индуктивности и сопротивления в AC-режиме. Мы сопоставили его использование с другими подходами и удостоверились в корректности расчёта общей индуктивности. Затем мы обсудили концепцию частичной индуктивности и то, как связаны частичная и полная индуктивности. Мы также рассмотрели вычисление сопротивления в AC-режиме, что помогло нам определить область применимости интерфейса Magnetic Fields, Currents Only при исследованиях в частотной области. Обладая этой информацией, мы теперь определённо готовы решать подобные задачи!

Вы всегда можете узнать дополнительную техническую информацию о модуле "AC/DC" или связаться с нами для получения более информации о других аспектах использования нашей программы.