Построение мультифизической модели для описания задачи магнитной гидродинамики в COMSOL®

19/06/2019

Программный пакет COMSOL Multiphysics® изначально создан для работы с мультифизическими моделями: пользователь может легко и непринужденно сочетать в нем модели разных явлений, относящихся к разным областям физики. Чаще всего это можно сделать с помощью встроенных инструментов программного пакета, однако в отдельных случаях потребуются некоторые дополнительные усилия. Рассмотрим именно последнюю вариацию в контексте построения модели из области магнитной гидродинамики (МГД).

Мультифизическое моделирование магнитной гидродинамики.

Моделирование МГД-процессов — принципиально мультифизическая задача, которая требует задания взаимосвязи между потоком жидкости, электрическим током и магнитными полями. Все эти различные полевые величины можно описать дифференциальными уравнениями в частных производных, которые решаются методом конечных элементов.

Постановка мультифизической МГД-задачи.
Постановка МГД-задачи: в канале между двумя магнитами проводящая жидкость с приложенным электрическим полем.

В качестве примере возьмем относительно простую эталонную задачу (схема показана выше) о несжимаемой проводящей жидкости в непроводящем прямоугольном канале, соединяющем два бесконечных резервуара (не показаны) с одинаковым гидростатическим давлением. Два электрода с обеих сторон канала, на которых создана разность потенциалов, пропускают через жидкость электрический ток. Кроме того, сверху и снизу установлены два круглых магнита. Магниты создают статическое магнитное поле \mathbf{B}, в котором в жидкости, обладающей проводимостью \sigma и движущейся со скоростью \mathbf{v}, возникают индуцированные токи \mathbf{J} = \sigma \left( \mathbf{v \times B}\right) . Помимо этих индуцированных токов присутствуют также токи, возникающие ввиду граничных условий для электрического потенциала V, поэтому суммарный ток в жидкости равен:

\mathbf{J} = \sigma \left( – \nabla V + \mathbf{v \times B}\right)

Этот ток, протекающий через магнитное поле, приводит к возникновению объемной силы, воздействующей на жидкость и равной \mathbf{F = J \times B} , в результате чего жидкость перекачивается из одного резервуара в другой. Допустим, что система работает в стационарном режиме.

Настройка связки расчета электрических полей, магнитных полей и полей течения

Для описания электрических и магнитных полей в объеме жидкости в рамках этой задачи требуется решить систему дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения записываются следующим образом:

\nabla \times \left( \mu_0^{-1} \mu_r^{-1} \mathbf{B} \right) = \mathbf{J}

и

\nabla \cdot \mathbf{J} = 0

Эта система уравнений решается с помощью физического интерфейса Magnetic and Electric Fields (Магнитные и электрические поля), входящего в состав модуля AC/DC, с использованием модели материала Ampère's Law and Current Conservation (Закон Ампера и закон сохранения тока) и отдельной опции Velocity (Lorentz Term) (Скорость, Лоренц-фактор).

В пространстве вокруг движущейся жидкости ток не течет, так что требуется только решить одно векторное уравнение:

\nabla \times \left( \mu_0^{-1} \mu_r^{-1} \mathbf{(B+B_r)} \right) = \mathbf{0}

где \mathbf{B_r} — остаточная магнитная индукция, которая не равна нулю только в доменах, соответствующих магнитам. Чтобы решить лишь уравнение выше, нужно использовать только узелAmpère's Law в интерфейсе Magnetic and Electric Fields.

Предполагается, что свойства стенок канала не влияют на э/м поля, поэтому в модели они не учитываются. Для настройки задачи используется определенных набор свойств материала и граничных условий. В качестве граничных условий для магнитного поля используется условие Magnetic Insulation (Магнитная изоляция) на всех внешних границах, кроме плоскости XY, к которой применяется условие Perfect Magnetic Conductor (Идеальный магнитный проводник), чтобы эффективно описать использованную в модели симметрию системы. Области, представляющие собой электроды, должны доходить до самых границ области моделирования, соприкасаясь с границами Magnetic Insulation (Магнитная изоляция), что позволит замкнуть контур с током, обеспечив обратный путь для него. К внешним границам электродов применяются условия Ground (Заземление) и Terminal (Терминал) с опцией Voltage (Напряжение), а условия Electric Insulation (Электрическая изоляция) — к остальным доступным границам.

Кроме того, нам также требуется расчитывать поток жидкости в канале. Предположим, что поток является ламинарным, и, следовательно, будем решать уравнения Навье — Стокса в области канала. В случае турбулентного потока можно выбарать соответствющую модель турбулентности. Условие Open Boundary (Открытая граница) применяется на обоих концах канала, задавая нулевое избыточное давление. Также используется условие Symmetry (Симметрия) в плоскости XY. Расчетная область показана на рисунке ниже.

Иллюстрация расчетной области, на которой отмечены граничные условия для МГД-модели.
Иллюстрация расчетной области и граничных условий.

Поток будет обусловлен объемной силой, возникающей в результате взаимодействия электрических токов в жидкости и магнитных полей, которое можно выразить как \mathbf{F = J \times B}. Такое выражение для силы не включено в виде готовой опции в пакет (в интерфейс Magnetic and Electric Fields), так что потребуется немного ручных манипуляций. Чтобы найти встроенные выражения для компонентов плотности тока и магнитного поля, можно активировать режим отображения Equation View и/или сформировать отчет по модели, что описано в одной из статей Базы знаний, посвященной заданию пользовательских мультифизических связей. С помощью этих встроенных выражений можно задать объемную силу, воздействующую на жидкость, как показано на следующем снимке экрана.

Скриншот окна настроек условия Volume Force в COMSOL Multiphysics®.
Скриншот узла Force с заданным выражением для вычисления компонентов силы.

И наконец, чтобы реализовать обратную связь вычисляемого поля скоростей с электромагнитным расчетом используем уже упомянутое ранее условие Velocity (Lorentz Term) в интерфейсе Magnetic and Electric Fields, как показано на следующем скриншоте. Обратите внимание, что пакет автоматически распознает рассчитываемое поле скорости флюида, которое можно сразу использовать при задании данного условия. Вот и всё! Полная связка двух физических явлений создана.

Скриншот окна настроек условия Velocity (Lorentz term), иллюстрирующий организацию связки э/м и CFD-анализа.
Скриншот, демонстрирующий использование вычисляемой скорости жидкости при настройке условия в интерфейсе Magnetic and Electric Fields (Магнитные и электрические поля).

Настройка сетки и решателей для МГД-модели

В контексте настройки конфигурации сетки, размера элементов и порядка дискретизации ключевое внимание нужно обратить на вычислительный размер модели. Расчет магнитных и электрических полей в жидкости и окружающих областях в модели — наиболее сложная вычислительная задача, так что предпочтительно свести к минимуму общее количество элементов сетки в ней. Основываясь на универсальной практике решения статических линейных задач, можно предположить, что хорошим стартовым вариантом будет использование элементов второго порядка. Таким образом, мы можем для переменных, связанных с расчетом потока жидкости, перейти на P2+P2 дискретизацию, т.е. при этом и скорость, и давление будут описываться базовыми функциями второго порядка. Для магнитных и электрических полей по умолчанию также выбрана дискретизация второго порядка. При выборе для всех полей дискретизации второго порядка будет также использоваться и второй порядок для дискретизации геометрии. Задача подробного исследования по сеточной сходимости не рассматривается в данной заметке. Мы оставим ее в качестве дополнительного упражнения для заинтересованного читателя.

В процессе решения этой задачи в программном пакете автоматически будет использован так называемый сегрегированный подход: программа поочередно будет рассчитывать электромагнитные поля и поля скоростей в поиске самосогласованного решения, для каждого поля при этом решается линейная подсистема уравнений с собственным оптимизированным итерационным решателем. Данная мультифизическая задача по определению нелинейная, поэтому из общих соображений полезно знать о проблемах, которые могут возникнуть при решении подобных задач, и о способах их устранения, которые описаны в этой статье Базы знаний о повышении сходимости нелинейных стационарных моделей.

Результаты проведенного мультифизического анализа показаны на следующем графике. Отчетливо наблюдается эффект "насоса": из-за приложенного напряжения через жидкость протекает ток, и поскольку заряды движутся в магнитном поле, на них воздействует сила, которая, в свою очередь, сообщается жидкости.

Результаты расчета мультифизической МГД-модели в COMSOL.
Результаты расчета МГД-модели, демонстрирующие возникновение эффекта "насоса", обусловленного мультифизическими взаимосвязями физических явлений.

Упрощение МГД-модели

На данный момент мы успешно построили модель, включающую расчет магнитных полей, электрических токов и течения жидкости, и реализовали двунаправленные взаимосвязь между всеми исходными уравнениями, описывающими физические процессы. В такой постановке каждое физическое явление может влиять на остальные. Однако оказывается, что в данном конкретном случае полная связка всех физик не требуется. Давайте посмотрим, чем это обусловлено и как это позволит упростить нашу модель.

Взглянув на все управляющие уравнения выше, можно увидеть, что среди них только два включают взаимосвязи между физическими явлениями. Это уравнение \mathbf{F = J \times B}, определяющее силу, воздействующую на жидкость из-за тока в магнитном поле, и уравнение суммарного тока в жидкости \mathbf{J} = \sigma \left( – \nabla V + \mathbf{v \times B}\right). Второе уравнение указывает на то, что ток возникает как из-за приложенного напряжения, так и в результате движения проводящей жидкости в магнитном поле. Однако, если предположить, что первый член уравнения намного больше второго (то есть – \nabla V \gg \mathbf{v \times B}), текущее уравнение можно упростить до: \mathbf{J} = \sigma \left( – \nabla V \right) . Это значит, что ток не зависит от решения задачи о течении жидкости, поэтому CFD-уравнения можно решать отдельно от уравнений электромагнитного поля. Таким образом, сначала можно рассчитать электромагнитные поля, а затем использовать их на входе задачи о потоке, в результате чего задача становится связанной однонаправлено.

Можно сделать и еще одно упрощение. Строго говоря, магнитное поле возникает под действием магнитов, а также из-за течения тока. Однако, в случае рассматриваемых здесь граничной задачи и свойств материала, магнитное поле, возникающее из-за течения тока, намного слабее, чем магнитное поле от магнитов. Таким образом, возможно сделать допущение о том, что магнитное поле возникает исключительно благодаря магнитам (то есть токи не создают значительного магнитного поля). В предположении нулевого тока можно задать магнитные поля и электрические токи отдельно с помощью интерфейсов Magnetic Fields, No Currents (Магнитные поля, без токов) и Electric Currents (Электрические токи) соответственно. В этих физических интерфейсах имеются наборы граничных условий и моделей материалов, похожие на уже описанные выше.

В основе интерфейса Magnetic Fields, No Currents лежит уравнение \nabla \cdot \left( \mu_0 \mu_r \mathbf{H + B_r} \right) = 0, намного менее сложное с вычислительной точки зрения, чем набор уравнений в интерфейсе Magnetic and Electric Fields (Магнитные и электрические поля). Кроме того, это уравнение можно решать независимо от рассчета электрических токов.

Скриншот дерева модели упрощенной МГД-модели.
Скриншот конфигурации упрощенной модели.

На скриншоте выше показана конфигурация новой модели после вышеупомянутых упрощений. В выражении для объемной силы, действующей на жидкость, используются другие названия переменных, а в остальном модель предельно похожа на предыдущую. Но обратите внимание на то, что расчет для трех разных физических интерфейсов происходит в три шага. Уравнения, описываемые интерфейсами Magnetic Fields, No Currents и Electric Currents можно решать отдельно, но обязательно до решения уравнений интерфейса Laminar Flow.

Результаты расчета упрощенной МГД-модели в COMSOL.
Результаты расчета упрощенной МГД-модели.

Время решения значительно сокращается при решении упрощенного варианта по сравнению с полным, поскольку физические уравнения решаются раздельно, а программе не требуется проходить несколько взаимосвязанных итераций для нахождения самосогласованного решения. Из показанных выше результатов можно видеть, что решения практически идентичны. Безусловно, все сделанные допущения и упрощения имеют свои ограничения и пределы использования. Всегда полезно сверять результаты с моделью, в которой реализована двусторонняя связка, ведь возможности и гибкость платформы COMSOL Multiphysics позволяют легко построить обе модели — полную и упрощенную, — сравнить их и изменить любым требуемым образом. Готовы приступить к построению собственной мультифизической модели? Свяжитесь с вашим территориальным представительством COMSOL!

Рассмотренная в данной заметке учебная модель доступна для скачивания. Обратите внимание, что для этого потребуется войти в учетную запись COMSOL Access, а также наличие лицензии на ПО.


Комментарии (0)

Оставить комментарий
Войти | Регистрация
Загрузка...
РУБРИКАТОР БЛОГА COMSOL
РУБРИКИ
ТЕГИ